Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Since (x<9), (9) is not included, so the elements are from (3) to (8).
Step 3
Exam Tip
Read \(\leq\) and (<) separately in inequalities. चरण 1: \(3\leq x\) होने से (3) शामिल होगा। चरण 2: (x<9) होने से (9) शामिल नहीं होगा, इसलिए सदस्य (3) से (8) तक हैं। चरण 3: असमानता में \(\leq\) और (<) को अलग-अलग पढ़ना चाहिए।
The set contains (0), so using whole numbers for (n) is suitable.
Step 2
Why this answer is correct
For (n=0,1,2,3,4), (3n) gives (0,3,6,9,12).
Step 3
Exam Tip
When (0) appears, check the difference between (W) and (N). चरण 1: समुच्चय में (0) भी है, इसलिए (n) को पूर्ण संख्या लेना ठीक है। चरण 2: (n=0,1,2,3,4) रखने पर (0,3,6,9,12) मिलते हैं। चरण 3: जहाँ (0) सदस्य हो, वहाँ (W) और (N) का अंतर जरूर देखें।
The elements are (-4,-3,-2,-1,0,1), so there are (6) elements.
Step 3
Exam Tip
When counting from negative to positive numbers, do not forget (0). चरण 1: (Z) पूर्णांकों का समुच्चय है। चरण 2: सदस्य (-4,-3,-2,-1,0,1) हैं, इसलिए कुल (6) सदस्य हैं। चरण 3: ऋणात्मक से धनात्मक तक गिनते समय (0) को न भूलें।
C. (30) से कम (4) के गुणज/Multiples of (4) less than (30)
Step 1
Concept
The elements of a set must be decided without confusion.
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (4) less than (30) can be checked exactly.
Step 3
Exam Tip
Words such as good, tall, and popular often depend on opinion. चरण 1: समुच्चय के सदस्य बिना भ्रम के तय होने चाहिए। चरण 2: (30) से कम (4) के गुणज निश्चित रूप से जाँचे जा सकते हैं। चरण 3: अच्छे, लंबे, लोकप्रिय जैसे शब्द अक्सर मत पर निर्भर करते हैं।
The equation \(x^2-5x+6=0\) can be written as ((x-2)(x-3)=0).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=2) and (x=3), and both are natural numbers.
Step 3
Exam Tip
In a solution set, include only the solutions that satisfy the given condition. चरण 1: समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=2) और (x=3) मिलते हैं, दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: हल-समुच्चय बनाते समय केवल वे हल लिखें जो दी गई शर्त में आते हों।
The prime elements among them are only (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For two-condition questions, first list all possible elements and then filter them. चरण 1: (18) के धनात्मक गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य सदस्य केवल (2) और (3) हैं। चरण 3: दो शर्तों वाले प्रश्न में पहले सभी संभावित सदस्य लिखकर फिर छाँटना आसान रहता है।
(W) does not include negative numbers, so only (5) is taken.
Step 3
Exam Tip
Match the equation solutions with the given number set. चरण 1: \(x^2=25\) के हल (-5) और (5) होते हैं। चरण 2: (W) में ऋणात्मक संख्या नहीं आती, इसलिए केवल (5) लिया जाएगा। चरण 3: समीकरण के हलों को संख्या-समूह की शर्त से मिलाकर देखें।
Equal sets have exactly the same distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
In the third option, the second set has the extra element (7).
Step 3
Exam Tip
Ignore order and repetition, but do not ignore an extra element. चरण 1: समान समुच्चयों में अलग-अलग सदस्य बिल्कुल समान होते हैं। चरण 2: तीसरे विकल्प में दूसरे समुच्चय में (7) अतिरिक्त है। चरण 3: क्रम और पुनरावृत्ति को न देखें, पर अतिरिक्त सदस्य को जरूर देखें।
Comparing with the factors of (20), the common elements are (1,2,4).
Step 3
Exam Tip
For a condition involving two numbers, choose common factors. चरण 1: (12) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 2: (20) के गुणनखंडों से मिलाने पर सामान्य सदस्य (1,2,4) हैं। चरण 3: दोनों संख्याओं को विभाजित करने की शर्त में सामान्य गुणनखंड चुनें।
List the even natural numbers between (10) and (20).
