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कुल विकल्प \(5\times5\times5\times8=1000\) हैं। मिश्रित कोड में हर स्थान का विकल्प अलग लिखें। / Total choices are \(5\times5\times5\times8=1000\). In mixed codes, write choices for each position separately.
सिक्के के (2) और पासे के (6) परिणाम हैं इसलिए \(2\times6=12\)। दो प्रयोग साथ हों तो गुणन करें। / A coin has (2) outcomes and a die has (6), so \(2\times6=12\). Multiply when two experiments are performed together.
प्रत्येक सिक्के के दो संभावित परिणाम होते हैं: चित या पट। चूँकि सिक्के अलग-अलग हैं, पहले सिक्के के प्रत्येक परिणाम के साथ दूसरे सिक्के के 2 परिणाम जुड़ सकते हैं। अतः कुल परिणाम \(2\times2=4\) हैं: (चित, चित), (चित, पट), (पट, चित), (पट, पट)। विकल्प 2 में केवल एक सिक्के के परिणाम गिने गए हैं। परीक्षा टिप: अलग-अलग वस्तुओं के स्वतंत्र विकल्पों की संख्या गुणा करें। / Each coin has two possible outcomes: head or tail. Since the coins are distinct, each outcome of the first coin can be paired with 2 outcomes of the second coin. Hence, the total number of outcomes is \(2\times2=4\): (H, H), (H, T), (T, H), and (T, T). Option 2 counts the outcomes of only one coin. Exam tip: Multiply the numbers of independent choices for distinct objects.
पहले पासे के (6) और दूसरे के (6) परिणाम हैं इसलिए \(6\times6=36\)। क्रमित परिणाम में दोनों पासों की भूमिका अलग रहती है। / The first die has (6) outcomes and the second has (6), so \(6\times6=36\). In ordered outcomes, the roles of both dice are distinct.
प्रत्येक 4 रंगों के लिए 3 में से कोई भी एक आकार चुना जा सकता है। इसलिए मूल गणना सिद्धांत के अनुसार कुल डिज़ाइन \(4\times 3=12\) होंगे। विकल्प 7 रंगों और आकारों को जोड़ने से मिलता है, पर यहाँ दोनों का एक-एक चयन मिलकर एक डिज़ाइन बनाता है, इसलिए गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / For each of the 4 colors, any one of the 3 shapes can be chosen. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of designs is \(4\times 3=12\). Option 7 results from adding the numbers of colors and shapes, but a design requires one choice of each, so the numbers must be multiplied. Exam tip: For successive independent choices, multiply the number of available choices at each step.
पहले चरण में (3) और दूसरे में (4) विकल्प हैं इसलिए \(3\times4=12\)। पासवर्ड के स्थानों को क्रम से भरें। / The first stage has (3) choices and the second has (4), so \(3\times4=12\). Fill password positions in order.
केवल एक विषय चुनना है इसलिए (5+6=11)। विकल्प समूह अलग हों और साथ नहीं चुने जाते हों तो जोड़ें। / Only one topic is to be chosen, so (5+6=11). Add when option groups are separate and not chosen together.
स्थान संग्रहालय या पार्क में से होगा इसलिए (3+4=7)। “या” वाले अलग चयन में योग का नियम लगाएँ। / The place will be a museum or a park, so (3+4=7). Use the addition rule for separate “or” choices.
हर भाषा के लिए 2 थीम चुनी जा सकती हैं। अतः 4 भाषा विकल्पों के लिए कुल चयन \(4\times2=8\) होंगे। \(6\) जोड़ने से मिलता है, पर यहाँ भाषा और थीम का एक-एक विकल्प मिलकर एक जोड़ी बनाते हैं, इसलिए गुणा का नियम लागू होगा। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों को गुणा करें। / For each language, there are 2 possible theme choices. Therefore, for 4 language options, the total number of selections is \(4\times2=8\). Adding to get \(6\) is incorrect because one language and one theme form a pair, so the multiplication principle applies. Exam tip: Multiply the numbers of choices when independent selections are made in sequence.
बैग चुनने के 2 तरीके हैं। प्रत्येक बैग के लिए पानी की बोतल चुनने के 5 तरीके और प्रत्येक ऐसी जोड़ी के लिए टिफिन चुनने के 3 तरीके हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(2\times5\times3=30\) होंगे। 10 केवल \(2\times5\) है, इसमें टिफिन के विकल्प शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: अलग-अलग श्रेणियों से एक-एक चयन हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / There are 2 choices for the bag. For each bag, there are 5 choices for the water bottle, and for every such pair, there are 3 choices for the lunch box. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(2\times5\times3=30\). The value 10 is only \(2\times5\) and ignores the lunch-box choices. Exam tip: When one item is chosen from each independent category, multiply the numbers of choices.
दो अंक स्थानों के (10) और (10) विकल्प तथा अक्षर के (5) विकल्प हैं। कुल \(10\times10\times5=500\) हैं। / The two digit positions have (10) and (10) choices, and the letter has (5) choices. Total ways are \(10\times10\times5=500\).
प्रत्येक स्थान के (6) विकल्प हैं इसलिए \(6^4=1296\)। समान विकल्प बार-बार हों तो घात का प्रयोग तेज होता है। / Each position has (6) choices, so \(6^4=1296\). When the same choices repeat, using powers is faster.
चार स्थानों के विकल्प (4,3,2,1) हैं इसलिए \(4\times3\times2\times1=24\)। सभी अंक उपयोग हों तो विकल्प क्रम से घटते हैं। / The four positions have (4,3,2,1) choices, so \(4\times3\times2\times1=24\). If all digits are used, choices decrease step by step.
सम संख्या के इकाई अंक के लिए केवल 0 या 2 हो सकता है। यदि इकाई अंक 0 है, तो सैकड़ों के स्थान के लिए 1, 2, 3 में से 3 विकल्प और दहाइयों के लिए 2 विकल्प हैं: \(3\times2=6\)। यदि इकाई अंक 2 है, तो सैकड़ों के स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए 1 या 3 में से 2 विकल्प और दहाइयों के लिए 2 विकल्प हैं: \(2\times2=4\)। अतः कुल \(6+4=10\) संख्याएँ बनेंगी। 8 वाला विकल्प तब मिलता है जब 0 को गलत ढंग से सैकड़ों के स्थान पर भी अनुमति दे दी जाती है। परीक्षा टिप: बहु-अंकीय संख्या में सबसे बायाँ अंक 0 नहीं हो सकता। / For an even number, the units digit can only be 0 or 2. If the units digit is 0, there are 3 choices (1, 2, 3) for the hundreds digit and 2 choices for the tens digit: \(3\times2=6\). If the units digit is 2, 0 cannot be in the hundreds place, so there are 2 choices (1, 3) for it and 2 choices for the tens digit: \(2\times2=4\). Hence, the total is \(6+4=10\). Option 8 results from an incorrect treatment of 0 in the hundreds place. Exam tip: the first digit of a multi-digit number cannot be 0.
केवल एक पेय चुनना है इसलिए (3+4+2=9)। एक ही श्रेणी नहीं बल्कि वैकल्पिक समूह हों तो जोड़ें। / Only one drink is chosen, so (3+4+2=9). Add when the groups are alternatives, not simultaneous choices.
रंग और आकार दोनों चुनने हैं इसलिए \(5\times4=20\)। उत्पाद की अलग विशेषताएँ स्वतंत्र हों तो गुणा करें। / Both color and size are to be selected, so \(5\times4=20\). Multiply when product features are independent.
