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(n(A)=15), (n(B)=10) और (n\(A\cap B\)=5), इसलिए (n\(A\cup B\)=20)। ऐसी गिनती में समावेशन-बहिष्करण याद रखें। / (n(A)=15), (n(B)=10) and (n\(A\cap B\)=5), so (n\(A\cup B\)=20). Use inclusion-exclusion in such counting questions.
\(A\cup B\) से \(A\setminus B\) हटाने पर (B) के सभी तत्व बचते हैं। ऐसे प्रश्न में वेन आरेख के क्षेत्रों को अलग-अलग देखें। / Removing \(A\setminus B\) from \(A\cup B\) leaves all elements of (B). In such questions, view separate Venn diagram regions.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\) और \(A\cap B=A\), इसलिए उत्तर \(B\setminus A\) है। उपसमुच्चय की शर्त पहले लगाएं। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\), hence the answer is \(B\setminus A\). Apply the subset condition first.
\(A\cup B\) तीन अलग भागों से बनता है, इसलिए (54=17+21+n\(A\cap B\))। अतः (n\(A\cap B\)=16), वेन आरेख में क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A\cup B\) is made of three separate parts, so (54=17+21+n\(A\cap B\)). Hence (n\(A\cap B\)=16), add Venn regions carefully.
दोनों अंतर रिक्त होने का अर्थ है कि दोनों समुच्चय एक-दूसरे में समाहित हैं, इसलिए (A=B)। समानता सिद्ध करने में दोनों दिशाएं जांचें। / Both differences being empty means each set is contained in the other, so (A=B). To prove equality, check both containments.
(B=(-1,6]) में (-1) नहीं है और (6) शामिल है, इसलिए (A) से बीच का भाग हटकर ([-4,-1]\cup(6,9]) बचता है। अंतर में खुले-बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since (B=(-1,6]) excludes (-1) and includes (6), removing it from (A) leaves ([-4,-1]\cup(6,9]). In differences, handle open and closed endpoints carefully.
क्योंकि \(A\cap B\subseteq A\cup B\) सदैव होता है, समानता तभी होगी जब दोनों समुच्चय समान हों। ऐसे प्रश्न में तत्व-आधारित सोच उपयोगी है। / Since \(A\cap B\subseteq A\cup B\) always, equality here forces both sets to be equal. Element-wise thinking is useful in such questions.
पहले \(A=\{2,3\}\) और \(B=\{1,3\}\) मिलते हैं, इसलिए साझा तत्व ({3}) है। समीकरण वाले समुच्चय में पहले मूल निकालें। / First \(A=\{2,3\}\) and \(B=\{1,3\}\), so the common element is ({3}). For equation-defined sets, find roots first.
(B) में (1) शामिल है, इसलिए (A) से (1) और उसके बाद का साझा भाग हटेगा। अंतर में सिरों की खुली-बंद स्थिति ध्यान से देखें। / Since (1) is included in (B), (1) and the common part after it are removed from (A). Watch open and closed endpoints in interval differences.
\(A\cap B\) और \(A\setminus B\), (A) के अलग-अलग भाग हैं और उनका संघ (A) है। ऐसे पहचान प्रश्न में भागों को विभाजन की तरह देखें। / \(A\cap B\) and \(A\setminus B\) are disjoint parts of (A), and their union is (A). View such identities as partitioning a set.
(n\(A\cap B\)=18+22-31=9), इसलिए (n\(A\setminus B\)=18-9=9)। पहले प्रतिच्छेद निकालना अक्सर आसान रहता है। / (n\(A\cap B\)=18+22-31=9), so (n\(A\setminus B\)=18-9=9). Finding the intersection first is often easier.
सममित अंतर में वे तत्व आते हैं जो केवल एक समुच्चय में हों, इसलिए ({1,3,5,6}) है। साझा तत्वों को हटाना न भूलें। / The symmetric difference contains elements present in exactly one set, so it is ({1,3,5,6}). Do not include common elements.
संघ में (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, इसलिए (B) के सभी तत्व (A) में हैं। संघ से उपसमुच्चय संबंध पहचानें। / Adding (B) to (A) by union does not change (A), so every element of (B) is in (A). Detect subset relations from union identities.
\(B\cup C\) से बाहर रहने का अर्थ है (B) से भी बाहर और (C) से भी बाहर। डी मॉर्गन जैसी सोच अंतर में भी लागू होती है। / Being outside \(B\cup C\) means being outside both (B) and (C). De Morgan style thinking also helps with set difference.
जो तत्व \(B\cap C\) में नहीं है, वह कम-से-कम (B) या (C) में नहीं होगा। इसलिए संघ आता है, प्रतिच्छेद नहीं। / An element not in \(B\cap C\) is missing from at least one of (B) or (C). Hence union appears, not intersection.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\), फिर (C) से साझा तत्व ({1,4}) मिलते हैं। कोष्ठक के अनुसार क्रम रखें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\), then common elements with (C) are ({1,4}). Follow the parentheses order.