Step 2
Why this answer is correct
They are (12,14,16,18), so there are (4) elements.
Step 3
Exam Tip
Before including endpoints, read the condition carefully. चरण 1: (10) और (20) के बीच की सम प्राकृतिक संख्याएँ लिखें। चरण 2: वे (12,14,16,18) हैं, इसलिए कुल (4) सदस्य हैं। चरण 3: बीच में दिए गए सिरों को शामिल करने से पहले शर्त ध्यान से पढ़ें।
A. (4) तक की प्राकृतिक संख्याओं के घन/Cubes of natural numbers up to (4)
Step 1
Concept
The given elements are \(1^3,2^3,3^3,4^3\).
Step 2
Why this answer is correct
So it is the set of cubes of natural numbers up to (4).
Step 3
Exam Tip
Identify square and cube patterns separately. चरण 1: दिए गए सदस्य \(1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: इसलिए यह (4) तक की प्राकृतिक संख्याओं के घनों का समुच्चय है। चरण 3: वर्ग और घन के पैटर्न को अलग-अलग पहचानें।
\(|x|\leq 2\) means the distance of (x) from (0) is at most (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integers (-2,-1,0,1,2) satisfy it.
Step 3
Exam Tip
In absolute value questions, equality includes both endpoints. चरण 1: \(|x|\leq 2\) का अर्थ है (x) की (0) से दूरी (2) या उससे कम हो। चरण 2: पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) यह शर्त पूरी करते हैं। चरण 3: परिमाण में सीमा बराबर हो तो दोनों सिरे शामिल होते हैं।
Multiples of (6) less than (40) are (6,12,18,24,30,36).
Step 2
Why this answer is correct
(42) is a multiple of (6), but it is not less than (40).
Step 3
Exam Tip
Every condition must be satisfied together. चरण 1: (40) से कम (6) के गुणज (6,12,18,24,30,36) हैं। चरण 2: (42) (6) का गुणज तो है, लेकिन (40) से कम नहीं है। चरण 3: सभी शर्तों को एक साथ पूरा करना जरूरी होता है।
If a condition is impossible, check for the empty set. चरण 1: प्राकृतिक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(x^2=-1\) के लिए (N) में कोई सदस्य नहीं मिलेगा। चरण 3: असंभव शर्त दिखे तो रिक्त समुच्चय की संभावना देखें।
Positive multiples of (11) are \(11,22,33,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Up to (99), there are (9) multiples, and (110) is outside the limit.
Step 3
Exam Tip
While counting multiples, compare the last value with the limit. चरण 1: (11) के धनात्मक गुणज \(11,22,33,\ldots\) हैं। चरण 2: (99) तक (9) गुणज आते हैं और (110) सीमा से बाहर है। चरण 3: गुणजों की संख्या निकालते समय अंतिम मान को सीमा से मिलाएँ।
The two-digit primes less than (20) are (11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
Apply both prime and two-digit conditions together. चरण 1: दो अंकों की संख्या (10) से शुरू होती है। चरण 2: (20) से कम दो अंकों की अभाज्य संख्याएँ (11,13,17,19) हैं। चरण 3: अभाज्य और दो अंकों की दोनों शर्तें साथ में लगाएँ।
In whole number questions, pay special attention to (0). चरण 1: (W) पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है और इसमें (0) होता है। चरण 2: \(x\leq 4\) होने से (0,1,2,3,4) सदस्य हैं। चरण 3: पूर्ण संख्याओं वाले प्रश्न में (0) को खास ध्यान से देखें।
Distinguish between a multiple pattern and a power pattern. चरण 1: दिए गए सदस्य (2) की घातें हैं। चरण 2: (n=1) से (5) तक \(2^n\) रखने पर (2,4,8,16,32) मिलते हैं। चरण 3: गुणज और घात के पैटर्न में फर्क पहचानें।
In an open boundary, do not include the endpoints. चरण 1: (-5) और (5) के बीच के पूर्णांक चुनें। चरण 2: उनमें विषम सदस्य (-3,-1,1,3) हैं। चरण 3: खुली सीमा में दोनों सिरों को शामिल न करें।
Numbers divisible by (7) up to (35) are (7,14,21,28,35).
Step 2
Why this answer is correct
(28) is present in this set.