तीनों चरण स्वतंत्र हैं इसलिए \(3\times2\times4=24\)। डिज़ाइन प्रश्नों में हर फीचर को एक चरण मानें। / The three stages are independent, so \(3\times2\times4=24\). In design questions, treat each feature as one stage.
छात्र को ऑनलाइन या ऑफलाइन में से केवल एक कोर्स चुनना है। ये दोनों विकल्प परस्पर अलग हैं, इसलिए जोड़ का नियम लागू होगा: \(6+3=9\)। अतः कुल 9 चयन संभव हैं। \(18\) तब होता यदि प्रत्येक ऑनलाइन कोर्स को प्रत्येक ऑफलाइन कोर्स के साथ चुनना होता; वह गुणा का नियम है। परीक्षा टिप: “या” और केवल एक चयन होने पर सामान्यतः विकल्पों को जोड़ें। / The student must choose only one course, either online or offline. These are mutually exclusive choices, so apply the addition rule: \(6+3=9\). Hence, there are 9 possible choices. \(18\) would result if one online course and one offline course had to be chosen together; that would use the multiplication rule. Exam tip: For “or” with exactly one choice, usually add the numbers of alternatives.
एक चित्र और एक संदेश दोनों चाहिए इसलिए \(4\times5=20\)। संयुक्त चयन में गुणा सिद्धांत लागू होता है। / One picture and one message are both needed, so \(4\times5=20\). The multiplication principle applies to combined selection.
रंग चुनने के 3 तरीके हैं और प्रत्येक रंग के लिए क्षमता चुनने के 4 तरीके हैं। अतः गुणन सिद्धांत से कुल मॉडल \(3\times4=12\) होंगे। 7 प्राप्त करने के लिए विकल्पों को जोड़ना गलत है, क्योंकि हर रंग को हर क्षमता के साथ जोड़ा जा सकता है। परीक्षा टिप: जब दो स्वतंत्र चयन मिलकर एक परिणाम बनाते हैं, तो उनके विकल्पों की संख्या गुणा करें। / There are 3 choices of colour, and for each colour there are 4 choices of capacity. Therefore, by the multiplication principle, the total number of models is \(3\times4=12\). Adding the choices to get 7 is incorrect because every colour can be paired with every capacity. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent selections combine to form one outcome.
दो अलग पद भरने हैं इसलिए \(4\times3=12\)। अलग पदों के चयन को क्रमबद्ध चरण मानें। / Two different posts are to be filled, so \(4\times3=12\). Treat selections for different posts as ordered stages.
पहले (5) और फिर (2) विकल्प हैं इसलिए \(5\times2=10\)। क्रम से होने वाली यात्रा में चरणों को गुणा करें। / There are (5) choices first and (2) choices next, so \(5\times2=10\). Multiply the stages in a sequential journey.
दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं इसलिए \(3\times6=18\)। प्रोफाइल सेटअप में हर अनिवार्य चयन को गुणा करें। / Both choices are independent, so \(3\times6=18\). In profile setup, multiply every required selection.
कुल अवतार \(2\times4\times3=24\) होंगे। तीन स्वतंत्र फीचर हों तो सभी विकल्पों को गुणा करें। / Total avatars are \(2\times4\times3=24\). When there are three independent features, multiply all choices.
गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(4\times3=12\) हैं। परीक्षा में “और” आने पर सामान्यतः गुणा करें। / By the multiplication principle total ways are \(4\times3=12\). In exams, “and” usually indicates multiplication.
पहले स्थान के (5) और दूसरे के (10) विकल्प हैं इसलिए \(5\times10=50\)। हर स्थान के विकल्प अलग गिनें। / The first place has (5) choices and the second has (10), so \(5\times10=50\). Count choices for each position separately.
एक ही वक्ता चुनना है इसलिए कुल (7+5=12)। एक वस्तु समूहों से चुननी हो तो जोड़ें। / Only one speaker is to be chosen, so total ways are (7+5=12). Add when choosing one object from groups.
एक पुस्तक गणित या विज्ञान से चुनी जाएगी इसलिए (8+6=14)। “केवल एक” में जोड़ने का नियम देखें। / One book is chosen from mathematics or science, so (8+6=14). For “only one,” look for the addition rule.
यात्रा दो लगातार चरणों में है इसलिए \(3\times4=12\)। लगातार चरणों में गुणन सिद्धांत लगाएँ। / The journey has two consecutive stages, so \(3\times4=12\). Apply multiplication for consecutive stages.
तीनों विकल्प एक साथ चाहिए इसलिए \(5\times2\times3=30\)। पूर्ण व्यवस्था में सभी चरण गिनें। / All three choices are needed, so \(5\times2\times3=30\). Count every stage in a complete arrangement.
हर स्थान के (10) विकल्प हैं इसलिए \(10\times10\times10=1000\)। कोड में पहला (0) भी चल सकता है तो (10) विकल्प लें। / Each position has (10) choices, so \(10\times10\times10=1000\). In a code, if leading (0) is allowed, take (10) choices.
दोनों स्थानों के (9) विकल्प हैं इसलिए \(9\times9=81\)। पुनरावृत्ति हो तो विकल्प घटते नहीं हैं। / Both positions have (9) choices, so \(9\times9=81\). With repetition, choices do not decrease.
पहले स्थान के (4) और दूसरे के (3) विकल्प हैं इसलिए \(4\times3=12\)। बिना पुनरावृत्ति हर अगले स्थान पर विकल्प घटते हैं। / The first place has (4) choices and the second has (3), so \(4\times3=12\). Without repetition, choices decrease at the next place.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (4) विकल्प और इकाई पर (5) विकल्प हैं। कुल \(4\times5=20\) हैं। / The tens place cannot be (0), so it has (4) choices and the units place has (5). Total ways are \(4\times5=20\).
सैकड़ा स्थान पर (0) नहीं होगा इसलिए (3) विकल्प हैं। फिर (3) और (2) विकल्प बचते हैं इसलिए \(3\times3\times2=18\)। / The hundreds place cannot be (0), so it has (3) choices. Then (3) and (2) choices remain, giving \(3\times3\times2=18\).
हर स्थान के (4) विकल्प हैं इसलिए \(4\times4\times4=64\)। पुनरावृत्ति होने पर हर स्थान पर समान विकल्प रहते हैं। / Each place has (4) choices, so \(4\times4\times4=64\). With repetition, each place keeps the same choices.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प हैं और दहाई पर (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(3\times5=15\) हैं। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and (5) choices remain for the tens place. Total ways are \(3\times5=15\).
इकाई स्थान पर (1,3,5) के (3) विकल्प हैं और दहाई पर (1) से (5) तक (5) विकल्प हैं। कुल \(5\times3=15\) हैं। / The units place has (3) choices (1,3,5), and the tens place has (5) choices from (1) to (5). Total ways are \(5\times3=15\).
हर स्थान पर (5) अक्षर आ सकते हैं इसलिए \(5\times5=25\)। कोड में पुनरावृत्ति हो तो प्रत्येक स्थान पर समान विकल्प रखें। / Each position can take (5) letters, so \(5\times5=25\). If repetition is allowed in a code, keep the same choices for each position.
कुल तरीके \(3 \times 4=12\) होंगे। परीक्षा में "और" वाले स्वतंत्र चुनाव में गुणा करें। / Total ways are \(3 \times 4=12\). In exams multiply for independent choices connected by "and".
हर चाय के साथ (3) नाश्ते चुने जा सकते हैं इसलिए \(5 \times 3=15\)। ऐसे प्रश्नों में चरणों की संख्या गुणा करें। / For each tea there are (3) snack choices so \(5 \times 3=15\). Multiply the number of choices at each stage.