\(A\setminus B={a,c}\) और \(B\cap C={d,e}\), इसलिए संघ ({a,c,d,e}) है। अलग-अलग भाग पहले निकालें। / \(A\setminus B={a,c}\) and \(B\cap C={d,e}\), so the union is ({a,c,d,e}). Find each part separately first.
जब (A) और (B) दोनों (C) में हैं, तब \(A\cup B\subseteq C\), इसलिए बाहर कुछ नहीं बचता। उपसमुच्चय से अंतर तुरंत तय हो सकता है। / When both (A) and (B) lie in (C), \(A\cup B\subseteq C\), so nothing remains outside (C). Subset facts can determine differences quickly.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता, इसलिए संघ की संख्या (p+q) है। प्रतिच्छेद रिक्त हो तो घटाने की जरूरत नहीं। / Disjoint sets have no common elements, so the union size is (p+q). If the intersection is empty, no subtraction is needed.
कम-से-कम एक विषय चुनने वाले (40-7=33) हैं, इसलिए दोनों (24+18-33=9) हैं। पहले न तो वाले घटाएं। / Students choosing at least one subject are (40-7=33), so both are (24+18-33=9). Subtract neither cases first.
अभाज्य संख्याओं में केवल (2) सम है, इसलिए \(A\setminus B={2}\)। (1) को अभाज्य न मानें। / Among primes, only (2) is even, so \(A\setminus B={2}\). Do not treat (1) as prime.
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) और \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\), इसलिए अंतर ({-3,3}) है। पूर्णांक शर्त अलग से देखें। / \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) and \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\), so the difference is ({-3,3}). Check the integer condition separately.
हर वास्तविक संख्या या तो (2) से छोटी है या (-1) से बड़ी है, इसलिए संघ \(\mathbb{R}\) है। संघ में क्षेत्रों को मिलाकर पूरी रेखा देखें। / Every real number is either less than (2) or greater than (-1), so the union is \(\mathbb{R}\). In unions, visualize the whole number line.
A. जब (B') सार्वत्रिक समुच्चय (U) के सापेक्ष पूरक हो/When (B') is complement relative to universal set (U)
Explanation
Simple Explanation
\(A\setminus B\) में (A) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं, यानी \(A\cap B'\)। पूरक हमेशा (U) के सापेक्ष समझें। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) not in (B), which is \(A\cap B'\). Always understand complement relative to (U).
\(A\cup B={1,2,3,5,7,9,11}\), इसलिए (U) में बचे तत्व ({4,6,8,10,12}) हैं। पूरक निकालते समय (U) जरूरी है। / \(A\cup B={1,2,3,5,7,9,11}\), so remaining elements in (U) are ({4,6,8,10,12}). The universal set is essential for complements.
समुच्चय अंतर अदला-बदली योग्य नहीं है, इसलिए \(A\setminus B\) और \(B\setminus A\) सामान्यतः अलग होते हैं। अंतर में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / Set difference is not commutative, so \(A\setminus B\) and \(B\setminus A\) are generally different. Order matters greatly in difference.
(B) हटाने पर (A) नहीं बदला, इसलिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है। अंतर पहचान से असंबद्धता समझें। / Removing (B) from (A) changes nothing, so (A) and (B) have no common element. Difference identities reveal disjointness.
(A) का कोई भी तत्व (B) के बाहर नहीं है, इसलिए \(A\subseteq B\)। रिक्त अंतर अक्सर उपसमुच्चय बताता है। / No element of (A) lies outside (B), so \(A\subseteq B\). An empty difference often indicates a subset relation.
(x<y) वाले युग्मों में केवल ((1,3)) का योग (4) है। क्रमित युग्मों में क्रम बदलने से तत्व बदल जाता है। / Among pairs with (x<y), only ((1,3)) has sum (4). In ordered pairs, changing order changes the element.
जो संख्या (2) और (3) दोनों से विभाज्य है, वह (6) की गुणज है। प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ लगती हैं। / A number divisible by both (2) and (3) is a multiple of (6). In intersection, both conditions apply together.
(A) में (7), (B) में (3) और साझा ({10}) है, इसलिए संख्या (7+3-1=9) है। साझा तत्व दो बार न गिनें। / (A) has (7) elements, (B) has (3), and the common set is ({10}), so the count is (7+3-1=9). Do not count common elements twice.
\(A\setminus B\) और \(A\cap B\), (A) के दो अलग भाग हैं। उनका संघ पूरा (A) देता है। / \(A\setminus B\) and \(A\cap B\) are two separate parts of (A). Their union gives the whole of (A).
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है, इसलिए (5+7+4=16)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को जोड़ें। / The union is made of three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) and \(A\cap B\), so (5+7+4=16). Add separate Venn regions.
(n\(A\cup B\)=32+27-11=48), इसलिए पूरक में (60-48=12) तत्व हैं। पहले संघ निकालें फिर (U) से घटाएं। / (n\(A\cup B\)=32+27-11=48), so the complement has (60-48=12) elements. Find the union first, then subtract from (U).
