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किसी समुच्चय और उसके पूरक की अवयव-संख्या का योग सार्वत्रिक समुच्चय की अवयव-संख्या के बराबर होता है: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। इसलिए \(n(A)=30-12=18\)। विकल्प 12 केवल पूरक समुच्चय की अवयव-संख्या है। परीक्षा में याद रखें: \(n(A)=n(U)-n(A^c)\)। / The cardinalities of a set and its complement add up to the cardinality of the universal set: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=30-12=18\). Option 12 is only the cardinality of the complement. Exam tip: use \(n(A)=n(U)-n(A^c)\).
(9) (U) में है और (A) में नहीं है, इसलिए \(9\in A^{c}\)। सदस्यता प्रश्नों में दोनों शर्तें जांचें। / (9) is in (U) and not in (A), so \(9\in A^{c}\). In membership questions, check both conditions.
\(A\cap D=\varnothing\) और \(A\cup D=U\), इसलिए \(D=A^{c}\)। पूरक साबित करने के लिए ये दो शर्तें उपयोगी हैं। / \(A\cap D=\varnothing\) and \(A\cup D=U\), so \(D=A^{c}\). These two conditions are useful to prove a complement.
(A) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए पूरक में सम संख्याएं हैं। नकारात्मक शब्दों में शर्त को उल्टा समझें। / (A) contains odd numbers, so the complement contains even numbers. With negative wording, reverse the condition carefully.
\(A\setminus B={1,2,3}\), इसलिए इसका पूरक ({4,5,6,7,8,9,10}) है। पहले अंतर निकालें फिर पूरक लें। / \(A\setminus B={1,2,3}\), so its complement is ({4,5,6,7,8,9,10}). First find the difference, then take the complement.
\(A^{c}={5,6,7,8}\) और \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), इसलिए पूरक ({1,2}) है। चरण न छोड़ें। / \(A^{c}={5,6,7,8}\) and \(A^{c}\cup B={3,4,5,6,7,8}\), so the complement is ({1,2}). Do not skip steps.
(A) के बाहर (U) में ठीक (B) के अवयव हैं, इसलिए \(B=A^{c}\)। साथ ही (A) और (B) असंपाती हैं। / The elements outside (A) in (U) are exactly the elements of (B), so \(B=A^{c}\). Also, (A) and (B) are disjoint.
पहले \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) होते हैं। शर्त \(x^2<4\) से केवल \(-1,0,1\) तत्व सच में आते हैं, इसलिए \(A=\{-1,0,1\}\) और \(n(A)=3\)। समष्टि में कुल \(n(U)=8\) हैं, अतः \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\)। विकल्प B (4) अक्सर गलत गिनती का परिणाम है — किसी एक तत्व को छोड़ देना या शून्य को निकाल देना—इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: पहले सेटों के तत्व लिख लें या सीधे \(n(A')=n(U)-n(A)\) उपयोग करें। / List elements: \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The condition \(x^2<4\) holds only for \(-1,0,1\), so \(A=\{-1,0,1\}\) and \(n(A)=3\). Since \(n(U)=8\), the complement has \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\). Option B (4) is a common miscount — typically one element is mistakenly omitted (often 0 or an end-point). Exam tip: explicitly list small finite sets or use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\).
चूँकि \(A=\{a,c,e\}\) और \(B=\{b,c,d\}\), इसलिए \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), जो कि दिया गया यूनिवर्सल सेट \(U\) के बराबर है। किसी समुच्चय का पूरक (कॉम्प्लीमेंट) यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में उस समुच्चय को हटाने पर बचा हुआ भाग होता है: \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\)। सबसे निकट भ्रामक विकल्प \(\{a,b,d,e\}\) इसलिए गलत है क्योंकि वह \(c\) को छोड़ देता है, जबकि \(A\cup B\) में \(c\) भी शामिल है। परीक्षात्मक टिप: पहले Union निकालकर जाँचें कि क्या वह यूनिवर्सल सेट के बराबर हो; अगर हाँ, तो पूरक हमेशा खाली समुच्चय होगा। / Since \(A=\{a,c,e\}\) and \(B=\{b,c,d\}\), we have \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), which equals the universal set \(U\). The complement is taken relative to \(U\): \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\). The closest distractor \(\{a,b,d,e\}\) is incorrect because it omits \(c\), but \(c\) is present in \(A\cup B\). Exam tip: compute the union first and check whether it equals the universal set—if so, the complement is \(\emptyset\).
प्रमुख सूत्र: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). अतः \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). सार्वभौमिक समुच्चय का पूरक होगा \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), इसलिए विकल्प B सही है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (5) तब बन सकता है जब कोई छात्र ओवरलैप की गिनती गलत कर दे और यूनियन को 15 मान ले — जिससे 20−15 = 5 आ जाता है। परीक्सा सुझाव: प्रश्न देखते ही एक साधारण वेन आरेख बनाएं और inclusion–exclusion सूत्र लागू कर के गिनती की पुष्टि करें। / Use the inclusion–exclusion formula: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). So \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). The complement has size \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), hence option B is correct. The closest distractor C (5) typically arises from miscounting the overlap and getting the union as 15, then computing 20−15 = 5. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply inclusion–exclusion to avoid overlap-counting mistakes.
