Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरी असमानता को (3) से गुणा करके (1) घटाने पर \( -13<3x-1\leq 5 \) मिलता है। धनात्मक गुणन में चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying the whole inequality by (3) and subtracting (1) gives \( -13<3x-1\leq 5 \). Positive multiplication does not change the sign.
( -3x>9 ) से (x<-3) मिलेगा क्योंकि ( -3 ) से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। अंतिम चरण में चिन्ह जरूर जांचें। / From ( -3x>9 ), we get (x<-3) because division by ( -3 ) reverses the sign. Always check the sign in the last step.
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है इसलिए \(x^2<0\) असंभव है। ऐसे प्रश्नों में पहले मूल गुण देखें। / For every real (x), \(x^2\geq 0\), so \(x^2<0\) is impossible. In such questions, check the basic property first.
\(2x-5\geq 3\) से \(x\geq 4\) मिलता है इसलिए (4) शामिल है और (3) नहीं। सीमा वाले विकल्प में बराबरी जरूर जांचें। / \(2x-5\geq 3\) gives \(x\geq 4\), so (4) is included and (3) is not. Always check equality at boundary options.
(3) धनात्मक है इसलिए चिन्ह नहीं बदलता और \(x-2\geq 12\) से \(x\geq 14\) मिलता है। धनात्मक गुणन में चिन्ह वैसा ही रहता है। / Since (3) is positive, the sign does not change and \(x-2\geq 12\) gives \(x\geq 14\). With positive multiplication, the sign remains the same.
( -4 ) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर (x+1>-8) बनता है। ऋणात्मक हर वाले प्रश्नों में विशेष सावधानी रखें। / Multiplying by ( -4 ) reverses the sign to (x+1>-8). Be extra careful when the denominator is negative.
\(3x-7\leq 2\) से \(x\leq 3\) है और (x=0) इसमें आता है पर (x<0) में नहीं आता। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / \(3x-7\leq 2\) gives \(x\leq 3\), and (x=0) satisfies it but not (x<0). Direct option checking is a fast method.
अधिक और कम दोनों सख्त शब्द हैं इसलिए (12<t+5<20) सही है। शब्द आधारित प्रश्नों में बराबरी शामिल है या नहीं यह पहले तय करें। / Both greater than and less than are strict phrases, so (12<t+5<20) is correct. In word problems, first decide whether equality is included.
\(5-2x\leq x+11\) से \(-3x\leq 6\) और \(x\geq -2\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। / \(5-2x\leq x+11\) gives \(-3x\leq 6\), so \(x\geq -2\). Division by a negative coefficient reverses the sign.
धनात्मक (10) से गुणा करने पर (4x-2<5x+20) और (x>-22) मिलता है। धनात्मक लघुत्तम हर लेने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (10) gives (4x-2<5x+20), so (x>-22). With a positive common denominator, the sign does not change.
असमानता को सरल करने पर \(4x-8>3x+7\), अतः \(x>15\) प्राप्त होता है। 16, 20 और 25, 15 से बड़े हैं, इसलिए वे हल हैं; जबकि \(x=14\), \(x>15\) की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा में याद रखें कि \(>\) होने पर सीमा मान 15 स्वयं भी हल नहीं होता। / Simplifying the inequality gives \(4x-8>3x+7\), so \(x>15\). The values 16, 20, and 25 are greater than 15 and are therefore solutions, whereas \(x=14\) does not satisfy the condition. Exam tip: with a strict sign \(>\), the boundary value 15 itself is also excluded.
B. (4) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at (4) and shading left
Explanation
Simple Explanation
( \(-\infty,4\) ) में (4) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं। खुले बिंदु का अर्थ सीमा शामिल नहीं है। / In ( \(-\infty,4\) ), (4) is not included and all smaller values are included. An open dot means the boundary is excluded.
पूरे संयुक्त असमानता से (1) घटाकर \(6\leq 2x<14\) और फिर (2) से भाग देकर \(3\leq x<7\) मिलता है। दोनों सीमाओं पर साथ काम करें। / Subtracting (1) throughout gives \(6\leq 2x<14\), then dividing by (2) gives \(3\leq x<7\). Work on both bounds together.