पहले स्थान के लिए 4 विकल्प हैं। प्रत्येक विकल्प के साथ दूसरे स्थान के लिए 6 विकल्प उपलब्ध हैं, इसलिए गुणन के मूल सिद्धांत से कुल कोड \(4\times6=24\) होंगे। विकल्प 10 दोनों विकल्पों को जोड़ने से मिलता है, जो यहाँ गलत है क्योंकि प्रत्येक अक्षर के साथ हर अंक का अलग कोड बनता है। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र चयन हों तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / There are 4 choices for the first position. For each of these choices, there are 6 choices for the second position; hence, by the fundamental principle of counting, the total number of codes is \(4\times6=24\). Option 10 comes from adding the choices, which is incorrect because every letter can be paired with every digit. Exam tip: multiply the numbers of choices for successive independent selections.
बस और रेल दोनों चुनने हैं इसलिए \(2 \times 5=10\)। "दोनों" का अर्थ आमतौर पर गुणा होता है। / Both a bus route and a train route are chosen so \(2 \times 5=10\). The word "both" usually indicates multiplication.
प्रत्येक टोपी के साथ (2) रिबन मिल सकते हैं इसलिए \(6 \times 2=12\)। जोड़ी बनाने में गुणन सिद्धांत याद रखें। / Each cap can pair with (2) ribbons so \(6 \times 2=12\). Remember multiplication principle for making pairs.
एक सब्जी चुनने के 4 विकल्प हैं। प्रत्येक सब्जी के साथ एक रोटी चुनने के 3 विकल्प होंगे। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(4 \times 3=12\) हैं। विकल्प 7, \(4+3\), केवल उपलब्ध वस्तुओं की कुल संख्या है, चयन के तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से एक-एक वस्तु चुननी हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / There are 4 choices for the vegetable dish, and for each such choice there are 3 choices for the bread. By the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(4 \times 3=12\). The value 7, obtained by \(4+3\), counts the available items, not the possible pairs. Exam tip: When one item is chosen from each separate category, multiply the numbers of choices.
प्रत्येक कागज के लिए (5) फीते हैं इसलिए \(3 \times 5=15\)। चुनाव स्वतंत्र हों तो उत्तर गुणन से मिलता है। / For each paper there are (5) ribbon choices so \(3 \times 5=15\). Independent choices give the answer by multiplication.
एक पेन और एक कॉपी के लिए \(7 \times 2=14\)। प्रश्न में दो चरण हों तो चरणों के तरीके गुणा करें। / For one pen and one notebook \(7 \times 2=14\). If the question has two stages multiply the choices.
कुल तरीके \(4 \times 4=16\) होंगे। समान संख्या होने पर भी जोड़ नहीं बल्कि गुणा करें। / Total ways are \(4 \times 4=16\). Even when the numbers are equal use multiplication not addition.
जैकेट और जूते दोनों चुनने हैं इसलिए \(2 \times 6=12\)। स्वतंत्र चुनावों में कुल परिणाम गुणा से मिलते हैं। / One jacket and one shoe option are both chosen so \(2 \times 6=12\). Independent choices give total outcomes by multiplication.
पहले भाग से (3) और दूसरे से (7) विकल्प हैं इसलिए \(3 \times 7=21\)। अलग-अलग भागों से चयन होने पर गुणा करें। / There are (3) choices from the first section and (7) from the second so \(3 \times 7=21\). Multiply selections from different sections.
कुल चयन \(5 \times 2=10\) हैं। जब दोनों वस्तुएं चाहिए हों तो गुणन सिद्धांत लागू होता है। / Total selections are \(5 \times 2=10\). When both objects are required the multiplication principle applies.
दो स्थान स्वतंत्र हैं इसलिए \(8 \times 3=24\)। स्थान आधारित गिनती में हर स्थान के विकल्प गुणा करें। / The two positions are independent so \(8 \times 3=24\). For position-based counting multiply the choices for each position.
गंतव्य (4) तरीके से और होटल (5) तरीके से चुना जा सकता है इसलिए \(4 \times 5=20\)। क्रमिक स्वतंत्र चयन में गुणा करें। / The destination can be chosen in (4) ways and the hotel in (5) ways so \(4 \times 5=20\). Multiply for successive independent choices.
गीत और नृत्य की जोड़ी \(6 \times 3=18\) तरीकों से बनेगी। जोड़ी बनाते समय विकल्पों को गुणा करें। / The song and dance pair can be made in \(6 \times 3=18\) ways. Multiply choices when forming pairs.
हर पृष्ठभूमि के साथ (9) फ्रेम जुड़ सकते हैं इसलिए \(2 \times 9=18\)। ऐसे प्रश्नों में कुल जोड़ी गुणन से मिलती है। / Each background can combine with (9) frames so \(2 \times 9=18\). In such questions total pairs are found by multiplication.
एक बैज बनाने के लिए दो स्वतंत्र चयन करने हैं: 5 आकृतियों में से 1 आकृति और 4 रंगों में से 1 रंग। प्रत्येक आकृति के लिए 4 रंग उपलब्ध हैं, इसलिए गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(5 \times 4 = 20\) होंगे। 9 प्राप्त करने के लिए संख्याओं को जोड़ा जाता है, जबकि क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों के लिए गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: ‘और’ वाले स्वतंत्र चरणों में सामान्यतः विकल्पों की संख्या गुणा करें। / Making one badge involves two independent choices: 1 of 5 shapes and 1 of 4 colors. Each shape can be paired with any of the 4 colors, so by the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(5 \times 4 = 20\). Adding to get 9 is incorrect because independent successive choices are multiplied. Exam tip: For independent steps joined by “and”, usually multiply the numbers of choices.
विषय और समय दोनों चुनने हैं इसलिए \(3 \times 8=24\)। स्वतंत्र चरणों के लिए गुणा करना सही है। / Both subject and time are chosen so \(3 \times 8=24\). Multiplication is correct for independent stages.
हर उपन्यास के साथ (5) पत्रिकाएं चुनी जा सकती हैं इसलिए \(7 \times 5=35\)। अलग श्रेणियों से एक-एक चयन में गुणा करें। / With each novel (5) magazines can be selected so \(7 \times 5=35\). Multiply when selecting one from each category.
कुल तरीके \(4 \times 6=24\) होंगे। प्रत्येक पहले विकल्प के साथ दूसरे के सभी विकल्प मिलते हैं। / Total ways are \(4 \times 6=24\). Each first choice combines with all choices of the second.
बल्ला (2) तरीकों से और गेंद (7) तरीकों से चुनी जाती है इसलिए \(2 \times 7=14\)। "एक और एक" में गुणन सिद्धांत लगाएं। / The bat is chosen in (2) ways and the ball in (7) ways so \(2 \times 7=14\). Use multiplication for "one and one" choices.
प्रत्येक 9 अक्षर शैलियों के लिए 2 सीमा रंगों में से कोई एक चुना जा सकता है। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(9 \times 2=18\) हैं। \(11\) प्राप्त करने के लिए विकल्पों को जोड़ना गलत होगा, क्योंकि एक शैली और एक रंग दोनों साथ चुने जाते हैं। परीक्षा टिप: जब स्वतंत्र विकल्प एक साथ चुने जाएँ, तो उनके विकल्पों की संख्या गुणा करें। / For each of the 9 letter styles, either of the 2 border colours can be chosen. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(9 \times 2=18\). Adding the numbers to get \(11\) is incorrect because one style and one colour are chosen together. Exam tip: Multiply the numbers of choices when independent selections are made together.
