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चार से कम धनात्मक अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में गुण बताने वाली भाषा को रोस्टर रूप में बदलें। / The positive primes less than four are only (2) and (3) so the sets are equal. In exams convert descriptive form into roster form.
पहले असमता हल करें: \(|x-2|<2\) से \(-2<x-2<2\) यानी \(0<x<4\)। पूर्णांक मान केवल \(1,2,3\) आते हैं, अतः \(A=\{1,2,3\}=B\)। इसलिए \(A=B\) सही है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प (उदा. "\(A\subset B\) लेकिन \(A\ne B\)") गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय के तत्व और क्रम समान हैं। परीक्षा टिप: अवश्य पहले असमता को रैखिक रूप में हल कर के पूर्णांक सदस्य सूची बनाइए। / Solve the inequality first: \(|x-2|<2\) gives \(-2<x-2<2\), so \(0<x<4\). The integer solutions are \(1,2,3\), hence \(A=\{1,2,3\}=B\). Therefore \(A=B\) is correct. A common distractor like "\(A\subset B\) but \(A\ne B\)" is wrong because the sets have exactly the same elements. Exam tip: convert the absolute-value inequality to a double inequality and list integer solutions before comparing sets.
यहां ({3}) एक तत्व है जबकि (3) अलग तत्व है इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / Here ({3}) is one element while (3) is a different element so the sets are not equal. In exams distinguish an element from a subset.
{1,{∅}} के सभी तत्व A में हैं, इसलिए यह A का उपसमुच्चय है और P(A) का तत्व है। परीक्षा में घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of {1,{∅}} are in A, so it is a subset of A and an element of P(A). In exams, the elements of a power set are always subsets of the original set.
({}) वही रिक्त समुच्चय है इसलिए (A) और (B) दोनों में एक ही तत्व है। परीक्षा में \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग पहचानें। / The symbol ({}) is the empty set so both (A) and (B) contain the same single element. In exams identify \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) separately.
समीकरण के मूल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं। परीक्षा में पहले समीकरण हल करें फिर तुलना करें। / The roots of the equation are (2) and (3) so both sets have the same elements. In exams solve the equation first and then compare the sets.
पूर्ण संख्याएं (0) से शुरू होती हैं इसलिए (x<3) पर \(B=\{0,1,2\}\) है। परीक्षा में (W) और (N) का अंतर याद रखें। / Whole numbers start from (0) so for (x<3) we get \(B=\{0,1,2\}\). In exams remember the difference between (W) and (N).
({2,4}) में (4) है जो (A) का तत्व नहीं है इसलिए यह उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में हर तत्व की सदस्यता जांचें। / The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
दो तत्व चुनने की संख्या \({}^4C_2=6\) है। परीक्षा में निश्चित आकार के उपसमुच्चय के लिए संयोजन का प्रयोग करें। / The number of ways to choose two elements is \({}^4C_2=6\). In exams use combinations for subsets of fixed size.
कुल उपसमुच्चय \(2^n=32\) हैं इसलिए उचित उपसमुच्चय (32-1=31) होंगे। परीक्षा में मूल समुच्चय को उचित उपसमुच्चय में न गिनें। / Total subsets are \(2^n=32\) so proper subsets are (32-1=31). In exams do not count the original set as a proper subset.
(6) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में भाजकों की पूरी सूची बनाएं। / The positive divisors of (6) are (1,2,3,6) so the sets are equal. In exams list all divisors carefully.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के दोनों तत्व (B) में हैं पर (B) में अतिरिक्त तत्व \(\emptyset\) है। परीक्षा में अतिरिक्त तत्व बराबरी को तोड़ देता है। / Both elements of (A) are in (B) but (B) has the extra element \(\emptyset\). In exams an extra element breaks equality.
परस्पर उपसमुच्चय संबंध से हर समुच्चय के तत्व समान हो जाते हैं इसलिए (A=B=C)। परीक्षा में द्विपक्षीय समावेशन से बराबरी सिद्ध करें। / Mutual subset inclusion makes all elements the same so (A=B=C). In exams prove equality by two way inclusion.
यहां \(A=\{1,2,3\}\) है और ({1,3}) इसके अंदर है लेकिन बराबर नहीं है। परीक्षा में पहले मुख्य समुच्चय निकालें। / Here \(A=\{1,2,3\}\) and ({1,3}) lies inside it but is not equal. In exams find the main set first.
(n=1,2,3) रखने पर \(B=\{2,4,6\}\) मिलता है इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में पैरामीटर के सभी मान लगाएं। / Putting (n=1,2,3) gives \(B=\{2,4,6\}\) so both are equal. In exams substitute all allowed parameter values.
({1,2}) इस समुच्चय में एक तत्व के रूप में मौजूद है। परीक्षा में \(\in\) और \(\subset\) को अलग पढ़ें। / The set ({1,2}) is present as one element of this set. In exams read \(\in\) and \(\subset\) differently.
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। परीक्षा में \(2^0=1\) याद रखें। / The empty set has only one subset which is the empty set itself. In exams remember \(2^0=1\).
