यदि \(J_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) (100) से छोटी पूर्ण घन संख्या है(}) है, तो \(J_1\) के अवयव कौन-से हैं?
If \(J_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) is a perfect cube less than (100)(}), what are the elements of \(J_1\)?
#sets
#finite set
#perfect cubes
#class 11
A \(J_1={1,8,27,64}\)
B \(J_1={8,27,64,125}\)
C \(J_1={1,4,9,16}\)
D \(J_1=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(J_1={1,8,27,64}\)
Step 1
Concept
(100) से छोटे पूर्ण घन \(1^3,2^3,3^3,4^3\) से मिलते हैं। / Perfect cubes less than (100) come from \(1^3,2^3,3^3,4^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इनके मान (1,8,27,64) हैं। / Their values are (1,8,27,64).
Step 3
Exam Tip
\(5^3=125\) सीमा से बाहर है, इसलिए उसे शामिल न करें। / \(5^3=125\) is outside the limit, so do not include it.
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यदि \(K_1={x:x=n^3, n\in \mathbb{N}}\) है, तो \(K_1\) कैसा है?
If \(K_1={x:x=n^3, n\in \mathbb{N}}\), what type of set is \(K_1\)?
#sets
#infinite set
#perfect cubes
#sequence
#class 11
A रिक्त / Empty
B परिमित / Finite
C अपरिमित / Infinite
D एकल / Singleton
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Correct Answer
C. अपरिमित / Infinite
Step 1
Concept
\(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(1,8,27,\ldots\) मिलते हैं। / Putting \(n=1,2,3,\ldots\) gives \(1,8,27,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
(n) की कोई अंतिम सीमा नहीं है, इसलिए पूर्ण घनों की सूची भी समाप्त नहीं होती। / Since (n) has no final limit, the list of cubes does not end.
Step 3
Exam Tip
विशेष रूप वाली संख्याएँ भी बिना सीमा के अपरिमित हो सकती हैं। / Numbers of a special form can also form an infinite set when unbounded.
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यदि \(L_1={x:x\in \mathbb{N}, x^2<10}\) और \(M_1={1,2,3}\) हैं, तो क्या \(L_1=M_1\) है?
If \(L_1={x:x\in \mathbb{N}, x^2<10}\) and \(M_1={1,2,3}\), is \(L_1=M_1\)?
#sets
#equal sets
#square inequality
#natural numbers
#class 11
A हाँ, क्योंकि दोनों में वही अवयव हैं / Yes, because both have the same elements
B नहीं, क्योंकि (0) भी होना चाहिए / No, because (0) should also be there
C नहीं, क्योंकि (4) भी होना चाहिए / No, because (4) should also be there
D नहीं, क्योंकि \(L_1\) अपरिमित है / No, because \(L_1\) is infinite
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि दोनों में वही अवयव हैं / Yes, because both have the same elements
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2<10\) के लिए (x=1,2,3) संभव हैं। / In natural numbers, \(x^2<10\) allows (x=1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\) होने से (4) शामिल नहीं होगा। / Since \(4^2=16\), (4) is not included.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाली असमानता में सीमा से पहले तक के मान सावधानी से गिनें। / In square inequalities, count values carefully up to the boundary.
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यदि \(N_1={x:x\in \mathbb{N}, x^2\leq 10}\) और \(O_1={1,2,3}\) हैं, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(N_1={x:x\in \mathbb{N}, x^2\leq 10}\) and \(O_1={1,2,3}\), which statement is correct?
#sets
#equal sets
#natural numbers
#square inequality
#class 11
A \(N_1=O_1\)
B \(N_1={1,2,3,4}\)
C \(N_1=\varnothing\)
D \(N_1\) अपरिमित है / \(N_1\) is infinite
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Correct Answer
A. \(N_1=O_1\)
Step 1
Concept
\(1^2,2^2,3^2\) के मान (10) से कम या बराबर हैं। / \(1^2,2^2,3^2\) are less than or equal to (10).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\) है, इसलिए (4) शामिल नहीं होगा। / \(4^2=16\), so (4) is not included.
Step 3
Exam Tip
\(\leq\) चिह्न होने पर भी सही वर्ग-सीमा जाँचनी पड़ती है। / Even with \(\leq\), the square boundary must be checked correctly.
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यदि \(P_1={x:x\in \mathbb{Z}, x^2<10}\) है, तो \(P_1\) में कितने अवयव हैं?
If \(P_1={x:x\in \mathbb{Z}, x^2<10}\), how many elements are in \(P_1\)?
#sets
#finite set
#integers
#square inequality
#cardinality
#class 11
A (5)
B (6)
C (7)
D अपरिमित / Infinite
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Step 1
Concept
\(x^2<10\) के लिए पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) संभव हैं। / For \(x^2<10\), the possible integers are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
कुल (7) अवयव मिलते हैं। / There are (7) elements in total.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों में ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक तीनों भागों को गिनें। / For integer sets, count negative values, zero, and positive values.