अध्याय (5) और स्तर (6) हैं इसलिए \(5 \times 6=30\)। स्वतंत्र चयन में कुल परिणाम गुणा से मिलते हैं। / There are (5) chapters and (6) levels so \(5 \times 6=30\). Independent choices give total outcomes by multiplication.
द्वार और कक्ष दोनों तय होते हैं इसलिए \(3 \times 4=12\)। प्रत्येक चरण के विकल्पों को गुणा करें। / Both gate and room are fixed so \(3 \times 4=12\). Multiply the choices in each stage.
प्रत्येक 4 रंगों के लिए 3 पहिया डिजाइनों में से कोई भी डिजाइन चुना जा सकता है। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल मॉडल \(4 \times 3 = 12\) होंगे। \(4+3=7\) करना गलत है, क्योंकि रंग और पहिया डिजाइन स्वतंत्र विकल्प हैं तथा उनके सभी युग्म बनते हैं। परीक्षा टिप: स्वतंत्र चरणों में विकल्पों की संख्या गुणा की जाती है। / For each of the 4 colours, any one of the 3 wheel designs can be chosen. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of models is \(4 \times 3 = 12\). Adding to get \(4+3=7\) is incorrect because colour and wheel design are independent choices, and every combination is possible. Exam tip: multiply the numbers of choices in independent successive steps.
रंग (6) तरीकों से और आकार (5) तरीकों से चुना जाता है इसलिए \(6 \times 5=30\)। ऐसे संयोजन में जोड़ की जगह गुणा करें। / The color is chosen in (6) ways and the shape in (5) ways so \(6 \times 5=30\). In such combinations multiply instead of adding.
एक लड़का और एक लड़की चुननी है इसलिए \(4 \times 5=20\)। जब दोनों पद भरने हों तो विकल्प गुणा करें। / One boy and one girl must be chosen so \(4 \times 5=20\). When both positions are filled multiply the choices.
हर आवरण डिज़ाइन के लिए (9) रंग हैं इसलिए \(3 \times 9=27\)। कुल विकल्प चरणों के गुणन से मिलते हैं। / For every cover design there are (9) colors so \(3 \times 9=27\). Total options are found by multiplying stages.
एक मिठाई प्रकार चुनने के 8 विकल्प हैं। प्रत्येक चुनी हुई मिठाई के लिए डिब्बे का आकार चुनने के 2 विकल्प हैं। अतः गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(8\times2=16\) होंगे। विकल्प 10, 8 और 12 में दोनों स्वतंत्र चुनावों का गुणन नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: जब एक चुनाव के बाद दूसरा स्वतंत्र चुनाव किया जाता है, तो विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / There are 8 choices for the sweet type, and for each selected type there are 2 choices of box size. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(8\times2=16\). The options 10, 8, and 12 do not correctly multiply the two independent choices. Exam tip: Multiply the number of choices when successive selections are independent.
कलम के लिए 6 विकल्प हैं और प्रत्येक कलम रंग के साथ हाईलाइटर के 3 विकल्प चुने जा सकते हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल जोड़े \(6 \times 3=18\) होंगे। विकल्प 9, दोनों संख्याओं को जोड़ने से मिलता है, जबकि अलग-अलग समूहों से एक-एक चयन करने पर जोड़ नहीं, गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / There are 6 choices of pen colour, and for each chosen pen colour there are 3 choices of highlighter colour. By the fundamental principle of counting, the total number of pairs is \(6 \times 3=18\). Option 9 results from adding the choices, but choices made from two separate groups are multiplied, not added. Exam tip: Multiply the number of choices at successive independent stages.
फाइल रंग (4) और लेबल रंग (7) हैं इसलिए \(4 \times 7=28\)। स्वतंत्र रंग चुनावों को गुणा करें। / There are (4) file colors and (7) label colors so \(4 \times 7=28\). Multiply independent color choices.
शिक्षक और समय दोनों चुनने हैं इसलिए \(5 \times 4=20\)। दो स्वतंत्र निर्णयों में कुल तरीके गुणा से मिलते हैं। / Both teacher and time are to be chosen so \(5 \times 4=20\). For two independent decisions total ways are found by multiplication.
कार्ड प्रकार (2) और योजनाएं (8) हैं इसलिए \(2 \times 8=16\)। हर प्रकार के साथ सभी योजनाएं गिनी जाती हैं। / There are (2) card types and (8) plans so \(2 \times 8=16\). All plans are counted with each type.
एक नाम के साथ (6) रंग संभव हैं इसलिए \(3 \times 6=18\)। पहचान दो स्वतंत्र विकल्पों से बन रही है। / With one name (6) colors are possible so \(3 \times 6=18\). The identity is formed from two independent choices.
एक प्लेलिस्ट चुनने के 7 विकल्प हैं। प्रत्येक चुनी हुई प्लेलिस्ट के लिए ध्वनि गुणवत्ता चुनने के 3 विकल्प उपलब्ध हैं। अतः गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(7\times3=21\) होंगे। विकल्प 10, दोनों विकल्पों की संख्याओं को जोड़ने से मिलता है, जो यहाँ गलत है क्योंकि दो स्वतंत्र चयन किए जा रहे हैं। परीक्षा टिप: जब एक चयन के प्रत्येक विकल्प के साथ दूसरे चयन के सभी विकल्प जुड़ सकते हों, तो संख्याओं का गुणा करें। / There are 7 choices for the playlist, and for each selected playlist there are 3 choices for sound quality. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(7\times3=21\). Option 10 comes from adding the numbers, which is incorrect here because two independent selections are being made. Exam tip: Multiply when every choice of one step can be paired with every choice of the next step.
प्रत्येक 5 ब्रश आकारों के लिए 5 रंग पैलेटों में से कोई एक पैलेट चुना जा सकता है। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल चयन \(5 \times 5=25\) होंगे। 10 प्राप्त करने के लिए संख्याओं को जोड़ा जाता है, लेकिन यहाँ एक ब्रश आकार के साथ एक पैलेट का युग्म बन रहा है, इसलिए गुणा करना चाहिए। परीक्षा टिप: जब दो स्वतंत्र विकल्पों को साथ-साथ चुनना हो, तो उनके विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / For each of the 5 brush sizes, any one of the 5 colour palettes can be selected. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(5 \times 5=25\). Adding the numbers gives 10, but addition is not used here because a brush size is paired with a palette. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent selections are made together.
विषय और माध्यम के लिए \(4 \times 2=8\) तरीके हैं। दोनों विकल्प जरूरी हों तो गुणन सिद्धांत उपयोग करें। / For subject and medium there are \(4 \times 2=8\) ways. Use multiplication principle when both choices are required.
एक पेय चुनने के 9 विकल्प हैं। प्रत्येक चुने हुए पेय के साथ बिस्कुट पैक चुनने के 4 विकल्प हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(9 \times 4=36\) होंगे। विकल्प 13, दोनों वस्तुओं की संख्याओं को जोड़ने से मिलता है, पर यहाँ एक पेय के साथ एक पैक का युग्म बनाना है, इसलिए जोड़ नहीं बल्कि गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: जब चयन क्रमिक चरणों में हो और हर पहले चयन के लिए दूसरे चयन के सभी विकल्प उपलब्ध हों, तब विकल्पों को गुणा करें। / There are 9 choices for the drink. For each selected drink, there are 4 choices for the biscuit pack. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(9 \times 4=36\). Option 13 results from adding the numbers of items, but a drink and a pack form a pair, so multiplication—not addition—is required. Exam tip: Multiply the choices when each option in one step can be combined with every option in the next step.
