Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) में वर्गमूल के अंदर की मात्रा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए, लेकिन वर्गमूल हर में है, इसलिए वह शून्य नहीं हो सकता। अतः \(x-1>0\), अर्थात् \(x>1\)। \(g(x)=x^2\) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, इसलिए \((f+g)\) का डोमेन दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होकर \((1,\infty)\) है। \(x=1\) को शामिल नहीं किया जा सकता क्योंकि हर शून्य हो जाएगा। परीक्षा-युक्ति: हर में स्थित वर्गमूल के लिए सामान्यतः मूलांक के अंदर की मात्रा को strictly positive रखें। / For \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\), the radicand must be non-negative, but the square root is in the denominator, so it cannot be zero. Thus \(x-1>0\), giving \(x>1\). Since \(g(x)=x^2\) is defined for every real number, the domain of \((f+g)\) is the intersection of the two domains: \((1,\infty)\). The endpoint \(x=1\) is excluded because it makes the denominator zero. Exam tip: when a square root occurs in a denominator, the radicand must be strictly positive.
दिए गए प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=x^2\) निकालने पर मान \(4,1,0,1,4\) मिलते हैं। परास में केवल अलग-अलग \(y\)-मान लिखे जाते हैं, इसलिए परास \(\{0,1,4\}\) है। विकल्प B दिए गए \(x\)-मानों का समुच्चय है, जो संबंध का प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए पहले दिए गए प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लागू करें और दोहराए गए परिणामों को एक बार ही लिखें। / For each given value of \(x\), calculating \(y=x^2\) gives \(4,1,0,1,4\). The range contains only distinct \(y\)-values, so it is \(\{0,1,4\}\). Option B is the set of given \(x\)-values, which is the domain, not the range. Exam tip: Apply the rule to every domain value and list repeated output values only once.
दिए गए प्रत्येक domain मान के लिए \(y=\frac{x+1}{2}\) निकालते हैं: \(x=1\) पर \(y=1\), \(x=3\) पर \(y=2\), \(x=5\) पर \(y=3\), और \(x=7\) पर \(y=4\)। इसलिए range \(\{1,2,3,4\}\) है। विकल्प B domain है, range नहीं। परीक्षा-युक्ति: function की range पाने के लिए दिए गए input मानों पर प्राप्त सभी distinct output लिखें। / Substitute each domain value into \(y=\frac{x+1}{2}\): for \(x=1\), \(y=1\); for \(x=3\), \(y=2\); for \(x=5\), \(y=3\); and for \(x=7\), \(y=4\). Hence, the range is \(\{1,2,3,4\}\). Option B is the domain, not the range. Exam tip: to find a function’s range, list all distinct output values obtained from the given inputs.
किसी फलन का परिसर उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय होता है जो फलन के द्वारा प्राप्त होते हैं, अर्थात क्रमित युग्मों के दूसरे घटक। यहाँ \(1\mapsto a\), \(2\mapsto b\) और \(3\mapsto b\), इसलिए परिसर \(\{a,b\}\) है। \(\{a,b,c,d\}\) सहपरिसर (codomain) है, लेकिन \(c\) और \(d\) वास्तव में प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: range निकालने के लिए सभी युग्मों के दूसरे घटक लिखकर दोहराए गए मान को केवल एक बार रखें। / The range of a function is the set of all actual output values, כלומר the second components of its ordered pairs. Here, \(1\mapsto a\), \(2\mapsto b\), and \(3\mapsto b\), so the range is \(\{a,b\}\). The set \(\{a,b,c,d\}\) is the codomain, but \(c\) and \(d\) are not attained by the function. Exam tip: To find the range, collect the second components of all ordered pairs and list repeated values only once.
किसी फलन के प्रांत (domain) में सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटक लिए जाते हैं। दिए गए युग्मों के प्रथम घटक \(a,b,c,d\) हैं, इसलिए \(A=\{a,b,c,d\}\)। विकल्प B केवल फलन की range है, जबकि विकल्प C पूरा फलन और विकल्प D दोनों प्रकार के अवयवों का अनावश्यक मिश्रण है। परीक्षा-युक्ति: domain के लिए प्रथम घटक और range के लिए द्वितीय घटक देखें। / The domain of a function is the set of first components of all its ordered pairs. The first components here are \(a,b,c,d\), so \(A=\{a,b,c,d\}\). Option B is only the range, option C is the complete set of ordered pairs, and option D incorrectly combines domain and range elements. Exam tip: identify first components for the domain and second components for the range.
यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{0,1\}\) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि \(x\) सम होने पर \(f(x)=0\) और \(x\) विषम होने पर \(f(x)=1\), तो \(f\) का परिसर क्या है?
परिभाषा के अनुसार, सम संख्याओं \(2\) और \(4\) के लिए \(f(x)=0\), जबकि विषम संख्याओं \(1\) और \(3\) के लिए \(f(x)=1\)। इसलिए फलन के सभी प्राप्त मानों का समुच्चय \(\{0,1\}\) है। विकल्प \(D\) परिसर नहीं, बल्कि फलन का प्रांत है। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए प्रांत के प्रत्येक अवयव के फलन-मान लिखकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / By definition, the even inputs \(2\) and \(4\) give \(f(x)=0\), while the odd inputs \(1\) and \(3\) give \(f(x)=1\). Hence, the set of all output values is \(\{0,1\}\). Option D is the domain, not the range. Exam tip: To find a range, evaluate the function at every domain element and list only the distinct output values.
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); परास \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)/Domain \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); Range \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)
Explanation
Simple Explanation
हर के शून्य न होने की शर्त से \(x^2-1\ne0\), अतः \(x\ne\pm1\)। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। परास के लिए \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) लेने पर \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। चूँकि \(x^2\ge0\) और \(y\ne1\), इसलिए \(y\le-1\) या \(y>1\) होना चाहिए। \(y=-1\), \(x=0\) पर प्राप्त होता है, लेकिन \(y=1\) कभी प्राप्त नहीं होता। विकल्प B में प्रांत से निकाले गए मानों को गलत ढंग से परास से निकाले गए मान मान लिया गया है। परीक्षा टिप: परिमेय फलनों में पहले हर से प्रांत ज्ञात करें, फिर आउटपुट के लिए अलग से शर्त जाँचें। / The denominator must be non-zero: \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). For the range, let \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\). Then \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\). Since \(x^2\ge0\) and \(y\ne1\), we must have \(y\le-1\) or \(y>1\). The value \(y=-1\) occurs at \(x=0\), whereas \(y=1\) is never attained. Option B incorrectly treats excluded domain values as excluded range values. Exam tip: for rational functions, find denominator restrictions first, then determine range separately.
समुच्चय \(A\) में विषम संख्याएँ \(1,3\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=-1\) मिलता है। सम संख्याएँ \(2,4\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=1\) मिलता है। अतः सभी निवेशों के प्रतिम्बों का समुच्चय \(\{-1,1\}\) है। केवल \(\{1\}\) या केवल \(\{-1\}\) लेने पर क्रमशः सम या विषम निवेश छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \((-1)^x\) में विषम घात पर \(-1\) और सम घात पर \(1\) आता है। / The odd elements of \(A\), namely \(1\) and \(3\), give \((-1)^x=-1\). The even elements, \(2\) and \(4\), give \((-1)^x=1\). Therefore, the set of all output values is \(\{-1,1\}\). The choices \(\{1\}\) and \(\{-1\}\) omit the outputs from odd and even inputs, respectively. Exam tip: \((-1)^x\) equals \(-1\) for an odd exponent and \(1\) for an even exponent.
यदि \(f:\{0,1,2,3\}\to\{0,1,2,3\}\) को \(f(x)\) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ \(f(x)\), \(x\) को 3 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
A. परिसर \(\{0,1,2\}\) है/The range is \(\{0,1,2\}\)
Explanation
Simple Explanation
\(0,1,2,3\) को 3 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः \(0,1,2,0\) प्राप्त होते हैं। इसलिए फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय, अर्थात् परिसर, \(\{0,1,2\}\) है। \(f(0)=f(3)=0\) होना फलन के विरुद्ध नहीं है; अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है, पर प्रत्येक इनपुट का आउटपुट एकमात्र होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए कोडोमेन नहीं, बल्कि सभी इनपुटों से प्राप्त वास्तविक आउटपुट लिखें। / Dividing \(0,1,2,3\) by 3 gives the remainders \(0,1,2,0\), respectively. Hence the set of actual values of the function, or its range, is \(\{0,1,2\}\). The equality \(f(0)=f(3)=0\) does not violate the definition of a function; different inputs may have the same output, provided each input has exactly one output. Exam tip: To find the range, list the actual outputs rather than simply copying the codomain.
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x-2>0) होना चाहिए। परीक्षा में हर वाले मूल में शून्य भी हटाएं। / The denominator has \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0) is required. In exams, also exclude zero in a denominator.