कोष्ठक खोलने पर बायाँ पक्ष \(3x+6-5=3x+1\) और दायाँ पक्ष \(2x-2+8=2x+6\) मिलता है। अतः \(3x+1\geq 2x+6\), इसलिए \(x\geq 5\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, जबकि 9 प्राप्त करने पर स्थिरांकों का सरलीकरण गलत होता है। परीक्षा-युक्ति: असमानता में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Expanding the brackets gives \(3x+6-5=3x+1\) on the left and \(2x-2+8=2x+6\) on the right. Thus, \(3x+1\geq 2x+6\), which simplifies to \(x\geq 5\). Option B reverses the inequality without justification, while 9 results from incorrect simplification of the constants. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
विकल्प B को हल करने पर \(3x+1>25\Rightarrow 3x>24\Rightarrow x>8\) प्राप्त होता है। विकल्प A से \(x\geq 8\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है; C से \(x<8\) और D से \(x\leq 8\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving option B gives \(3x+1>25\Rightarrow 3x>24\Rightarrow x>8\). Option A gives \(x\geq 8\), so it is not equivalent; option C gives \(x<8\), and option D gives \(x\leq 8\). Exam tip: dividing both sides of an inequality by a positive number does not reverse the inequality sign.
A. सभी \(x\in \mathbb{R}\) हल हैं/All \(x\in \mathbb{R}\) are solutions
Explanation
Simple Explanation
(2x) हटाने पर \(5\leq 9\) मिलता है जो हमेशा सत्य है। चर हट जाए तो बची संख्या असमानता देखें। / Removing (2x) gives \(5\leq 9\), which is always true. If the variable cancels, check the remaining numerical inequality.
C. सभी \(x\in \mathbb{R}\)/All \(x\in \mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य है। धनात्मक निश्चित रूप पहचानना उपयोगी है। / Since \(x^2\geq 0\), \(x^2+1\geq 1>0\) for all real (x). Recognizing always positive forms is useful.
पहली असमानता से (x<6) और दूसरी से (x>-3) मिलता है इसलिए (-3<x<6)। संयुक्त असमानता में दोनों शर्तें साथ पूरी होती हैं। / The first inequality gives (x<6), and the second gives (x>-3), so (-3<x<6). In a chained inequality, both conditions must hold together.
दोनों पक्षों से \(1.5\) घटाने पर \(0.2x\leq 1.6\) प्राप्त होता है। अब \(0.2\) से भाग देने पर \(x\leq 8\) मिलता है। चूँकि \(0.2\) धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता; अतः \(x\geq 8\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Subtracting \(1.5\) from both sides gives \(0.2x\leq 1.6\). Dividing by the positive number \(0.2\) yields \(x\leq 8\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive, so \(x\geq 8\) is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(2a-3<7\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(2a<10\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर \(a<5\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / Adding 3 to both sides of \(2a-3<7\) gives \(2a<10\). Dividing both sides by the positive number 2 yields \(a<5\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality; the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always reverse the inequality sign when dividing by a negative quantity.
असमानता को सरल करने पर \(6-4x\geq 2x-12\Rightarrow 18\geq 6x\) मिलता है। दोनों पक्षों को 6 से भाग देने पर \(3\geq x\), अर्थात् \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है; ऐसा तभी होता जब किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाता। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / Rearranging gives \(6-4x\geq 2x-12\Rightarrow 18\geq 6x\). Dividing both sides by the positive number 6 yields \(3\geq x\), or \(x\leq 3\). Option B incorrectly reverses the inequality sign; the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always check whether the divisor is positive or negative before deciding the direction of the inequality.
कम नहीं का अर्थ उससे बड़ा या बराबर है इसलिए \(3n\geq 18\)। वाक्य को प्रतीकों में बदलते समय नकारात्मक शब्दों पर ध्यान दें। / Not less than means greater than or equal to, so \(3n\geq 18\). Pay attention to negative phrases while translating words into symbols.
\(\mathbb{R}\) में \(x\leq 1\) के बाहर केवल (x>1) आता है। पूरक में सीमा की बराबरी उलटकर हट जाती है। / In \(\mathbb{R}\), outside \(x\leq 1\) lies only (x>1). In the complement, equality at the boundary is excluded.
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(2x-10\leq 3x+1\) और \(x\geq -11\) मिलता है। चर को एक ओर ले जाते समय चिन्ह ध्यान से रखें। / Multiplying by positive (4) gives \(2x-10\leq 3x+1\), so \(x\geq -11\). Track the sign carefully while moving variables.