वैकल्पिक विषय (6) और भाषाएं (2) हैं इसलिए \(6 \times 2=12\)। दो सूचियों से एक-एक चुनाव में गुणा करें। / There are (6) optional subjects and (2) languages so \(6 \times 2=12\). Multiply when choosing one from each of two lists.
हर मुहर के साथ (5) हस्ताक्षर शैलियां हैं इसलिए \(3 \times 5=15\)। प्रमाणपत्र दो स्वतंत्र डिजाइन चरणों से बन रहा है। / Each seal has (5) signature styles so \(3 \times 5=15\). The certificate is made from two independent design stages.
प्रत्येक 7 कीबोर्ड विकल्पों के लिए 2 माउस विकल्प उपलब्ध हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल चयन \(7 \times 2=14\) होंगे। \(7+2=9\) जोड़ने से केवल कुल अलग-अलग वस्तुओं की संख्या मिलती है, कीबोर्ड-माउस की जोड़ियों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: जब चयन क्रमशः अलग-अलग समूहों से करना हो, तो विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / For each of the 7 keyboard choices, there are 2 possible mouse choices. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(7 \times 2=14\). Adding them, \(7+2=9\), counts individual items, not keyboard-mouse pairs. Exam tip: Multiply the numbers of choices when one item is chosen from each separate group.
संग्रहालय चुनने के 5 तरीके हैं। प्रत्येक संग्रहालय के लिए भोजन स्थान चुनने के 3 तरीके हैं। अतः गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(5 \times 3=15\) हैं। विकल्प 8, \(5+3\), केवल विकल्पों की संख्या जोड़ता है; दो क्रमिक चुनावों के लिए जोड़ नहीं, गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक पहले चुनाव के साथ दूसरे चुनाव के सभी विकल्प संभव हों, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / There are 5 choices for the museum, and for each museum there are 3 choices for the lunch place. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(5 \times 3=15\). Option 8, obtained from \(5+3\), only adds the available options; successive independent choices require multiplication. Exam tip: Multiply the numbers of choices when every first choice can be paired with every second choice.
प्रत्येक आकार के लिए (8) रंग हैं इसलिए \(4 \times 8=32\)। प्रत्येक स्वतंत्र वर्ग के विकल्पों को गुणा करें। / For each size there are (8) colors so \(4 \times 8=32\). Multiply the choices from each independent category.
एक पहचान प्रमाण और एक पता प्रमाण चाहिए इसलिए \(2 \times 6=12\)। दो आवश्यक प्रमाणों में गुणा सिद्धांत लगाएं। / One identity proof and one address proof are needed so \(2 \times 6=12\). Apply the multiplication principle for two required proofs.
मूल गणना सिद्धांत के अनुसार, एक समूह चुनने के 9 तरीके हैं और उसके लिए एक विषय चुनने के 3 तरीके हैं। अतः कुल मिलान \(9 \times 3=27\) होंगे। विकल्प 12, \(9+3\) से मिलता है, पर स्वतंत्र विकल्पों के संयोजन में जोड़ नहीं, गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: “और” वाले क्रमिक चयन में सामान्यतः विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / By the fundamental principle of counting, there are 9 choices for the group and 3 choices for the topic. Therefore, the total number of matches is \(9 \times 3=27\). The value 12 comes from \(9+3\), but independent choices are multiplied, not added. Exam tip: For successive choices connected by “and”, usually multiply the numbers of choices.
पट्टा और डायल मिलकर \(6 \times 4=24\) घड़ियां बनाते हैं। भागों को मिलाने में गुणन सिद्धांत उपयोग करें। / Strap and dial together make \(6 \times 4=24\) watches. Use multiplication principle when combining parts.
एक विषय श्रेणी चुनने के 5 तरीके हैं और प्रत्येक चुनी गई श्रेणी के लिए अंक योजना चुनने के 7 तरीके हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(5 \times 7=35\) होंगे। विकल्प 49, \(7 \times 7\) से मिलता है, पर यहाँ केवल 5 श्रेणियां हैं। परीक्षा टिप: जब दो स्वतंत्र चुनाव क्रम से किए जाएँ, तो उनके विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / There are 5 choices for the subject category, and for each chosen category there are 7 choices for the marking scheme. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(5 \times 7=35\). Option 49 comes from \(7 \times 7\), but there are only 5 categories. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent selections are made in sequence.
हर आकार के साथ (10) रंग हो सकते हैं इसलिए \(3 \times 10=30\)। कुल बनावटें गिनने के लिए गुणा करें। / Each shape can have (10) colors so \(3 \times 10=30\). Multiply to count total designs.
एक कवर रंग चुनने के 8 तरीके हैं और प्रत्येक रंग के लिए पृष्ठ प्रकार चुनने के 3 तरीके हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(8 \times 3=24\) होंगे। 11 प्राप्त करने के लिए 8 और 3 को जोड़ा जाता है, पर जोड़ का नियम तब लागू होता है जब विकल्पों में से केवल एक चुनना हो। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र चुनावों के लिए विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / There are 8 choices for the cover color and, for each chosen color, 3 choices for the page type. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(8 \times 3=24\). Getting 11 would mean adding 8 and 3, but addition is used when choosing one option from separate alternatives. Exam tip: multiply the numbers of choices for successive independent selections.
कार्ड और लिफाफा मिलाकर \(4 \times 9=36\) तरीके हैं। दो भागों से एक-एक चुनाव हो तो गुणन सिद्धांत लगाएं। / Card and envelope together give \(4 \times 9=36\) ways. Use the multiplication principle when choosing one from each of two parts.
तीनों स्वतंत्र स्थानों के लिए \(4 \times 5 \times 2=40\)। चरण एक साथ हों तो गुणन सिद्धांत लगाएं। / For three independent places \(4 \times 5 \times 2=40\). Use the multiplication principle when stages occur together.
कुल पैक \(3 \times 4 \times 2=24\) होंगे। हर श्रेणी से एक चयन हो तो विकल्पों को गुणा करें। / Total packs are \(3 \times 4 \times 2=24\). Multiply the choices when one item is selected from each category.
हर पट्टी का चुनाव स्वतंत्र है इसलिए \(5 \times 3 \times 4=60\)। अलग-अलग स्थानों के लिए गुणा करें। / Each stripe choice is independent so \(5 \times 3 \times 4=60\). Multiply for different positions.
कुल चयन \(2 \times 6 \times 3=36\) हैं। तीन स्वतंत्र विकल्पों में कुल तरीके गुणा से मिलते हैं। / Total selections are \(2 \times 6 \times 3=36\). For three independent choices total ways are found by multiplication.
शहर होटल और वाहन तीनों चुनने हैं इसलिए \(4 \times 5 \times 2=40\)। स्वतंत्र चरणों को जोड़ें नहीं गुणा करें। / City hotel and vehicle all must be chosen so \(4 \times 5 \times 2=40\). Do not add independent stages multiply them.
पूरी वर्दी के लिए \(3 \times 2 \times 4=24\)। हर भाग का एक चुनाव होने पर गुणन सिद्धांत सही है। / For the complete uniform \(3 \times 2 \times 4=24\). The multiplication principle is correct when one choice is made for each part.
स्थान स्वतंत्र हैं इसलिए \(7 \times 4 \times 3=84\)। पासकोड में प्रत्येक स्थान के विकल्प गुणा करें। / The positions are independent so \(7 \times 4 \times 3=84\). In passcodes multiply the choices for each place.