(p) निश्चित है और बाकी दो तत्वों को \(2^2\) तरीकों से चुना जा सकता है। परीक्षा में निश्चित तत्व अलग रखकर बाकी पर गिनती करें। / The element (p) is fixed and the remaining two elements can be chosen in \(2^2\) ways. In exams fix the compulsory element and count the rest.
(1) को हटाने पर बचे (3) तत्वों से \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में निषिद्ध तत्व को पहले हटाएं। / After removing (1), the remaining (3) elements form \(2^3=8\) subsets. In exams remove the forbidden element first.
शर्त \(-2\le x<2\) में (2) शामिल नहीं है इसलिए तत्व (-2,-1,0,1) हैं। परीक्षा में खुली और बंद सीमा ध्यान से देखें। / The condition \(-2\le x<2\) excludes (2), so the elements are (-2,-1,0,1). In exams watch open and closed bounds carefully.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार गिने जाते हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में आवृत्ति से नहीं बल्कि अलग तत्वों से तुलना करें। / Repeated elements in a set are counted only once so the sets are equal. In exams compare distinct elements not frequency.
समुच्चय में दोहराव हट जाता है इसलिए केवल (L,E,V) तत्व हैं। परीक्षा में शब्द से बने समुच्चय में अद्वितीय अक्षर लें। / Repetition is removed in a set so the only elements are (L,E,V). In exams take unique letters in a set made from a word.
A. (B) (A) का घात समुच्चय है/(B) is the power set of (A)
Explanation
Simple Explanation
\(x\subset A\) का अर्थ है (x) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए (B) में सभी उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में घात समुच्चय को तत्वों के समुच्चय के रूप में समझें। / The statement \(x\subset A\) means (x) is a subset of (A), so (B) contains all subsets. In exams understand a power set as a set of subsets.
घात समुच्चय में उपसमुच्चय तत्व होते हैं इसलिए (1) अकेला तत्व नहीं है। परीक्षा में (\mathcal{P}(A)) में सेट लिखे जाते हैं। / A power set contains subsets as elements, so (1) alone is not an element. In exams entries of (\mathcal{P}(A)) are sets.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (5) शामिल है पर (B) में (5) नहीं है इसलिए (B) उचित उपसमुच्चय है। परीक्षा में \(\le\) और (<) का फर्क देखें। / (A) includes (5) but (B) does not, so (B) is a proper subset. In exams note the difference between \(\le\) and (<).
(12) के धनात्मक सम भाजक (2,4,6,12) हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में पहले भाजक और फिर सम होने की शर्त लगाएं। / The positive even divisors of (12) are (2,4,6,12), so (A=B). In exams list divisors first and then apply evenness.
B. (B) का हर तत्व (A) में है/Every element of (B) is in (A)
Explanation
Simple Explanation
उपसमुच्चय की परिभाषा हर तत्व के समावेशन पर आधारित है। परीक्षा में केवल कम संख्या वाले तत्व देखकर निर्णय न लें। / The definition of subset is based on inclusion of every element. In exams do not decide only by seeing fewer elements.
({1,2}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। परीक्षा में उपसमुच्चय और तत्व की जांच अलग करें। / All elements of ({1,2}) are in (A), so it is a subset. In exams check subset and element statements separately.
दो तत्वों वाले समुच्चय के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा में घात समुच्चय के तत्वों की संख्या \(2^n\) होती है। / A set with two elements has \(2^2=4\) subsets. In exams the number of elements in a power set is \(2^n\).
तीन तत्व चुनने के तरीके \({}^4C_3=4\) हैं और ये सभी उचित उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में आकार (n) से छोटा हो तो उपसमुच्चय उचित होता है। / The number of ways to choose three elements is \({}^4C_3=4\) and all are proper subsets. In exams a subset with size less than (n) is proper.
\(x^2=4\) के वास्तविक हल (-2) और (2) दोनों हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल न भूलें। / The real solutions of \(x^2=4\) are both (-2) and (2), so (A=B). In exams do not forget the negative square root.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{1,3,5,15\}\) है इसलिए (B) इसके अंदर है लेकिन बराबर नहीं है। परीक्षा में सबसे बड़ा भाजक संख्या स्वयं होती है। / \(A=\{1,3,5,15\}\), so (B) is inside it but not equal. In exams the number itself is also a divisor.
(W) में (0) शामिल है और (n=0,1,2,3) देने पर \(B=\{0,2,4,6\}\) है। परीक्षा में (W) की शुरुआत (0) से मानें। / (W) includes (0), and (n=0,1,2,3) gives \(B=\{0,2,4,6\}\). In exams take (W) as starting from (0).
(A) में \(\emptyset\) एक तत्व है इसलिए \({\emptyset}\) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय को तत्व के रूप में भी पहचाने। / \(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
B. दोनों में वही तत्व हैं/Both have the same elements
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता और समान तत्व होने पर समुच्चय बराबर होते हैं। परीक्षा में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता। / Order does not matter in a set and sets are equal when they have the same elements. In exams changing order does not change a set.
