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चिह्न (<) छोटी संख्या को दर्शाता है। परीक्षा में चिह्न की दिशा ध्यान से देखें। / The symbol (<) shows the smaller value. In exams read the direction of the sign carefully.
B. (x) (7) से बड़ा या बराबर है/(x) is greater than or equal to (7)
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में बराबर होना भी शामिल है। खुले और बंद बिंदु का अंतर याद रखें। / The symbol \(\ge\) also includes equality. Remember the difference between open and closed points.
(2x+3<9) में चर की घात (1) है इसलिए यह रैखिक है। रैखिक असमानता में \(x^2\) या (xy) नहीं होता। / In (2x+3<9), the variable has power (1), so it is linear. A linear inequality does not contain \(x^2\) or (xy).
(3<4) सत्य है इसलिए (x=3) समाधान है। मान रखकर जाँच करना सबसे सरल तरीका है। / Since (3<4) is true, (x=3) is a solution. Substitution is the simplest checking method.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(2\le 2\) सत्य है। परीक्षा में \(\le\) और (<) को अलग रखें। / The sign \(\le\) includes equality, so \(2\le 2\) is true. In exams distinguish \(\le\) from (<).
अधिक है का अर्थ (>) होता है। भाषा को प्रतीक में बदलते समय मुख्य शब्द पहचानें। / More than means (>). When translating language to symbols, identify the key phrase.
अधिक नहीं है का अर्थ अधिकतम (12) है यानी \(p\le 12\)। ऐसे शब्दों में बराबरी अक्सर शामिल होती है। / Not more than means at most (12), so \(p\le 12\). Such phrases often include equality.
दोनों ओर समान संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। जोड़ या घटाव में चिह्न वैसा ही रहता है। / Adding the same number to both sides does not change the inequality direction. In addition or subtraction the sign stays the same.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न नहीं पलटता। केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में चिह्न पलटता है। / Multiplying by a positive number does not reverse the sign. The sign reverses only with negative multiplication or division.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है। यह बहुत सामान्य गलती है। / When multiplying by a negative number, the inequality sign reverses. This is a very common mistake.
दोनों ओर (4) घटाने पर (x<5) मिलता है। सरल असमानताओं में संतुलन विधि अपनाएँ। / Subtracting (4) from both sides gives (x<5). Use the balance method for simple inequalities.
दोनों ओर (3) जोड़ने पर \(x\le 10\) मिलता है। \(\le\) का चिह्न जोड़ने से नहीं बदलता। / Adding (3) to both sides gives \(x\le 10\). The sign \(\le\) does not change by addition.
दोनों ओर (2) से भाग देने पर (x>5) मिलता है। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / Dividing both sides by (2) gives (x>5). Division by a positive number does not reverse the sign.
दोनों ओर (-2) से भाग देने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-4)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलना न भूलें। / Dividing by (-2) reverses the sign, so (x>-4). Do not forget sign reversal in negative division.
(x=4) रखने पर \(3\cdot 4\le 12\) सत्य है। विकल्पों में मान रखकर जल्दी जाँच करें। / For (x=4), \(3\cdot 4\le 12\) is true. Substitute options for a quick check.
हल (x>4) है इसलिए (5) संतुष्ट करता है। पहले सीमा निकालें फिर विकल्प चुनें। / The solution is (x>4), so (5) satisfies it. First find the boundary, then choose the option.
B. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/Closed circle at (-2) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में (-2) शामिल है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर हैं। बंद बिंदु बराबरी को दिखाता है। / The sign \(\ge\) includes (-2), and greater numbers are to the right. A closed circle shows equality.
कोष्ठक ((5)) बताता है कि (5) शामिल नहीं है। (\(-\infty,5\)) का अर्थ (x<5) है। / The parenthesis at (5) shows that (5) is not included. (\(-\infty,5\)) means (x<5).
वर्ग कोष्ठक ([2) बताता है कि (2) शामिल है। दाईं ओर जाने का अर्थ \(x\ge 2\) है। / The square bracket at (2) shows that (2) is included. Moving right means \(x\ge 2\).
(7) संख्या (6) से बड़ी है इसलिए शामिल नहीं है। \(\le\) में केवल सीमा तक के मान आते हैं। / The number (7) is greater than (6), so it is not included. The sign \(\le\) includes values only up to the boundary.
