Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x=-1\) रखने पर \(f(-1)=|-1+4|-|-1-2|=|3|-|-3|=3-3=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प 6 तब मिल सकता है जब दोनों मापांकों का घटाने के बजाय जोड़ दिया जाए। परीक्षा में पहले प्रत्येक मापांक का धनात्मक मान निकालकर दिए गए चिह्न के अनुसार गणना करें। / Substituting \(x=-1\), we get \(f(-1)=|-1+4|-|-1-2|=|3|-|-3|=3-3=0\). Hence, option A is correct. The value 6 may result from adding the two modulus values instead of subtracting them. In such questions, evaluate each modulus first and then apply the indicated operation.
शून्यक ज्ञात करने के लिए \(f(x)=0\) रखें: \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)=0\)। अतः \(x=-3\) या \(x=-5\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात बहुपद के गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर उसके शून्यक शीघ्रता से ज्ञात किए जा सकते हैं। / To find the zeros, set \(f(x)=0\): \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)=0\). Hence, \(x=-3\) or \(x=-5\), so option A is correct. In option B, the signs of both zeros are incorrect. Exam tip: For a factorised quadratic, set each linear factor equal to zero to find its zeros quickly.
वर्गमूल की परिभाषा के कारण \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\)। इसलिए \(f(x)=3-\sqrt{x-1}\le 3\)। जब \(x=1\), तब \(\sqrt{x-1}=0\) और \(f(1)=3\), अतः अधिकतम मान 3 है। विकल्प 1 केवल किसी अन्य मान पर फलन का मान हो सकता है, अधिकतम नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(a-\sqrt{g(x)}\) के अधिकतम मान के लिए वर्गमूल को उसके न्यूनतम मान, सामान्यतः 0, पर रखें। / Because the square root is defined for \(x\ge 1\), we have \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(f(x)=3-\sqrt{x-1}\le 3\). At \(x=1\), \(\sqrt{x-1}=0\), so \(f(1)=3\); therefore, the maximum value is 3. The value 1 may occur for another input, but it is not the maximum. Exam tip: For an expression of the form \(a-\sqrt{g(x)}\), find its maximum by making the square-root term as small as possible, usually 0.
वर्गमूल के लिए \\(x+1\\ge 0\\) और \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\) होता है। इसलिए \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), अतः \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\)। जब \\(x=-1\\), तब \\(f(x)=-5\\), और \\(x\\) बढ़ने पर फलन के मान अनंत तक बढ़ते हैं। इसलिए परास \\([-5,\\infty)\\) है। विकल्प C केवल वर्गमूल के मूल पर प्रभाव को दर्शाता है और \\(-5\\) के स्थानांतरण को अनदेखा करता है। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल वाले फलन का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें, फिर ऊर्ध्व स्थानांतरण लागू करें। / For the square root to be defined, \\(x+1\\ge 0\\), and \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\). Thus, \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), so \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\). At \\(x=-1\\), the function equals \\(-5\\), and as \\(x\\) increases, the function values grow without bound. Therefore, the range is \\([-5,\\infty)\\). Option C ignores the downward shift by \\(-5\\). Exam tip: Find the minimum value of the square-root part first, then account for any vertical translation.