एक पुस्तक विकल्प बनाने के लिए तीन स्वतंत्र चुनाव किए जाते हैं: 6 विषयों में से एक, 2 कवर प्रकारों में से एक और 5 आकारों में से एक। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(6 \times 2 \times 5=60\) होंगे। विकल्प 30 केवल \(6 \times 5\) लेने पर मिलता है, जिसमें कवर प्रकारों के 2 विकल्प शामिल नहीं होते। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक चरण का हर विकल्प अगले चरण के प्रत्येक विकल्प के साथ जुड़ सकता हो, तो विकल्पों की संख्या गुणा करें। / To form one book choice, three independent selections are made: one of 6 subjects, one of 2 cover types, and one of 5 sizes. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(6 \times 2 \times 5=60\). The value 30 comes from \(6 \times 5\) and incorrectly ignores the 2 cover-type choices. Exam tip: Multiply the number of choices when every choice at one stage can be combined with every choice at the next stage.
हर कक्षा के साथ (3) विषय और (6) टेस्ट प्रकार हैं इसलिए \(4 \times 3 \times 6=72\)। उत्पाद सिद्धांत से कुल विकल्प मिलते हैं। / With each class there are (3) subjects and (6) test types so \(4 \times 3 \times 6=72\). The product principle gives total options.
प्रत्येक सजावट के लिए 5 दीवार रंगों में से एक, 2 पर्दों में से एक और 4 लैंप विकल्पों में से एक चुना जाता है। ये चयन स्वतंत्र हैं, इसलिए गुणन सिद्धांत से कुल सजावटें \(5 \times 2 \times 4=40\) होंगी। \(5+2+4=11\) जोड़ना गलत है, क्योंकि यहाँ विकल्पों में से क्रमिक चयन किए जा रहे हैं। परीक्षा टिप: अलग-अलग चरणों के स्वतंत्र विकल्प हों, तो उनके विकल्पों की संख्या गुणा करें। / For each decoration, choose one of 5 wall colours, one of 2 curtain options, and one of 4 lamp options. Since these choices are independent, the multiplication principle gives \(5 \times 2 \times 4=40\) decorations. Adding them to get \(5+2+4=11\) is incorrect because choices are being made at successive stages. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent selections occur in separate steps.
कुल तरीके \(3 \times 5 \times 4=60\) हैं। किट बनाने में हर घटक का चयन गुणा होता है। / Total ways are \(3 \times 5 \times 4=60\). While forming a kit the choices of each component are multiplied.
प्रत्येक गीत के साथ (3) पोशाकें और (2) प्रभाव हैं इसलिए \(6 \times 3 \times 2=36\)। स्वतंत्र कलात्मक विकल्पों में गुणा करें। / For each song there are (3) costumes and (2) effects so \(6 \times 3 \times 2=36\). Multiply independent creative choices.
हर स्थान पर (5) विकल्प हैं इसलिए \(5 \times 5 \times 5=125\)। पुनरावृत्ति हो तो हर स्थान के विकल्प समान रहते हैं। / Each place has (5) choices so \(5 \times 5 \times 5=125\). With repetition allowed the choices remain the same at every place.
एक लाइसेंस प्लेट में (2) अक्षर और (2) अंक हैं। अक्षरों के लिए (4) विकल्प और अंकों के लिए (5) विकल्प हैं तथा पुनरावृत्ति मान्य है। कुल प्लेटें कितनी बनेंगी?
कुल प्लेटें \(4 \times 4 \times 5 \times 5=400\) हैं। हर स्थान के विकल्प अलग से गुणा करें। / Total plates are \(4 \times 4 \times 5 \times 5=400\). Multiply the choices for every position separately.
कुल प्रकार \(3 \times 4 \times 5=60\) होंगे। पाठ्यक्रम बैच और भुगतान स्वतंत्र चुनाव हैं। / Total types are \(3 \times 4 \times 5=60\). Course batch and payment are independent choices.
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक फल विकल्प के लिए 5 चॉकलेट विकल्प और प्रत्येक ऐसे चयन के लिए 3 पैकिंग विकल्प उपलब्ध हैं। अतः कुल तरीके \(2 \times 5 \times 3=30\) होंगे। विकल्प 15 में पैकिंग विकल्पों को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: जब अलग-अलग चरणों में एक-एक विकल्प चुनना हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / By the fundamental principle of counting, each fruit choice can be combined with 5 chocolate choices, and each such combination has 3 packing choices. Therefore, the total number of ways is \(2 \times 5 \times 3=30\). Option 15 ignores the packing choices. Exam tip: multiply the numbers of choices when one option is selected at each independent stage.
हर पहले रास्ते के बाद (6) दूसरे रास्ते मिलते हैं इसलिए \(4 \times 6=24\)। क्रमिक यात्रा चरणों में गुणा करें। / After each first route there are (6) second routes so \(4 \times 6=24\). Multiply for successive travel stages.
अध्याय और प्रश्न प्रकार के लिए \(7 \times 4=28\)। दो स्वतंत्र चयन में गुणा सिद्धांत लागू होता है। / For chapter and question type \(7 \times 4=28\). The multiplication principle applies to two independent choices.
हर खंड से (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^5=243\)। समान विकल्प कई चरणों में हों तो घात का उपयोग करें। / There are (3) choices from each section so \(3^5=243\). Use powers when the same number of choices repeats across stages.
कुल कोड \(2^4=16\) होंगे। हर स्थान स्वतंत्र हो तो स्थानों की संख्या के अनुसार घात लें। / Total codes are \(2^4=16\). If each place is independent use the power according to the number of places.
प्रत्येक भाषा विकल्प के लिए 5 समय-सीमा विकल्प हैं और प्रत्येक ऐसे चयन के लिए 3 अंक विकल्प हैं। इसलिए गुणन सिद्धांत से कुल संयोजन \(4 \times 5 \times 3=60\) होंगे। विकल्प 20 केवल \(4 \times 5\) लेने पर मिलता है, जिसमें अंक विकल्प शामिल नहीं होते। परीक्षा टिप: स्वतंत्र विकल्पों के सभी चरणों को गुणा करें। / For each language option, there are 5 time-limit options, and for every such choice there are 3 mark options. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of combinations is \(4 \times 5 \times 3=60\). Option 20 comes from \(4 \times 5\) only and ignores the mark options. Exam tip: multiply the number of choices at every independent step.
तीन रंग निर्णयों के लिए \(3 \times 4 \times 2=24\)। अलग-अलग स्थानों के रंग विकल्प गुणा होते हैं। / For three color decisions \(3 \times 4 \times 2=24\). Color choices for different places are multiplied.
कुल डिज़ाइन \(6 \times 2 \times 5=60\) हैं। हर डिज़ाइन भाग को स्वतंत्र चरण मानकर गुणा करें। / Total designs are \(6 \times 2 \times 5=60\). Treat each design part as an independent stage and multiply.
एक अलमारी (8) तरीकों से और पंक्ति (4) तरीकों से चुनी जाती है इसलिए \(8 \times 4=32\)। संरचना आधारित चयन में स्तरों को गुणा करें। / One shelf is chosen in (8) ways and one row in (4) ways so \(8 \times 4=32\). In structure-based selection multiply the levels.