Step 3
Exam Tip
Test membership using both conditions. चरण 1: (7) से विभाज्य और (35) तक की संख्याएँ (7,14,21,28,35) हैं। चरण 2: इनमें (28) मौजूद है। चरण 3: सदस्यता में संख्या को दोनों शर्तों से जाँचें।
({0}) is not empty because it has the element (0). चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई सदस्य नहीं होता। चरण 2: उसका संकेत \(\varnothing\) या ({}) हो सकता है। चरण 3: ({0}) रिक्त नहीं है, क्योंकि उसमें (0) सदस्य है।
Squares of natural numbers must be less than or equal to (36).
Step 2
Why this answer is correct
\(6^2=36\), while \(7^2=49\).
Step 3
Exam Tip
With \(\leq\), the boundary value is included. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग (36) या उससे कम होने चाहिए। चरण 2: \(6^2=36\), जबकि \(7^2=49\) है। चरण 3: \(\leq\) होने पर सीमा वाली संख्या शामिल होती है।
Find the positive numbers that divide (21) exactly.
Step 2
Why this answer is correct
The factors are (1,3,7,21), so there are (4) elements.
Step 3
Exam Tip
Do not forget (1) and the number itself among factors. चरण 1: (21) को पूरा भाग देने वाली धनात्मक संख्याएँ खोजें। चरण 2: गुणनखंड (1,3,7,21) हैं, इसलिए (4) सदस्य हैं। चरण 3: गुणनखंडों में (1) और स्वयं संख्या को शामिल करना न भूलें।
A. (25) तक (5) के धनात्मक गुणज/Positive multiples of (5) up to (25)
Step 1
Concept
The elements (5,10,15,20,25) are all multiples of (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (25) is included, the phrase up to (25) is correct.
Step 3
Exam Tip
Words like less than and up to change the last element. चरण 1: सदस्य (5,10,15,20,25) सभी (5) के गुणज हैं। चरण 2: (25) भी शामिल है, इसलिए वाक्य में (25) तक कहना सही है। चरण 3: कम और तक जैसे शब्दों से अंतिम सदस्य बदल जाता है।
(-2,-1,0,1,2) satisfy this because their squares are (4) or less.
Step 3
Exam Tip
In square conditions, check (0) and negative values too. चरण 1: पूर्णांक के वर्ग (5) से कम होने चाहिए। चरण 2: (-2,-1,0,1,2) यह शर्त पूरी करते हैं, क्योंकि इनके वर्ग (4) या कम हैं। चरण 3: वर्ग वाली शर्त में (0) और ऋणात्मक मानों को भी जाँचें।
Multiples of (9) less than (50) are (9,18,27,36,45).
Step 3
Exam Tip
Include (0) only when the question uses whole numbers. चरण 1: प्राकृतिक गुणज (9) से शुरू होंगे। चरण 2: (50) से कम (9) के गुणज (9,18,27,36,45) हैं। चरण 3: (0) को प्राकृतिक गुणज के रूप में तभी लें जब प्रश्न में पूर्ण संख्या दी हो।
After solving an inequality, choose elements from the given number set. चरण 1: असमानता (2x+1<10) से (2x<9) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में (x=1,2,3,4) यह शर्त पूरी करते हैं। चरण 3: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समूह से सदस्य चुनें।
Do not forget (0) in whole numbers. चरण 1: \(3x\leq 12\) से \(x\leq 4\) मिलता है। चरण 2: \(x\in W\) होने से (0,1,2,3,4) सभी लिए जाएँगे। चरण 3: पूर्ण संख्याओं में (0) को शामिल करना न भूलें।
In word-based limits, check whether endpoints are included or excluded. चरण 1: बीच का अर्थ सामान्य रूप से (10) और (30) को छोड़ना है। चरण 2: अंदर आने वाले (5) के गुणज (15,20,25) हैं। चरण 3: शब्द आधारित सीमा में सिरों को शामिल करना है या नहीं, यह ध्यान से समझें।
The positive factors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
The elements greater than (6) are (9,12,18,36).
Step 3
Exam Tip
With (>), the boundary number is not included. चरण 1: (36) के धनात्मक गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें (6) से बड़े सदस्य (9,12,18,36) हैं। चरण 3: (>) होने पर सीमा संख्या शामिल नहीं होती।
(s) is present in the list, so \(s\in E\) is true.