\(3\le 3\) सत्य है क्योंकि बराबरी शामिल है। ऐसे प्रश्नों में हर विकल्प अलग से जाँचें। / The statement \(3\le 3\) is true because equality is included. Check each option separately in such questions.
\(r\le 9\) में (9) और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी समाधान होता है। / In \(r\le 9\), (9) and numbers smaller than (9) are included. With equality signs, the boundary value is also a solution.
से अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (15) है इसलिए \(w\le 15\)। वास्तविक जीवन में अधिकतम शब्द \(\le\) देता है। / Not exceed means at most (15), so \(w\le 15\). In real-life statements, maximum gives \(\le\).
से कम का अर्थ सख्त रूप से कम है इसलिए (p<100)। यदि बराबर भी शामिल हो तो \(\le\) लिखा जाता है। / Less than means strictly smaller, so (p<100). If equality is included, we use \(\le\).
कम नहीं का अर्थ कम से कम (18) है इसलिए \(a\ge 18\)। कम से कम हमेशा \(\ge\) से जुड़ा होता है। / Not less than means at least (18), so \(a\ge 18\). At least is always linked with \(\ge\).
\(2\le 2\) सत्य है क्योंकि बराबरी शामिल है। विकल्प में (x) की जगह दिया मान रखें। / \(2\le 2\) is true because equality is included. Put the given value in place of (x).
दोनों ओर (1) घटाने पर \(x\ge 5\) मिलता है। जोड़ घटाव में दिशा वही रहती है। / Subtracting (1) from both sides gives \(x\ge 5\). In addition or subtraction, the direction stays the same.
(5-x>2) से (-x>-3) और ऋणात्मक से भाग देने पर (x<3)। (-x) आने पर चिह्न पलटना याद रखें। / From (5-x>2), we get (-x>-3), and dividing by a negative gives (x<3). When (-x) appears, remember to reverse the sign.
पहले (2) घटाएँ फिर (4) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (2), then divide by (4), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
\(3-2x\le 9\) से \(-2x\le 6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\ge -3\)। ऋणात्मक भाग दिशा पलटता है। / From \(3-2x\le 9\), we get \(-2x\le 6\), and division by (-2) gives \(x\ge -3\). Negative division reverses the direction.
B. समाधान (-1) और उससे बाईं ओर हैं/Solutions are (-1) and to its left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा और उससे छोटी संख्याएँ शामिल होती हैं। संख्या रेखा पर छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। / The sign \(\le\) includes the boundary and smaller numbers. On the number line, smaller numbers are to the left.
(x>-4) में (-4) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए अंतराल (\(-4,\infty\)) है। / In (x>-4), (-4) is not included and values lie to the right. So the interval is (\(-4,\infty\)).
\(x\le 0\) में (0) शामिल है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर हैं। इसलिए (\(-\infty,0]\) सही है। / In \(x\le 0\), (0) is included and smaller numbers are to the left. So (\(-\infty,0]\) is correct.
C. (x) (2) या उससे बड़ा और (5) से छोटा है/(x) is (2) or more and less than (5)
Explanation
Simple Explanation
\(2\le x<5\) में (2) शामिल है पर (5) शामिल नहीं है। संयुक्त असमानता को दो भागों में पढ़ें। / In \(2\le x<5\), (2) is included but (5) is not. Read a compound inequality in two parts.
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (4) शामिल नहीं है। इसलिए मान (1,2,3) हैं। / Natural numbers are taken from (1), and (4) is not included. Therefore the values are (1,2,3).
(-2) शामिल नहीं है पर (2) शामिल है। पूर्णांक मान (-1,0,1,2) होंगे। / The value (-2) is not included, but (2) is included. The integer values are (-1,0,1,2).
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर दिशा वही रहती है। (k>0) होने की शर्त जरूरी है। / Multiplication by a positive number keeps the direction the same. The condition (k>0) is important.
दोनों ओर (7) घटाने पर (x>0) मिलता है। समान पद हटाकर सरल रूप बनाइए। / Subtracting (7) from both sides gives (x>0). Remove equal terms to get the simple form.
दोनों ओर (3) से गुणा करने पर \(x\le 6\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (3) gives \(x\le 6\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-4) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x<-4)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-4) reverses the sign, so (x<-4). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (2) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय चिह्न की दिशा अर्थ से जाँचें। / Dividing both sides by (2) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the sign direction.