प्रत्येक सीट श्रेणी के लिए 5 बस समय और प्रत्येक समय के लिए 2 भुगतान माध्यम चुने जा सकते हैं। इसलिए गुणन के मूल सिद्धांत से कुल विकल्प \(3 \times 5 \times 2=30\) होंगे। \(10\) केवल \(5 \times 2\) है, जिसमें सीट श्रेणियों को नहीं गिना गया है। परीक्षा टिप: जब चयन स्वतंत्र चरणों में हों, तो प्रत्येक चरण के विकल्पों को गुणा करें। / For each seat category, there are 5 choices of bus time and 2 choices of payment mode. By the fundamental principle of counting, the total number of options is \(3 \times 5 \times 2=30\). The value \(10\) counts only \(5 \times 2\) and ignores the seat categories. Exam tip: When choices are made in independent stages, multiply the number of choices at each stage.
पहले स्थान के लिए 9 विकल्प हैं। प्रत्येक रंग के साथ दूसरे स्थान पर 7 में से कोई एक आकार चुना जा सकता है। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल संकेत \(9 \times 7=63\) होंगे। विकल्प 16, \(9+7\) करने से मिलता है, लेकिन क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों के लिए जोड़ नहीं, गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: अलग-अलग चरणों में विकल्प एक साथ चुने जाते हों तो उनके विकल्पों की संख्या गुणा करें। / There are 9 choices for the first place. For each chosen colour, any one of 7 shapes can be used in the second place. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of signals is \(9 \times 7=63\). Option 16 comes from adding \(9+7\), but independent choices made in successive places are multiplied, not added. Exam tip: Multiply the numbers of choices when a result is formed through consecutive selection steps.
कप्तान चुनने के 4 तरीके हैं। प्रत्येक कप्तान के चयन के लिए उपकप्तान के 3 और मैनेजर के 2 विकल्प हैं। गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(4 \times 3 \times 2=24\) होंगे। \(4+3+2=9\) जोड़ का प्रयोग गलत है, क्योंकि तीनों पद एक साथ भरे जा रहे हैं। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों को गुणा करें। / There are 4 choices for captain. For each such choice, there are 3 choices for vice-captain and 2 choices for manager. By the fundamental principle of counting, the total number of arrangements is \(4 \times 3 \times 2=24\). Adding the choices, \(4+3+2=9\), is incorrect because all three posts are being filled together. Exam tip: multiply the numbers of choices when successive selections are made.
कुल प्रकार \(5 \times 4 \times 3=60\) हैं। रंग आकार और प्रिंट तीन स्वतंत्र विशेषताएं हैं। / Total types are \(5 \times 4 \times 3=60\). Color size and print are three independent features.
अध्याय और कठिनाई स्तर के लिए \(6 \times 5=30\)। दो स्वतंत्र चयन हों तो गुणा करें। / For chapter and difficulty level \(6 \times 5=30\). Multiply when there are two independent choices.
प्रत्येक पोस्टर शैली बनाने के लिए 4 फॉन्टों में से एक, 6 रंगों में से एक और 2 पृष्ठभूमि बनावटों में से एक चुनी जाती है। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल शैलियाँ \(4 \times 6 \times 2=48\) होंगी। विकल्प 24 में पृष्ठभूमि बनावटों के 2 विकल्पों का गुणन छूट जाता है। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक चरण का हर विकल्प अगले चरण के हर विकल्प के साथ चुना जा सकता हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / To form one poster style, choose one of 4 fonts, one of 6 colours, and one of 2 background textures. By the fundamental principle of counting, the total number of styles is \(4 \times 6 \times 2=48\). Option 24 misses the multiplication by the 2 texture choices. Exam tip: Multiply the numbers of choices when every choice at one stage can be combined with every choice at the next stage.
प्रत्येक पास प्रकार के लिए 7 रंग और प्रत्येक रंग के लिए 3 वैधता-अवधि विकल्प हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल पासों की संख्या \(2 \times 7 \times 3=42\) होगी। \(2+7+3=12\) जोड़ने की विधि है, जो यहाँ सही नहीं है क्योंकि विकल्प एक साथ चुने जाते हैं। परीक्षा टिप: जब किसी वस्तु के लिए कई स्वतंत्र विकल्प क्रम से चुने जाते हैं, तो उनकी संख्याओं का गुणा करें। / For each pass type, there are 7 colour choices, and for each colour, there are 3 validity-period choices. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of passes is \(2 \times 7 \times 3=42\). Adding \(2+7+3=12\) is incorrect because these options are selected together, not as alternatives. Exam tip: Multiply the numbers of choices when independent selections are made in sequence.
सीट के लिए पंक्ति और स्तंभ दोनों चाहिए इसलिए \(5 \times 8=40\)। ग्रिड में कुल स्थान पंक्ति गुणा स्तंभ होते हैं। / A seat needs both row and column so \(5 \times 8=40\). In a grid total places are rows multiplied by columns.
कुल रूप \(3 \times 4 \times 5=60\) हैं। प्रत्येक फोटो तत्व का स्वतंत्र चयन गुणा होता है। / Total looks are \(3 \times 4 \times 5=60\). Each photo element is an independent choice that is multiplied.
प्रत्येक 4 वैकल्पिक विषयों के लिए 9 परियोजना विषयों में से कोई एक चुना जा सकता है। अतः गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल चयन \(4 \times 9=36\) होंगे। \(4+9=13\) जोड़ने पर केवल कुल उपलब्ध विकल्प मिलते हैं, विषय–परियोजना के युग्मों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: जब दो स्वतंत्र चरणों में एक-एक चयन करना हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / For each of the 4 optional subjects, any one of the 9 project topics can be chosen. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(4 \times 9=36\). Adding, \(4+9=13\), only gives the total number of available items, not the number of subject–project pairs. Exam tip: When one choice is made at each of two independent stages, multiply the numbers of choices.
कुल सेटअप \(2 \times 5 \times 6=60\) हैं। मोड संख्या और समय तीन स्वतंत्र सेटिंग हैं। / Total setups are \(2 \times 5 \times 6=60\). Mode count and time are three independent settings.
कुल पिन \(3 \times 3 \times 4 \times 4=144\) हैं। हर स्थान के विकल्पों को अलग-अलग गुणा करें। / Total PINs are \(3 \times 3 \times 4 \times 4=144\). Multiply the choices for each place separately.
कॉफी, कप आकार और चीनी स्तर के चुनाव स्वतंत्र हैं। इसलिए गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(6 \times 3 \times 2=36\) होंगे। विकल्प 18 में चीनी स्तर के 2 विकल्पों को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक चरण का हर विकल्प अगले चरण के हर विकल्प के साथ लिया जा सकता हो, तो विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / The choices of coffee, cup size, and sugar level are independent. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(6 \times 3 \times 2=36\). Option 18 ignores the 2 possible sugar levels. Exam tip: Multiply the number of choices at each stage when every choice at one stage can be paired with every choice at the next stage.
कमरा चुनने के लिए \(4 \times 5 \times 6=120\) तरीके हैं। ब्लॉक मंजिल और कमरा क्रमिक चरण हैं। / To choose a room there are \(4 \times 5 \times 6=120\) ways. Block floor and room are successive stages.
मूल गणना सिद्धांत के अनुसार प्रत्येक श्रेणी के लिए 4 प्रस्थान समय और प्रत्येक समय के लिए 2 सीट पसंद उपलब्ध हैं। इसलिए कुल विकल्प \(3 \times 4 \times 2=24\) होंगे। 12 केवल \(3 \times 4\) लेने पर मिलता है और इसमें सीट पसंद को शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: स्वतंत्र विकल्पों के कुल परिणाम ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / By the fundamental principle of counting, each of the 3 classes can be combined with 4 departure times and 2 seat preferences. Hence, the total number of options is \(3 \times 4 \times 2=24\). The value 12 comes from \(3 \times 4\) and incorrectly ignores the seat preference. Exam tip: Multiply the numbers of choices when the selections are independent.