(A) का हर तत्व (B) के पूरक में है, इसलिए (A) और (B) में साझा तत्व नहीं है। पूरक में होने का अर्थ बाहर होना है। / Every element of (A) is in the complement of (B), so (A) and (B) have no common element. Being in a complement means being outside the set.
\(B\setminus C\) से हटाने का अर्थ है (B) में और (C) से बाहर तत्व हटाना, इसलिए (A) में या तो (B) से बाहर या (C) में मौजूद तत्व बचते हैं। पहचान को तत्व विधि से जांचें। / Removing \(B\setminus C\) means removing elements in (B) and outside (C), so elements of (A) remain if they are outside (B) or in (C). Verify identities by element method.
\(A\setminus B\) के (2) तत्व चुनना (A) से (2) तत्व चुनने जैसा है, इसलिए \(\binom{4}{2}=6\)। अंतर का आकार पूरक उपचयन से जुड़ा है। / Choosing (2) elements for \(A\setminus B\) is like choosing (2) elements from (A), so \(\binom{4}{2}=6\). Difference size is linked to complementary selection.
\(A\cup B\) में \(A\setminus B\) और पूरा (B) असंबद्ध रूप से जुड़ते हैं, इसलिए (12+20=32)। कभी-कभी सीधे क्षेत्रों को जोड़ना आसान है। / \(A\cup B\) is formed by the disjoint parts \(A\setminus B\) and all of (B), so (12+20=32). Sometimes adding regions directly is easier.
\(x^2-4x+3\le0\) से ([1,3]) मिलता है, जो (A) के अंदर है। द्विघात असमानता हल करके फिर प्रतिच्छेद लें। / \(x^2-4x+3\le0\) gives ([1,3]), which lies inside (A). Solve the quadratic inequality first, then intersect.
A. \(B\subseteq A\) और \(A\subseteq C\)/\(B\subseteq A\) and \(A\subseteq C\)
Explanation
Simple Explanation
बायां पक्ष (A) को समाहित करता है और दायां पक्ष (A) में समाहित है, इसलिए दोनों (A) के बराबर हैं। इससे \(B\subseteq A\) और \(A\subseteq C\) मिलता है। / The left side contains (A), and the right side is contained in (A), so both must equal (A). Hence \(B\subseteq A\) and \(A\subseteq C\).
\(A\cap B\) और \(A\setminus B\) हमेशा असंबद्ध होते हैं, इसलिए वे समान तभी हो सकते हैं जब दोनों रिक्त हों। तब (A) भी रिक्त है। / \(A\cap B\) and \(A\setminus B\) are always disjoint, so they can be equal only when both are empty. Then (A) is empty too.
\(A\setminus B\) और \(B\setminus A\) हमेशा असंबद्ध होते हैं, इसलिए दोनों समान गैर-रिक्त समुच्चय नहीं हो सकते। असंभवता में असंबद्धता जांचें। / \(A\setminus B\) and \(B\setminus A\) are always disjoint, so they cannot be the same non-empty set. Check disjointness in impossibility questions.
संघ से (A) हटाने पर (B) बचता है क्योंकि (A) और (B) साझा नहीं हैं। असंबद्धता अंतर को सरल कर देती है। / Removing (A) from the union leaves (B) because (A) and (B) do not overlap. Disjointness simplifies set differences.
दोनों से विभाज्य संख्याएं (\operatorname{lcm}(4,6)=12) की गुणज हैं, और (50) तक (12,24,36,48) हैं। प्रतिच्छेद में लघुत्तम समापवर्त्य उपयोग करें। / Numbers divisible by both are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12), and up to (50) they are (12,24,36,48). Use LCM for intersections of multiples.
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) और \(B=\{-1,1\}\), इसलिए इन्हें हटाने पर ({-3,-2,0,2,3}) बचता है। पहले दोनों समुच्चय सूचीबद्ध करें। / \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) and \(B=\{-1,1\}\), so removing them leaves ({-3,-2,0,2,3}). List both sets first.
कोई वास्तविक संख्या एक साथ \(x\le0\) और (x>2) नहीं हो सकती, इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। असंगत शर्तों को जल्दी पहचानें। / No real number can satisfy \(x\le0\) and (x>2) together, so the intersection is empty. Recognize incompatible conditions quickly.
यह संघ का प्रतिच्छेद पर वितरण है। दो कोष्ठकों में (A) दोहरना वितरण का संकेत है। / This is distribution of union over intersection. Repetition of (A) in two brackets signals distribution.
\(A\setminus B\) हमेशा (A) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(C\subseteq A\) सत्य है। अंतर का परिणाम मूल समुच्चय से बाहर नहीं जा सकता। / \(A\setminus B\) is always a subset of (A), so \(C\subseteq A\) is true. A difference cannot contain elements outside the original set.
(A) के अंदर (B) और (C) का हिस्सा समान है, इसलिए (A) में उनका सममित अंतर नहीं बचेगा। समान प्रतिच्छेद से पूरे (B=C) निष्कर्ष न निकालें। / Inside (A), the parts of (B) and (C) are the same, so no symmetric difference remains within (A). Do not conclude full (B=C) from equal intersections.