(9) से कम विषम प्राकृतिक संख्याएं (1,3,5,7) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में सीमा के बराबर संख्या तभी लें जब शर्त अनुमति दे। / The odd natural numbers less than (9) are (1,3,5,7), so both are equal. In exams include the boundary only when the condition allows it.
पूरा समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है लेकिन उचित उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में उचित उपसमुच्चय में बराबरी हटती है। / The whole set is a subset of itself but not a proper subset. In exams proper subset excludes equality.
दो तत्वों वाले (3) और तीन तत्वों वाला (1) उपसमुच्चय है इसलिए कुल (4) हैं। परीक्षा में "कम से कम" में सभी बड़े आकार जोड़ें। / There are (3) subsets with two elements and (1) subset with three elements, so the total is (4). In exams add all larger sizes for "at least".
(2) और (5) निश्चित हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\)। परीक्षा में अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करें। / The elements (2) and (5) are fixed and the remaining (3) elements are free, so \(2^3=8\). In exams fix compulsory elements first.
(1) निश्चित है और (4) हट गया है इसलिए (2,3) स्वतंत्र हैं और \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में शामिल और निष्कासित शर्तें अलग करें। / (1) is fixed and (4) is removed, so (2,3) are free and form \(2^2=4\) subsets. In exams separate included and excluded conditions.
पूर्णांक हल (-1) और (1) दोनों हैं इसलिए (A) और (B) बराबर हैं। परीक्षा में वर्ग की शर्त में दोनों चिन्ह देखें। / The integer solutions are both (-1) and (1), so (A) and (B) are equal. In exams check both signs in square conditions.
A. \(A\subset B\) और \(C\subset A\)/\(A\subset B\) and \(C\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) का हर तत्व (B) में है और (C) का हर तत्व (A) में है। परीक्षा में हर समावेशन अलग जांचें। / Every element of (A) is in (B) and every element of (C) is in (A). In exams check each inclusion separately.
(20) से कम (5) के धनात्मक गुणज (5,10,15) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में "से कम" में सीमा को शामिल न करें। / The positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15), so the sets are equal. In exams do not include the boundary in "less than".
A. \({1}\in A\) और \({1}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1}\in A\) and \({1}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({1}) तत्व के रूप में भी है और उसका तत्व (1) भी (A) में है इसलिए दोनों कथन सत्य हैं। परीक्षा में एक ही वस्तु तत्व और उपसमुच्चय दोनों हो सकती है। / ({1}) is present as an element and its element (1) is also in (A), so both statements are true. In exams the same object can be both an element and a subset.
(A) के तत्व ({1,2}) और (3) हैं इसलिए ({{1,2}}) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में बड़े ब्रैकेट के अंदर के पूरे तत्व पहचानें। / The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
विषम संख्याएं (1,3) हैं जिनमें से एक चुनें और सम संख्याएं (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \({}^2C_1\times2^2=8\)। परीक्षा में शर्त वाले तत्व और स्वतंत्र तत्व अलग करें। / The odd numbers are (1,3); choose one of them and let even numbers (2,4) be free, so \({}^2C_1\times2^2=8\). In exams separate restricted and free elements.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\) में वे सभी प्राकृतिक अभाज्य संख्याएँ हैं जो 10 से छोटी हैं, अतः \(A=\{2,3,5,7\}\). \(B=\{2,3,5\}\) है, इसलिए प्रत्येक सदस्यता वाले नियम से \(B\subset A\) और \(B\ne A\) (क्योंकि 7 \(A\) में है पर \(B\) में नहीं)। विकल्प A गलत है क्योंकि \(7\) \(B\) में नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\) के सदस्य \(B\) के बाहर भी हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) और \(B\) के सामान्य सदस्य हैं (2,3,5)। परीक्षा टिप: सेट संबंध का निर्णय करने के लिए पहले सेट के वास्तविक सदस्यों को लिख लें। / By definition \(A\) is the set of prime natural numbers less than 10, so \(A=\{2,3,5,7\}\). Since \(B=\{2,3,5\}\) contains some but not all elements of \(A\), we have \(B\subset A\) and \(B\ne A\). Option A is false because 7 is in \(A\) but not in \(B\). Option C is false because \(A\) has an element (7) not in \(B\). Option D is false because \(A\) and \(B\) share elements 2, 3 and 5. Exam tip: list elements of each set before testing subset or equality relations.
सम तत्व (2,4,6) हैं और इनके सभी उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। परीक्षा में "केवल" का अर्थ है बाकी तत्वों को पूरी तरह हटाना। / The even elements are (2,4,6), and all their subsets are \(2^3=8\). In exams "only" means all other elements are excluded.
(18) के (10) से कम धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9) हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में संयुक्त शर्तों को एक साथ लगाएं। / The positive divisors of (18) less than (10) are (1,2,3,6,9), so (A=B). In exams apply combined conditions together.
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय और समान सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त तत्व नहीं बचता इसलिए (A=B)। परीक्षा में सीमितता की शर्त महत्वपूर्ण है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