प्रत्येक संदेश बनाने के लिए 5 अभिवादनों में से 1, 3 मुख्य वाक्यों में से 1 तथा 4 समाप्ति वाक्यों में से 1 चुनना है। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल संदेश \(5 \times 3 \times 4=60\) होंगे। 45 जैसे विकल्प में सभी स्वतंत्र चरणों के विकल्पों का गुणन नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: क्रमिक और स्वतंत्र चुनावों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों को गुणा करें। / To form one message, choose 1 of the 5 greetings, 1 of the 3 main sentences, and 1 of the 4 closing sentences. By the fundamental principle of counting, the total number of messages is \(5 \times 3 \times 4=60\). An option such as 45 does not account for multiplication across all independent choices. Exam tip: multiply the numbers of choices when selections are made successively and independently.
कुल परिणाम \(2 \times 6=12\) हैं। संयुक्त प्रयोगों में परिणामों की संख्या गुणा होती है। / Total outcomes are \(2 \times 6=12\). In combined experiments the number of outcomes is multiplied.
गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक 4 विभाग कोड के लिए 25 क्रमांक चुने जा सकते हैं। इसलिए कुल आईडी \(4 \times 25=100\) होंगी। \(29\) प्राप्त करने के लिए विकल्पों को जोड़ा जाता है, लेकिन यहाँ दोनों चयन मिलकर एक आईडी बनाते हैं, इसलिए गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: जब किसी वस्तु के लिए क्रमशः एक-एक विकल्प चुनना हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / By the fundamental principle of counting, each of the 4 department codes can be paired with any of the 25 serial numbers. Hence, the total number of IDs is \(4 \times 25=100\). Getting \(29\) would mean adding the choices, but an ID requires both a code and a serial number, so the choices must be multiplied. Exam tip: multiply the numbers of choices when one choice is made at each successive stage.
प्रत्येक सिर प्रकार के लिए 4 शरीर प्रकार चुने जा सकते हैं और प्रत्येक ऐसे चयन के लिए 5 पहिया प्रकार चुने जा सकते हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल मॉडल \(3 \times 4 \times 5=60\) होंगे। 12 केवल \(3 \times 4\) है, इसमें पहिया प्रकारों को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: स्वतंत्र चरणों में विकल्पों की संख्या गुणा करें। / For each head type, there are 4 choices of body type, and for every such choice, there are 5 choices of wheel type. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of models is \(3 \times 4 \times 5=60\). The value 12 is only \(3 \times 4\) and ignores the wheel choices. Exam tip: Multiply the number of choices at each independent stage.
प्रत्येक 2 अक्षरों के साथ 10 में से कोई भी एक अंक चुना जा सकता है। इसलिए मूल गणना सिद्धांत के अनुसार कुल घर नंबर \(2 \times 10=20\) होंगे। 12 प्राप्त करने के लिए विकल्पों को जोड़ना गलत है, क्योंकि यहाँ अक्षर और अंक का एक-एक चयन मिलकर एक जोड़ी बनाते हैं। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / Each of the 2 letters can be paired with any one of the 10 digits. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of house numbers is \(2 \times 10=20\). Adding the choices to get 12 is incorrect because one letter choice and one digit choice combine to form a pair. Exam tip: multiply the numbers of choices for successive independent selections.
कुल सीटें ज्ञात करने के लिए पंक्तियों की संख्या को प्रत्येक पंक्ति की सीटों से गुणा करते हैं: \(6 \times 7 = 42\)। इसलिए सही उत्तर 42 है। विकल्प 13 में संख्याओं को जोड़ा गया है, जबकि यहाँ समान समूहों की कुल वस्तुएँ निकालने के लिए गुणा आवश्यक है। परीक्षा टिप: ‘प्रत्येक’ या ‘हर’ के साथ बराबर संख्या वाले समूह दिए हों, तो सामान्यतः गुणा करें। / To find the total number of seats, multiply the number of rows by the seats in each row: \(6 \times 7 = 42\). Therefore, the correct answer is 42. Option 13 comes from adding the two numbers, but equal groups are counted by multiplication. Exam tip: When equal groups are described using words such as “each” or “every”, multiplication is usually required.
प्रत्येक अभ्यास सेट के लिए 5 भाषा विकल्पों में से एक भाषा, 3 अभ्यास स्तरों में से एक स्तर और 2 रिकॉर्डिंग मोड में से एक मोड चुना जाता है। गुणन के मूल सिद्धांत से कुल सेट \(5 \times 3 \times 2=30\) होंगे। \(15\) केवल भाषा और स्तर के विकल्पों को गुणा करने पर मिलता है; इसमें रिकॉर्डिंग मोड शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: स्वतंत्र चरणों में विकल्पों की संख्या को गुणा करें। / For each practice set, choose one of 5 languages, one of 3 practice levels, and one of 2 recording modes. By the fundamental principle of counting, the total number of sets is \(5 \times 3 \times 2=30\). The value \(15\) counts only the language and level choices and ignores the recording mode. Exam tip: multiply the numbers of choices at independent stages.
राग, ताल और गति में से प्रत्येक का एक विकल्प स्वतंत्र रूप से चुना जाता है। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(4 \times 5 \times 2=40\) होंगे। \(4+5+2=11\) जोड़ना गलत है, क्योंकि यहाँ अलग-अलग श्रेणियों से एक-एक विकल्प मिलाकर चयन किया जा रहा है। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक चरण के सभी विकल्प साथ में चुने जाते हैं, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / One raga, one rhythm and one speed are chosen independently. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(4 \times 5 \times 2=40\). Adding them to get \(4+5+2=11\) is incorrect because one choice from each category is combined. Exam tip: multiply the numbers of choices when every stage is part of the same selection.
गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार, जब प्रत्येक भोजन प्रकार के लिए 6 छूट विकल्प और प्रत्येक छूट के लिए 4 वैधता-दिन विकल्प हों, तो कुल कूपन प्रकार \(3 \times 6 \times 4=72\) होंगे। विकल्प 36 केवल \(3 \times 6 \times 2\) के बराबर है, इसलिए वह सभी 4 वैधता विकल्पों को नहीं गिनता। परीक्षा टिप: स्वतंत्र विकल्पों की क्रमिक संख्या दी हो, तो उन्हें गुणा करें। / By the fundamental principle of counting, each of the 3 meal types can be paired with 6 discount options and, for each such pair, 4 validity-day options. Hence, the total number of coupon types is \(3 \times 6 \times 4=72\). Option 36 does not account for all 4 validity options. Exam tip: Multiply the numbers of choices when the selections are independent and made in stages.
कंप्यूटर चुनने के तरीके \(4 \times 9=36\) हैं। पंक्ति और स्थान दोनों निर्धारित करने होते हैं। / The ways to choose a computer are \(4 \times 9=36\). Both row and position need to be determined.
पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर कोड के तीनों स्थानों के लिए प्रत्येक बार 6 विकल्प उपलब्ध हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल कोडों की संख्या \(6\times6\times6=6^3=216\) है। 36 केवल दो स्थानों के लिए \(6^2\) होता है। परीक्षा टिप: स्वतंत्र स्थानों के विकल्पों को गुणा करें। / Since repetition is allowed, each of the three positions has 6 choices. By the fundamental principle of counting, the total number of codes is \(6\times6\times6=6^3=216\). The value 36 equals \(6^2\), which would apply to only two positions. Exam tip: multiply the choices for independent positions.
