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समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(p,r,t\), \(A\) में हैं, जबकि \(q\) और \(s\) \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(q\in A^c\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए \(U-A\) निकालें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here, \(p,r,t\) belong to \(A\), whereas \(q\) and \(s\) do not. Therefore, \(q\in A^c\). Exam tip: Find a complement by calculating \(U-A\).
B. \(x\in U\) और \(x\notin A\)/\(x\in U\) and \(x\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
\(x\in A^{c}\) का अर्थ है कि (x) सार्वत्रिक समुच्चय में है पर (A) में नहीं है। प्रतीक पढ़ते समय (U) को न भूलें। / \(x\in A^{c}\) means (x) is in the universal set but not in (A). Do not forget (U) while reading the symbol.
\(A=\{3,6,9,12\}\), इसलिए पूरक बाकी अवयव हैं। गुणज वाले प्रश्नों में पहले सूची बनाएं। / \(A=\{3,6,9,12\}\), so the complement is the remaining elements. In multiple-based questions, list the set first.
यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) और \(A=\{x\in U:x\text{ अभाज्य है}\}\), तो सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक समुच्चय \(A^c\) क्या होगा?
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, इसलिए \(A=\{2,3,5,7\}\)। पूरक समुच्चय में \(U\) के वे सभी अवयव आते हैं जो \(A\) में नहीं हैं, अतः \(A^c=\{1,4,6,8,9\}\)। विकल्प C में 2, 3, 5 और 7 जैसी अभाज्य संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: 1 अभाज्य संख्या नहीं है; अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं। / The prime numbers in the given universal set are \(2,3,5,7\), so \(A=\{2,3,5,7\}\). The complement contains all elements of \(U\) that are not in \(A\); therefore, \(A^c=\{1,4,6,8,9\}\). Option C is incorrect because it still includes the prime numbers 2, 3, 5 and 7. Exam tip: 1 is neither prime nor composite; a prime number has exactly two positive divisors.
\(A^{c}={4,5,6}\) और \(B^{c}={1,2,6}\), उनका संघ ({1,2,4,5,6}) है। यह (\(A\cap B\)^{c}) से भी मिलता है। / \(A^{c}={4,5,6}\) and \(B^{c}={1,2,6}\), so their union is ({1,2,4,5,6}). This also matches (\(A\cap B\)^{c}).
\(A^{c}={3,5,6}\) और \(B^{c}={1,3,5}\), इसलिए प्रतिच्छेद ({3,5}) है। यह (\(A\cup B\)^{c}) जैसा है। / \(A^{c}={3,5,6}\) and \(B^{c}={1,3,5}\), so the intersection is ({3,5}). This is the same as (\(A\cup B\)^{c}).
परिभाषा के अनुसार \(A^c=U\setminus A\) होता है। यदि \(A^c\) रिक्त है, तो \(U\) का कोई भी अवयव \(A\) से बाहर नहीं है; इसलिए \(A\) में \(U\) के सभी अवयव हैं और \(A=U\)। विकल्प A और D रिक्त समुच्चय से संबंधित हैं, जबकि विकल्प C इस स्थिति में सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का पूरक रिक्त हो, तो वह समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है। / By definition, \(A^c=U\setminus A\). If \(A^c\) is empty, no element of \(U\) lies outside \(A\); hence \(A\) contains every element of \(U\), so \(A=U\). Options A and D describe conditions related to an empty set, while option C is not true in this situation. Exam tip: a set with an empty complement is equal to the universal set.
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई अवयव नहीं है। इसलिए \(A=\varnothing\) सही है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) has no element. Thus, \(A=\varnothing\) is correct.
पूरक समुच्चय के लिए \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\)। यहाँ \(n(U)=8\) और \(n(A^{c})=3\), इसलिए \(n(A)=8-3=5\)। विकल्प A केवल पूरक समुच्चय की संख्या बताता है, जबकि विकल्प C पूरे सार्वत्रिक समुच्चय की संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पूरक दिए होने पर कुल तत्वों में से पूरक के तत्व घटाएँ। / For a complement, \(n(A)+n(A^{c})=n(U)\). Here, \(n(U)=8\) and \(n(A^{c})=3\), so \(n(A)=8-3=5\). Option A gives the cardinality of the complement, while option C gives the cardinality of the universal set. Exam tip: When the complement is known, subtract its cardinality from the cardinality of the universal set.
\(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), और यह (B) का उपसमुच्चय है। इसलिए ये सभी अवयव (B) में होने जरूरी हैं। / \(A^{c}={5,6,7,8,9,10}\), and it is a subset of (B). Hence all these elements must be in (B).