यहाँ \\(x\\neq -4\\) और \\(f(x)-6=\\frac{1}{x+4}\\) है। \\(\\frac{1}{x+4}\\) कभी शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \\(f(x)\\) का मान कभी 6 नहीं होगा। दूसरी ओर, 6 को छोड़कर प्रत्येक वास्तविक मान प्राप्त किया जा सकता है; अतः परिसर \\((- infty,6)\\cup(6,\\infty)\\) है। परीक्षा टिप: \\(\\frac{1}{x-a}+b\\) का परिसर हमेशा \\(y\\neq b\\) होता है। / Here, \\(x\\neq -4\\) and \\(f(x)-6=\\frac{1}{x+4}\\). Since \\(\\frac{1}{x+4}\\) can never be zero, \\(f(x)\\) can never equal 6. Every other real value is attainable, so the range is \\((- infty,6)\\cup(6,\\infty)\\). The distractor \\((- infty,\\infty)\\) is incorrect because it includes the excluded value 6. Exam tip: the range of \\(\\frac{1}{x-a}+b\\) is \\(y\\neq b\\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए भिन्नात्मक भाग \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) हमेशा \(0\) से कम नहीं और \(1\) से कम होता है। इसलिए इसका परिसर \([0,1)\) है। \(0\) प्राप्त होता है जब \(x\) पूर्णांक हो, लेकिन \(1\) कभी प्राप्त नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक भाग फलन का परिसर \([0,1)\) याद रखें। / For every real \(x\), the fractional part \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) is always at least \(0\) and strictly less than \(1\). Hence, its range is \([0,1)\). The value \(0\) occurs when \(x\) is an integer, but the value \(1\) is never attained. Exam tip: remember that the range of the fractional part function is \([0,1)\).
\(x=5.75\) रखने पर \(x-2=5.75-2=3.75\) प्राप्त होता है। \(3.75\) का भिन्नात्मक भाग \(0.75\) है, इसलिए \(f(5.75)=0.75\)। विकल्प B \(3.75\) मध्यवर्ती मान है, अंतिम फलन-मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक भाग निकालने के लिए संख्या से उसका पूर्णांक भाग घटाएँ। / Substituting \(x=5.75\) gives \(x-2=5.75-2=3.75\). The fractional part of \(3.75\) is \(0.75\), so \(f(5.75)=0.75\). Option B, \(3.75\), is only the intermediate value before taking its fractional part. Exam tip: subtract the integer part from a number to obtain its fractional part.
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) में वर्गमूल के लिए \(x\ge 0\) चाहिए, पर हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(x>0\) ही मान्य है। \(\sqrt{x}\) में \(0\) भी शामिल होता है। परीक्षा टिप: मूल और हर की शर्तें अलग-अलग जाँचें। / For \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), the square root requires \(x\ge 0\), but the denominator cannot be zero. Hence only \(x>0\) is allowed. In \(\sqrt{x}\), zero is included. Exam tip: check radical and denominator restrictions separately.
गुणनफल \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों हर शून्य न हों। इसलिए \(x\neq -2\) और \(x\neq 5\), अतः domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\) है। केवल \(-2\) या केवल \(5\) को हटाना अधूरा है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल फलन का domain, दोनों फलनों के domains का intersection होता है। / The product is \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\), so both denominator factors must be non-zero. Thus, \(x\neq -2\) and \(x\neq 5\), giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\). Excluding only \(-2\) or only \(5\) is incomplete. Exam tip: the domain of a product function is the intersection of the domains of the two functions.
A. \(p\) और \(q\) दोनों \(x\) पर परिभाषित हों तथा \(q(x)\ne0\)/Both \(p\) and \(q\) are defined at \(x\), and \(q(x)\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
भागफल \(\frac{p(x)}{q(x)}\) तभी परिभाषित होता है जब \(p(x)\) और \(q(x)\) दोनों मौजूद हों तथा हर \(q(x)\) शून्य न हो। इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(p\) का परिभाषित होना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि \(q\) भी परिभाषित होना चाहिए और उसका मान शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: भागफल फलन का परिभाषा-क्षेत्र लिखते समय हर के शून्य होने वाले मानों को अवश्य हटाएँ। / The quotient \(\frac{p(x)}{q(x)}\) is defined only when both \(p(x)\) and \(q(x)\) exist and the denominator \(q(x)\) is not zero. Therefore, option A is correct. Having only \(p\) defined is not enough, because \(q\) must also be defined and non-zero. Exam tip: While finding the domain of a quotient function, always exclude values that make the denominator zero.