(2x-1<7) से (2x<8) और (x<4) मिलता है इसलिए सीमा के पास (x=4) संतुष्ट नहीं करता बल्कि सही जाँच में \(2\cdot4-1=7\) है इसलिए यह सख्त नहीं है। सही विकल्प को जाँचते समय सख्त चिह्न का ध्यान रखें। / From (2x-1<7), we get (2x<8) and (x<4), so (x=4) does not satisfy the strict inequality. Check strict signs carefully while testing options.
संभव पूर्णांक (3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (4) मान हैं। \(\le\) में बायां सिरा शामिल है पर (<) में दायां सिरा शामिल नहीं है। / The possible integers are (3,4,5,6), so there are (4) values. The sign \(\le\) includes the left endpoint but (<) excludes the right endpoint.
\(7-3x\ge 1\) से \(-3x\ge -6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\le 2\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय चिह्न पलटता है। / From \(7-3x\ge 1\), we get \(-3x\ge -6\), and dividing by (-3) gives \(x\le 2\). The sign reverses when dividing by a negative number.
((1) बताता है कि (1) शामिल नहीं है और (6]) बताता है कि (6) शामिल है। इसलिए \(1<x\le 6\) सही है। / The symbol ((1) shows that (1) is not included and (6]) shows that (6) is included. Therefore \(1<x\le 6\) is correct.
कम से कम (25) का अर्थ \(n\ge 25\) और अधिकतम (40) का अर्थ \(n\le 40\) है। दोनों को मिलाकर \(25\le n\le 40\) मिलता है। / At least (25) means \(n\ge 25\), and at most (40) means \(n\le 40\). Combining both gives \(25\le n\le 40\).
पहले दोनों ओर (3) घटाएँ तो (6<3x) मिलता है और फिर (3) से भाग देने पर (x>2) आता है। असमानता को पलटकर लिखते समय दिशा का अर्थ जरूर जाँचें। / First subtract (3) from both sides to get (6<3x), then divide by (3) to get (x>2). When rewriting an inequality, always check the meaning of its direction.
A. (x) संख्या (8) से बड़ी है/(x) is greater than (8)
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) बताता है कि बाईं ओर का मान बड़ा है। परीक्षा में चिह्न की खुली तरफ बड़ी संख्या होती है। / The sign (>) means the value on the left is greater. In exams the open side of the sign faces the greater number.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(-3\le -3\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा अलग से जाँचें। / The sign \(\le\) includes equality, so \(-3\le -3\) is true. Always check the boundary value separately.
\(5x-2\ge 13\) में चर की घात (1) है इसलिए यह रैखिक असमानता है। \(x^2\) या (xy) वाला रूप रैखिक नहीं माना जाता। / In \(5x-2\ge 13\), the variable has power (1), so it is a linear inequality. Forms with \(x^2\) or (xy) are not linear.
(4) संख्या (5) से छोटी है इसलिए \(x\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करती। विकल्पों को सीधे असमानता में रखकर जाँचें। / The number (4) is less than (5), so it does not satisfy \(x\ge 5\). Check options by substituting them directly.
से कम है का अर्थ (<) होता है। भाषा वाले प्रश्नों में मुख्य शब्द को प्रतीक से जोड़ें। / Less than means (<). In word-based questions connect the key phrase with the correct symbol.
कम नहीं है का अर्थ कम से कम (9) है इसलिए \(z\ge 9\)। ऐसे वाक्यों में बराबरी शामिल होती है। / Not less than means at least (9), so \(z\ge 9\). Such sentences include equality.
समान संख्या जोड़ने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। दोनों पक्षों पर एक ही क्रिया करें। / Adding the same number does not change the direction of an inequality. Apply the same operation to both sides.
समान संख्या घटाने से चिह्न नहीं बदलता। घटाव में केवल मान बदलता है दिशा नहीं। / Subtracting the same number does not change the sign. In subtraction only the value changes, not the direction.
धनात्मक संख्या (6) से गुणा करने पर दिशा वही रहती है। केवल ऋणात्मक गुणा में चिह्न पलटता है। / Multiplication by the positive number (6) keeps the direction the same. The sign reverses only in negative multiplication.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। (-2) से गुणा करते समय दिशा बदलना जरूरी है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. While multiplying by (-2), changing the direction is necessary.