Step 3
Exam Tip
For membership symbols, directly match with the listed elements. चरण 1: दिए गए समुच्चय के सदस्य (p,q,r,s) हैं। चरण 2: (s) इस सूची में मौजूद है, इसलिए \(s\in E\) सत्य है। चरण 3: सदस्यता प्रतीक पढ़ते समय सीधे सूची से मिलान करें।
A composite number is greater than (1) and has more than two factors.
Step 2
Why this answer is correct
Composite numbers less than (15) are (4,6,8,9,10,12,14).
Step 3
Exam Tip
(1) is neither prime nor composite. चरण 1: संयुक्त संख्या (1) से बड़ी होती है और उसके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (15) से छोटी संयुक्त संख्याएँ (4,6,8,9,10,12,14) हैं। चरण 3: (1) को न अभाज्य मानें, न संयुक्त।
In an open inequality, exclude both endpoints. चरण 1: (-1<x<4) में (-1) और (4) शामिल नहीं हैं। चरण 2: पूर्णांक (0,1,2,3) इस शर्त में आते हैं। चरण 3: खुली असमानता में दोनों सिरों को बाहर रखें।
Removing the factors of (8), namely (1,2,4,8), leaves (3,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
In not-type questions, first identify the opposite group and remove it. चरण 1: (1) से (8) तक प्राकृतिक संख्याएँ लें। चरण 2: (8) के गुणनखंड (1,2,4,8) हटाने पर (3,5,6,7) बचते हैं। चरण 3: नहीं शब्द वाले प्रश्नों में पहले उल्टा समूह पहचानकर उसे हटाएँ।
In natural numbers, \(I=\{1,2,3\}\), so it has finitely many elements.
Step 3
Exam Tip
If there are countable and ending elements, the set is finite. चरण 1: \(x+2\leq 5\) से \(x\leq 3\) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में \(I=\{1,2,3\}\) है, इसलिए इसमें सीमित सदस्य हैं। चरण 3: एक से अधिक लेकिन गिने जा सकने वाले सदस्य हों तो समुच्चय सीमित होता है।
(0,10,20,30,40) are divisible by (10) and less than (50).
Step 3
Exam Tip
The inclusion of (0) can change the answer for whole numbers and natural numbers. चरण 1: पूर्ण संख्याओं में (0) शामिल होता है। चरण 2: (0,10,20,30,40) सभी (10) से विभाज्य और (50) से कम हैं। चरण 3: पूर्ण संख्या और प्राकृतिक संख्या में (0) के कारण अंतर आ सकता है।
Together with (x<11), the elements are (6,7,8,9,10).
Step 3
Exam Tip
First convert language into the correct mathematical inequality. चरण 1: (6) से छोटा नहीं का अर्थ \(x\geq 6\) है। चरण 2: साथ में (x<11) लगाने पर (6,7,8,9,10) मिलते हैं। चरण 3: भाषा को पहले सही गणितीय असमानता में बदलें।
C. दो सदस्य वाला सीमित समुच्चय/Finite set with two elements
Step 1
Concept
(13) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
Its natural factors are only (1) and (13), so \(L=\{1,13\}\).
Step 3
Exam Tip
A prime number has exactly two factors. चरण 1: (13) अभाज्य संख्या है। चरण 2: इसके प्राकृतिक गुणनखंड केवल (1) और (13) हैं, इसलिए \(L=\{1,13\}\) है। चरण 3: अभाज्य संख्या के गुणनखंडों की संख्या हमेशा दो होती है।
Never confuse ({0}) with \(\varnothing\). चरण 1: \(x^2=0\) तभी होता है जब (x=0)। चरण 2: (0) एक पूर्णांक है, इसलिए \(M=\{0\}\) होगा। चरण 3: ({0}) और \(\varnothing\) को कभी एक जैसा न मानें।
A number divisible by both (2) and (3) is a multiple of (6).
Step 2
Why this answer is correct
Among natural multiples less than (12), only (6) appears.