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यदि \(Q_1={x:x\in \mathbb{Z}, 2x+1=0}\) है, तो \(Q_1\) क्या है?
If \(Q_1={x:x\in \mathbb{Z}, 2x+1=0}\), what is \(Q_1\)?
#sets
#empty set
#linear equation
#integers
#class 11
A \(Q_1={0}\)
B \(Q_1={-\frac{1}{2}}\)
C \(Q_1=\varnothing\)
D \(Q_1\) अपरिमित है / \(Q_1\) is infinite
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Correct Answer
C. \(Q_1=\varnothing\)
Step 1
Concept
(2x+1=0) से \(x=-\frac{1}{2}\) मिलता है। / (2x+1=0) gives \(x=-\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है, इसलिए कोई स्वीकार्य अवयव नहीं है। / \(-\frac{1}{2}\) is not an integer, so there is no acceptable element.
Step 3
Exam Tip
रैखिक समीकरण का हल भी क्षेत्र की शर्त पूरी करे, तभी समुच्चय में आएगा। / A linear equation solution must also satisfy the domain condition.
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यदि \(R_1={x:x\in \mathbb{Q}, 2x+1=0}\) है, तो \(R_1\) कैसा समुच्चय है?
If \(R_1={x:x\in \mathbb{Q}, 2x+1=0}\), what type of set is \(R_1\)?
#sets
#singleton set
#rational numbers
#linear equation
#class 11
A रिक्त / Empty
B एकल / Singleton
C दो अवयवों वाला / Two-element set
D अपरिमित / Infinite
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Correct Answer
B. एकल / Singleton
Step 1
Concept
(2x+1=0) से \(x=-\frac{1}{2}\) मिलता है। / (2x+1=0) gives \(x=-\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह परिमेय संख्या है, इसलिए समुच्चय में एक ही अवयव होगा। / This is a rational number, so the set has exactly one element.
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र \(\mathbb{Q}\) हो तो भिन्न रूप के हल स्वीकार हो सकते हैं। / When the domain is \(\mathbb{Q}\), fractional solutions may be accepted.
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यदि \(S_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) (5) से भाग देने पर शेष (2) देता है(}) है, तो \(S_1\) किस प्रकार का समुच्चय है?
If \(S_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) leaves remainder (2) when divided by (5)(}), what type of set is \(S_1\)?
#sets
#infinite set
#remainder
#arithmetic pattern
#class 11
A रिक्त / Empty
B परिमित / Finite
C अपरिमित / Infinite
D एकल / Singleton
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Correct Answer
C. अपरिमित / Infinite
Step 1
Concept
ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ \(2,7,12,17,\ldots\) हैं। / Such natural numbers are \(2,7,12,17,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
यह क्रम लगातार आगे बढ़ता है और समाप्त नहीं होता। / This sequence keeps going and does not end.
Step 3
Exam Tip
शेषफल पर आधारित समुच्चय बिना ऊपरी सीमा के अपरिमित हो सकता है। / A remainder-based set can be infinite when there is no upper limit.
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यदि \(T_1={x:x\in \mathbb{N}, x\leq 40, x\) (5) से भाग देने पर शेष (2) देता है(}) है, तो \(T_1\) में कितने अवयव हैं?
If \(T_1={x:x\in \mathbb{N}, x\leq 40, x\) leaves remainder (2) when divided by (5)(}), how many elements are in \(T_1\)?
#sets
#finite set
#remainder
#cardinality
#class 11
A (7)
B (8)
C (9)
D अपरिमित / Infinite
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Step 1
Concept
ऐसी संख्याएँ (2,7,12,17,22,27,32,37) हैं। / The numbers are (2,7,12,17,22,27,32,37).
Step 2
Why this answer is correct
(42) सीमा (40) से बाहर है, इसलिए कुल (8) अवयव हैं। / (42) is beyond the limit (40), so there are (8) elements.
Step 3
Exam Tip
समान अंतर वाली सूची में अंतिम मान सीमा के अंदर होना चाहिए। / In an arithmetic pattern, the last term must stay within the given bound.
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यदि \(U_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) (6) से भाग देने पर शेष (6) देता है(}) है, तो \(U_1\) क्या है?
If \(U_1={x:x\in \mathbb{N}, x\) leaves remainder (6) when divided by (6)(}), what is \(U_1\)?
#sets
#empty set
#remainder
#division
#class 11
A रिक्त समुच्चय / Empty set
B (6) के गुणजों का समुच्चय / Set of multiples of (6)
C सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय / Set of all natural numbers
D एकल समुच्चय / Singleton set
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Correct Answer
A. रिक्त समुच्चय / Empty set
Step 1
Concept
किसी संख्या को (6) से भाग देने पर शेष (0) से (5) तक हो सकता है। / When a number is divided by (6), the remainder can be from (0) to (5).
Step 2
Why this answer is correct
शेष (6) संभव नहीं है, इसलिए कोई अवयव नहीं मिलेगा। / Remainder (6) is impossible, so no element exists.
Step 3
Exam Tip
शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। / A remainder is always smaller than the divisor.
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