दोनों ओर (5) जोड़ने पर \(x\ge 6\) मिलता है। जोड़ में चिह्न की दिशा नहीं बदलती। / Adding (5) to both sides gives \(x\ge 6\). Addition does not change the direction of the sign.
दोनों ओर (3) से भाग देने पर (x<7) मिलता है। धनात्मक भाग में चिह्न वैसा ही रहता है। / Dividing both sides by (3) gives (x<7). Division by a positive number keeps the sign the same.
(-5) से भाग देने पर चिह्न पलटता है इसलिए \(x\le -3\)। ऋणात्मक गुणांक पर सावधानी रखें। / Dividing by (-5) reverses the sign, so \(x\le -3\). Be careful with negative coefficients.
(x=4) रखने पर \(2\cdot4+3=11\) और \(11\le 11\) सत्य है। बराबरी वाला चिह्न सीमा मान को स्वीकार करता है। / For (x=4), \(2\cdot4+3=11\), and \(11\le 11\) is true. A sign with equality accepts the boundary value.
(x=4) रखने पर \(4\cdot4-2=14\) और (14>10) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा मान नहीं चलता। / For (x=4), \(4\cdot4-2=14\), and (14>10) is true. A strict inequality does not include the boundary value.
B. (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/Closed circle at (-1) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा बनेगी। / The sign \(\ge\) includes the boundary, and greater numbers are to the right. So use a closed circle at (-1) and shade right.
वर्ग कोष्ठक (]) बताता है कि (9) शामिल है। (\(-\infty,9]\) का अर्थ \(x\le 9\) है। / The square bracket (]) shows that (9) is included. The interval (\(-\infty,9]\) means \(x\le 9\).
गोल कोष्ठक बताता है कि (4) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए (x>4) सही है। / The parenthesis shows that (4) is not included, and the values lie to the right. Therefore (x>4) is correct.
(6) संख्या (5) से बड़ी है इसलिए शामिल नहीं है। \(\le\) सीमा को शामिल करता है लेकिन उसके बाहर के मान नहीं। / The number (6) is greater than (5), so it is not included. The sign \(\le\) includes boundaries but not outside values.
\(r\le 0\) में (0) और उससे छोटी संख्याएँ शामिल हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी हल होता है। / In \(r\le 0\), (0) and smaller numbers are included. With an equality sign, the boundary value is also a solution.
कम से कम (33) का अर्थ (33) या उससे अधिक है। इसलिए सही रूप \(m\ge 33\) है। / At least (33) means (33) or more. Therefore the correct form is \(m\ge 33\).
अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (20) है इसलिए \(w\le 20\)। अधिकतम वाले शब्द में बराबरी शामिल होती है। / Not more than means at most (20), so \(w\le 20\). The word maximum includes equality.
से कम का अर्थ सख्त रूप से कम है इसलिए (p<250)। अगर बराबर शामिल हो तो \(\le\) लिखा जाता है। / Less than means strictly smaller, so (p<250). If equality is included, we write \(\le\).
कम नहीं का अर्थ कम से कम (16) है इसलिए \(a\ge 16\)। ऐसे वाक्यों में बराबरी को न छोड़ें। / Not less than means at least (16), so \(a\ge 16\). Do not miss equality in such sentences.
(7>4) सत्य है इसलिए (x>4) सही है। दिए गए मान को हर विकल्प में रखकर जाँचें। / (7>4) is true, so (x>4) is correct. Substitute the given value in each option.
दोनों ओर (2) घटाने पर \(x\ge 7\) मिलता है। जोड़ या घटाव से दिशा नहीं बदलती। / Subtracting (2) from both sides gives \(x\ge 7\). Addition or subtraction does not change the direction.
(8-x<3) से (-x<-5) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर (x>5)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटता है। / From (8-x<3), we get (-x<-5), and dividing by a negative gives (x>5). The sign reverses when removing (-x).
पहले (4) घटाएँ फिर (6) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (4), then divide by (6), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
\(10-2x\ge 4\) से \(-2x\ge -6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(10-2x\ge 4\), we get \(-2x\ge -6\), and division by (-2) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
B. समाधान (-2) से बाईं ओर हैं और (-2) शामिल नहीं है/Solutions are to the left of (-2) and (-2) is not included
Explanation
Simple Explanation
(x<-2) में (-2) शामिल नहीं है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। खुले बिंदु का उपयोग करें। / In (x<-2), (-2) is not included and smaller numbers lie to the left. Use an open circle.
