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\(U\setminus A\) का अर्थ है (U) से (A) हटाना, यही \(A^{c}\) है। पूरक को अंतर संकेत से भी लिखते हैं। / \(U\setminus A\) means removing (A) from (U), which is \(A^{c}\). Complement is also written using difference notation.
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर होता है: \(A^{c}\cup A=U\) । इसलिए \(A^{c}\cup A\) में |U|=7 अवयव होंगे। विकल्प 3 केवल |A| को दर्शाता है, संघ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\) की सर्वसमिकाएँ याद रखें। / For any set and its complement relative to the universal set, their union is the entire universal set: \(A^{c}\cup A=U\) . Hence, \(A^{c}\cup A\) has |U|=7 elements. Option 3 represents only |A| , not the union. Exam tip: Remember the identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\) .
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए प्रतिच्छेद खाली है। रिक्त समुच्चय की अवयव संख्या (0) होती है। / (A) and \(A^{c}\) are disjoint, so their intersection is empty. The cardinality of the empty set is (0).
(A) के बाहर (U) में ({3,4,6,7}) बचते हैं, जो (C) है। पूरक पहचानने के लिए (U) से तुलना करें। / The elements left in (U) outside (A) are ({3,4,6,7}), which is (C). Compare with (U) to identify a complement.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x:x\in\mathbb{N},\ 1\le x\le 20\}\) तथा \(A=\{x:x\in U,\ x\text{, }20\text{ का गुणनखंड है}\}\) हैं, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक समुच्चय \(A^c\) में कितने अवयव होंगे?
समुच्चय \(U\) में 1 से 20 तक कुल 20 प्राकृतिक संख्याएँ हैं। 20 के गुणनखंड \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=20-6=14\)। विकल्प 6 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या बताता है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक की गणना के लिए हमेशा उसी सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) लागू करें। / The universal set \(U\) contains 20 natural numbers, from 1 to 20. The factors of 20 are \(A=\{1,2,4,5,10,20\}\), so \(n(A)=6\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=20-6=14\). Option 6 gives the number of elements in \(A\), not in its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), always keeping the reference universal set in mind.
(A) विषम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए \(A^{c}\) सम संख्याएं ({2,4,6,8,10}) हैं। रूप देखकर भी उत्तर मिल सकता है। / (A) is the set of odd numbers, so \(A^{c}\) is the even numbers ({2,4,6,8,10}). The pattern can also help.
\(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), इसलिए (A) से बाहर ({-2,0,2}) हैं। ऋण संख्याओं और (0) को ध्यान से शामिल करें। / \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the elements outside (A) are ({-2,0,2}). Include negative numbers and (0) carefully.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक उन सभी अवयवों का समुच्चय होता है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(A\) के बाहर \(U\) के अवयव \(\{5,6,7,8\}\) हैं, जो ठीक \(B\) के अवयव हैं। इसलिए \(B=A^c\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) और \(B\) असंयुक्त हैं, अतः \(A\cap B=\varnothing\), न कि \(B\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\), with respect to the universal set \(U\), contains all elements of \(U\) that are not in \(A\). Here, the elements of \(U\) outside \(A\) are \(\{5,6,7,8\}\), which are exactly the elements of \(B\). Therefore, \(B=A^c\). Option D is incorrect because \(A\) and \(B\) are disjoint, so \(A\cap B=\varnothing\), not \(B\). Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the universal set.
\(A^{c}={3,4,5}\) और इसमें (A) का कोई अवयव नहीं है, इसलिए अंतर वही रहेगा। असंपाती समुच्चयों में घटाने से समुच्चय नहीं बदलता। / \(A^{c}={3,4,5}\) and it has no element of (A), so the difference remains the same. Subtracting a disjoint set does not change it.
(A) और \(A^{c}\) में कोई साझा अवयव नहीं है, इसलिए \(A\setminus A^{c}=A\)। पूरक के साथ अंतर में असंपाती गुण उपयोग करें। / (A) and \(A^{c}\) have no common element, so \(A\setminus A^{c}=A\). Use the disjoint property with complements.
