Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) में (10) अभाज्य हैं, (B) में (10) गुणज हैं और \(A\cap B={3}\), इसलिए \(|A\cup B|=19\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=30-19=11) नहीं, ध्यान से (30-19=11) है। / There are (10) primes in (A), (10) multiples in (B), and \(A\cap B={3}\), so \(|A\cup B|=19\). Hence (|\(A\cup B\)'|=30-19=11); always subtract from (|U|).
\(A\cap B\) में (15) के गुणज (15,30,45) हैं, इसलिए उसमें (3) अवयव हैं। अतः (|\(A\cap B\)'|=45-3=42)। / \(A\cap B\) contains multiples of (15), namely (15,30,45), so it has (3) elements. Hence (|\(A\cap B\)'|=45-3=42).
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए (U) के बचे अवयव (A') होंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के अंदर ही निकालें। / Here \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the remaining elements of (U) form (A'). In exams, always find complement inside (U).
(A) में (-2) शामिल नहीं और (6) शामिल है, इसलिए पूरक में (-2) आएगा पर (6) नहीं आएगा। सही उत्तर ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)) है। / (A) does not include (-2) but includes (6), so the complement includes (-2) but excludes (6). The correct answer is ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)).
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\)। इस उल्टे क्रम को याद रखना उपयोगी है। / The complement reverses inclusion, so \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\). Remember this reversal property for hard questions.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\)। यहाँ \(X=A\) और \(Y=B'\) रखने पर \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\) प्राप्त होता है, क्योंकि \((B')'=B\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में पूरक और संघ का प्रयोग सही क्रम में नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन नियम लगाने के बाद दोहरे पूरक को अवश्य हटाएँ। / By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\). Taking \(X=A\) and \(Y=B'\), we get \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\), since \((B')'=B\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly handles the complement and the union. Exam tip: after applying De Morgan’s law, always simplify any double complement.
B. \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), अर्थात वे संख्याएँ जो न तो सम हैं और न 5 की गुणज हैं/\(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), the numbers that are neither even nor multiples of 5
Explanation
Simple Explanation
\(A'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो सम नहीं हैं, जबकि \(B'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो 5 की गुणज नहीं हैं। इसलिए \(A'\cap B'\) में ऐसी संख्याएँ होंगी जो दोनों शर्तें पूरी करती हैं—न सम और न 5 की गुणज। \(U\) में ये संख्याएँ \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\) हैं। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) भी होता है। परीक्षा-सूत्र: पूरक समुच्चयों का प्रतिच्छेद लेने पर मूल दोनों शर्तों का निषेध लेना होता है; इसे “neither-nor” के रूप में याद रखें। / \(A'\) contains the elements that are not even, while \(B'\) contains the elements that are not multiples of 5. Hence, \(A'\cap B'\) contains numbers satisfying both conditions: they are neither even nor multiples of 5. Within \(U\), this set is \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) as well. Exam tip: the intersection of two complements represents “neither this nor that,” not “both this and that.”
\(|A\cup B|=35+40-15=60\), इसलिए पूरक में (80-60=20) अवयव हैं। पहले संघ की संख्या निकालें। / \(|A\cup B|=35+40-15=60\), so the complement has (80-60=20) elements. Find the union count first.
पूरक समुच्चय की परिभाषा से \\(|A|=|U|-|A'|=100-58=42\\) और \\(|B|=100-47=53\\)। अतः समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \\(|A\\cup B|=|A|+|B|-|A\\cap B|=42+53-21=74\\)। इसलिए \\(|(A\\cup B)'|=|U|-|A\\cup B|=100-74=26\\), अतः विकल्प C सही है। परीक्षा टिप: संघ के पूरक का परिमाण निकालने से पहले \\(|A|\\) और \\(|B|\\) को उनके पूरकों से ज्ञात करें। / Using the definition of a complement, \\(|A|=|U|-|A'|=100-58=42\\) and \\(|B|=100-47=53\\). By the inclusion-exclusion principle, \\(|A\\cup B|=|A|+|B|-|A\\cap B|=42+53-21=74\\). Therefore, \\(|(A\\cup B)'|=|U|-|A\\cup B|=100-74=26\\), so option C is correct. Exam tip: First find \\(|A|\\) and \\(|B|\\) from their complements, then apply inclusion-exclusion to the union.
दिया है कि \(A-B=A\cap B'\)। दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \((A-B)'=(A\cap B')'\)। डी मॉर्गन के नियम \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\) से \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय-अंतर को पहले \(A\cap B'\) के रूप में लिखकर फिर डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / Given \(A-B=A\cap B'\), taking complements on both sides gives \((A-B)'=(A\cap B')'\). By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\), so \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\). Hence, option A is correct. Exam tip: Rewrite set difference as an intersection with the complement before applying De Morgan’s laws.