\(x\ge 2\) में (2) शामिल है और मान दाईं ओर जाते हैं। इसलिए अंतराल \([2,\infty\)) है। / In \(x\ge 2\), (2) is included and values go to the right. Therefore the interval is \([2,\infty\)).
A. (x) (3) से बड़ा और (8) से छोटा या बराबर है/(x) is greater than (3) and less than or equal to (8)
Explanation
Simple Explanation
\(3<x\le 8\) में (3) शामिल नहीं है पर (8) शामिल है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(3<x\le 8\), (3) is not included but (8) is included. Read a compound inequality from both sides.
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (5) शामिल है। इसलिए \(x\in{1,2,3,4,5}\) सही है। / Natural numbers are taken from (1), and (5) is included. Therefore \(x\in{1,2,3,4,5}\) is correct.
अधिक होने का अर्थ (>) होता है और बराबरी शामिल नहीं होती। इसलिए (s>12) सही है। / More than means (>), and equality is not included. Therefore (s>12) is correct.
दोनों ओर (9) घटाने पर (x>0) मिलता है। समान पद हटाकर सरल रूप बनाइए। / Subtracting (9) from both sides gives (x>0). Remove equal terms to get the simple form.
दोनों ओर (4) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (4) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-3) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-6)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-3) reverses the sign, so (x>-6). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (4) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (4) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
कम से कम (20) का अर्थ \(n\ge 20\) और अधिकतम (45) का अर्थ \(n\le 45\) है। दोनों को मिलाकर \(20\le n\le 45\) मिलता है। / At least (20) means \(n\ge 20\), and at most (45) means \(n\le 45\). Combining both gives \(20\le n\le 45\).
पहले दोनों ओर (7) जोड़ें तो (5x<25) मिलता है फिर (5) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (7) to both sides to get (5x<25), then divide by (5). Division by a positive number does not change the sign.
पहले (2) से भाग देने पर \(x+3\ge 7\) और फिर \(x\ge 4\) मिलता है। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (2) to get \(x+3\ge 7\), then \(x\ge 4\). Keep the order correct in bracket questions.
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) मान हैं। सख्त चिह्न वाले किनारे को शामिल न करें। / The possible integers are (2,3,4,5,6), so there are (5) values. Do not include the endpoint with a strict sign.
\(x^2-4<0\) में चर की घात (2) है इसलिए यह रैखिक नहीं है। रैखिक रूप में चर की घात (1) होती है। / In \(x^2-4<0\), the variable has power (2), so it is not linear. In a linear form, the variable has power (1).
([-4) बताता है कि (-4) शामिल है और (2)) बताता है कि (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-4\le x<2\) सही है। / The symbol ([-4) shows that (-4) is included and (2)) shows that (2) is not included. Therefore \(-4\le x<2\) is correct.
कम से कम (18) का अर्थ (18) या उससे अधिक है इसलिए \(2x\ge 18\)। शब्द कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least (18) means (18) or more, so \(2x\ge 18\). Connect the phrase at least with \(\ge\).
दोनों ओर (5) से गुणा करने पर (x>-5) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (5) gives (x>-5). Positive multiplication does not change the inequality direction.
\(4-x\le 0\) से \(-x\le -4\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 4\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(4-x\le 0\), we get \(-x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 4\). Reverse the sign when removing (-x).
ऋणात्मक संख्या (-3) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-3x\ge -6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-3) reverses the inequality sign. Therefore \(-3x\ge -6\) is correct.
\(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(0\ge 0\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा ध्यान से जाँचें। / The sign \(\ge\) includes equality, so \(0\ge 0\) is true. Always check the boundary value carefully.
कम से कम (50) का अर्थ (50) या उससे अधिक है। इसलिए सही असमानता \(m\ge 50\) है। / At least (50) means (50) or more. Therefore the correct inequality is \(m\ge 50\).
अधिक नहीं है का अर्थ अधिकतम (75) है। अधिकतम वाले वाक्य में बराबरी शामिल होती है। / Not more than means at most (75). A maximum-type sentence includes equality.