Step 3
Exam Tip
Interpret divisible by both as a common multiple condition. चरण 1: (2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्या (6) की गुणज होगी। चरण 2: (12) से छोटी प्राकृतिक गुणजों में केवल (6) आता है। चरण 3: दोनों से विभाज्य का अर्थ सामान्य गुणज से जोड़कर समझें।
When both limits are the same, the set often has one element. चरण 1: \(5\leq x\leq 5\) का अर्थ है (x) केवल (5) हो सकता है। चरण 2: (5) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए समुच्चय \(P=\{5\}\) है। चरण 3: जब दोनों सीमाएँ समान हों, तो अक्सर एक ही सदस्य मिलता है।
Among natural numbers less than (20), look for numbers ending in (2).
Step 2
Why this answer is correct
Those numbers are (2) and (12).
Step 3
Exam Tip
For word-based conditions, listing and checking is a safe method. चरण 1: (20) से छोटी प्राकृतिक संख्याओं में अंतिम अंक (2) खोजें। चरण 2: ऐसी संख्याएँ (2) और (12) हैं। चरण 3: शब्दों वाली शर्त में भी सूची बनाकर जाँच करना सुरक्षित रहता है।
Whole numbers less than (3) are (0,1,2), and (5) is also included.
Step 3
Exam Tip
With the word or, combine the elements from both parts. चरण 1: (W) में (0) आता है। चरण 2: (3) से कम पूर्ण संख्याएँ (0,1,2) हैं और साथ में (5) भी लेना है। चरण 3: या शब्द हो तो दोनों हिस्सों से मिले सदस्यों को जोड़ें।
Check whether an extra condition adds a new element or repeats an old one. चरण 1: (16) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,4,8,16) हैं। चरण 2: (x=10) को भी जोड़ने पर कुल सदस्य (1,2,4,8,10,16) होते हैं। चरण 3: अतिरिक्त शर्त से नया सदस्य जुड़ता है या पहले से मौजूद है, यह जाँचें।
Since (x<0), (0) is excluded, so the even integers are (-6,-4,-2).
Step 3
Exam Tip
Negative even numbers are also multiples of (2). चरण 1: \(-6\leq x\) होने से (-6) शामिल है। चरण 2: (x<0) होने से (0) शामिल नहीं है, इसलिए सम पूर्णांक (-6,-4,-2) हैं। चरण 3: ऋणात्मक सम संख्याओं में भी (2) का गुणज होना मुख्य बात है।
Convert a not-type sentence into a simple inequality first. चरण 1: (4) से बड़ा नहीं का अर्थ \(x\leq 4\) है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में इससे (1,2,3,4) मिलते हैं। चरण 3: नहीं वाले वाक्य को पहले सरल असमानता में बदलें।
Natural perfect squares less than (25) are (1,4,9,16).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\neq 1\), remove (1).
Step 3
Exam Tip
Apply the exclusion condition at the end. चरण 1: (25) से कम प्राकृतिक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं। चरण 2: \(x\neq 1\) होने से (1) हट जाएगा। चरण 3: अतिरिक्त निषेध शर्त को अंत में लागू करें।
The factors of (100) are (1,2,4,5,10,20,25,50,100).
Step 2
Why this answer is correct
The two-digit elements among them are (10,20,25,50).
Step 3
Exam Tip
Check both the factor condition and digit condition together. चरण 1: (100) के गुणनखंड (1,2,4,5,10,20,25,50,100) हैं। चरण 2: इनमें दो अंकों वाले सदस्य (10,20,25,50) हैं। चरण 3: गुणनखंड और अंकों की संख्या दोनों शर्तें साथ में जाँचें।
In integers, the solutions of \(x^2=4\) are (-2) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(X=\{-2,2\}\), which is equal to (Y).
Step 3
Exam Tip
For square equations in integers, take both signs. चरण 1: पूर्णांकों में \(x^2=4\) के हल (-2) और (2) हैं। चरण 2: इसलिए \(X=\{-2,2\}\), जो (Y) के बराबर है। चरण 3: पूर्णांक में वर्ग समीकरण के दोनों चिह्न वाले हल लें।
The numbers divisible by (4) among them are (4) and (8).
Step 3
Exam Tip
Apply both one-digit and divisibility conditions together. चरण 1: प्राकृतिक एक अंकीय संख्याएँ (1) से (9) तक होती हैं। चरण 2: इनमें (4) से विभाज्य संख्याएँ (4) और (8) हैं। चरण 3: एक अंकीय और विभाज्यता दोनों सीमाओं को साथ में लागू करें।