समान संख्या घटाने से चिह्न नहीं बदलता। घटाव में दिशा वही रहती है। / Subtracting the same number does not change the sign. In subtraction the direction remains the same.
धनात्मक संख्या (3) से गुणा करने पर चिह्न नहीं पलटता। ऋणात्मक गुणा में ही दिशा बदलती है। / Multiplying by the positive number (3) does not reverse the sign. The direction changes only in negative multiplication.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है। इसलिए (-4q<-8) सही है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. Therefore (-4q<-8) is correct.
दोनों ओर (9) घटाने पर \(x\le 6\) मिलता है। जोड़ या घटाव से चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting (9) from both sides gives \(x\le 6\). Addition or subtraction does not change the sign.
दोनों ओर (8) जोड़ने पर (x>10) मिलता है। घटे हुए पद को हटाने के लिए वही संख्या जोड़ें। / Adding (8) to both sides gives (x>10). Add the same number to remove the subtracted term.
दोनों ओर (4) से भाग देने पर \(x\ge 5\) मिलता है। धनात्मक भाग में दिशा नहीं बदलती। / Dividing both sides by (4) gives \(x\ge 5\). Division by a positive number does not change the direction.
(x=3) रखने पर \(3\cdot3+2=11\) और (11<14) सत्य है। विकल्प को मूल असमानता में रखकर जाँचें। / For (x=3), \(3\cdot3+2=11\), and (11<14) is true. Check an option by substituting it in the original inequality.
(x=5) रखने पर \(5\cdot5-1=24\) और \(24\ge 24\) सत्य है। \(\ge\) में सीमा मान शामिल होता है। / For (x=5), \(5\cdot5-1=24\), and \(24\ge 24\) is true. The sign \(\ge\) includes the boundary value.
A. (2) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open circle at (2) and line to the right
Explanation
Simple Explanation
(x>2) में (2) शामिल नहीं है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा बनेगी। / In (x>2), (2) is not included and greater numbers lie to the right. So use an open circle and shade right.
B. (-4) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/Closed circle at (-4) and left side
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। इसलिए (-4) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा होगी। / The sign \(\le\) includes the boundary, and smaller numbers lie to the left. So use a closed circle at (-4) and shade left.
वर्ग कोष्ठक (]) बताता है कि (3) शामिल है। इसलिए (\(-\infty,3]\) का अर्थ \(x\le 3\) है। / The square bracket (]) shows that (3) is included. Therefore (\(-\infty,3]\) means \(x\le 3\).
वर्ग कोष्ठक बताता है कि (-1) शामिल है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए \(x\ge -1\) सही है। / The square bracket shows that (-1) is included and values lie to the right. Therefore \(x\ge -1\) is correct.
(0) संख्या (-1) और (4) के बीच है। इस असमानता में (-1) शामिल है पर (4) शामिल नहीं है। / The number (0) lies between (-1) and (4). This inequality includes (-1) but excludes (4).
\(r\ge -2\) में (-2) और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी हल होता है। / In \(r\ge -2\), (-2) and greater numbers are included. With an equality sign, the boundary value is also a solution.
(45) या अधिक का अर्थ \(s\ge 45\) है। या अधिक वाले वाक्य में बराबरी शामिल होती है। / (45) or more means \(s\ge 45\). A phrase with or more includes equality.
अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (12) है इसलिए \(w\le 12\)। अधिकतम सीमा में बराबरी शामिल होती है। / Not more than means at most (12), so \(w\le 12\). A maximum limit includes equality.
से कम का अर्थ सख्त रूप से कम है इसलिए (p<30)। बराबरी शामिल हो तो \(\le\) लिखा जाता है। / Less than means strictly smaller, so (p<30). If equality is included, we write \(\le\).
\(-1\le -1\) सत्य है क्योंकि बराबरी शामिल है। दिए गए मान को हर विकल्प में रखकर जाँचें। / \(-1\le -1\) is true because equality is included. Substitute the given value in each option.
दोनों ओर (4) घटाने पर \(x\ge 9\) मिलता है। जोड़ या घटाव से दिशा नहीं बदलती। / Subtracting (4) from both sides gives \(x\ge 9\). Addition or subtraction does not change the direction.
(9-x<4) से (-x<-5) और ऋणात्मक से भाग देने पर (x>5)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटता है। / From (9-x<4), we get (-x<-5), and dividing by a negative gives (x>5). The sign reverses when removing (-x).
पहले (5) घटाएँ फिर (2) से भाग दें तो \(x\le 6\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (5), then divide by (2), giving \(x\le 6\). Keep the order correct in two-step questions.
\(15-3x\ge 6\) से \(-3x\ge -9\) और (-3) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(15-3x\ge 6\), we get \(-3x\ge -9\), and division by (-3) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
B. समाधान (-3) से दाईं ओर हैं और (-3) शामिल नहीं है/Solutions are to the right of (-3) and (-3) is not included
Explanation
Simple Explanation
(x>-3) में (-3) शामिल नहीं होता और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। संख्या रेखा पर खुला बिंदु लगाएँ। / In (x>-3), (-3) is not included and greater numbers lie to the right. Use an open circle on the number line.
\(x\le 4\) में (4) शामिल है और मान बाईं ओर जाते हैं। इसलिए (\(-\infty,4]\) सही है। / In \(x\le 4\), (4) is included and values go to the left. Therefore (\(-\infty,4]\) is correct.
(x>6) में (6) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए (\(6,\infty\)) सही है। / In (x>6), (6) is not included and values lie to the right. So (\(6,\infty\)) is correct.
A. (x) (0) या उससे बड़ा और (10) से छोटा है/(x) is (0) or more and less than (10)
Explanation
Simple Explanation
\(0\le x<10\) में (0) शामिल है पर (10) शामिल नहीं है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(0\le x<10\), (0) is included but (10) is not included. Read a compound inequality from both sides.
(-4) शामिल नहीं है पर (1) शामिल है। पूर्णांक मान (-3,-2,-1,0,1) होंगे। / The value (-4) is not included but (1) is included. The integer values are (-3,-2,-1,0,1).
से कम या बराबर का प्रतीक \(\le\) होता है। इसलिए \(u\le 25\) सही है। / The symbol for less than or equal to is \(\le\). Therefore \(u\le 25\) is correct.
दोनों ओर समान संख्या जोड़ने से दिशा नहीं बदलती। इसलिए (a+5>b+5) हमेशा सही है। / Adding the same number to both sides does not change the direction. Therefore (a+5>b+5) is always true.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा वही रहती है। (k>0) की शर्त जरूरी है। / Multiplication by a positive number keeps the inequality direction the same. The condition (k>0) is necessary.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता उलट जाती है। इसलिए (ak<bk) सही है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality. Therefore (ak<bk) is correct.
दोनों ओर (11) घटाने पर (x>0) मिलता है। समान पद हटाकर सरल रूप बनाइए। / Subtracting (11) from both sides gives (x>0). Remove equal terms to get the simple form.
दोनों ओर (6) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (6) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-5) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x<-15)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-5) reverses the sign, so (x<-15). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (6) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (6) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
कम से कम (12) का अर्थ \(g\ge 12\) और अधिकतम (28) का अर्थ \(g\le 28\) है। दोनों को मिलाकर \(12\le g\le 28\) मिलता है। / At least (12) means \(g\ge 12\), and at most (28) means \(g\le 28\). Combining both gives \(12\le g\le 28\).
पहले दोनों ओर (5) जोड़ें तो \(6x\ge 24\) मिलता है फिर (6) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (5) to both sides to get \(6x\ge 24\), then divide by (6). Division by a positive number does not change the sign.
पहले (3) से भाग देने पर (x-2<5) मिलता है और फिर (x<7)। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (3) to get (x-2<5), then (x<7). Keep the order correct in bracket questions.
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6,7) हैं इसलिए कुल (6) मान हैं। \(\le\) सीमा को शामिल करता है पर (<) सीमा को नहीं। / The possible integers are (2,3,4,5,6,7), so there are (6) values. The sign \(\le\) includes the endpoint but (<) does not.
((-3) बताता है कि (-3) शामिल नहीं है और (5]) बताता है कि (5) शामिल है। इसलिए \(-3<x\le 5\) सही है। / The symbol ((-3) shows that (-3) is not included and (5]) shows that (5) is included. Therefore \(-3<x\le 5\) is correct.
संख्या में (4) जोड़ने का रूप (x+4) है और अधिक है का चिह्न (>) है। इसलिए (x+4>10) सही है। / Adding (4) to a number is written as (x+4), and greater than uses (>). Therefore (x+4>10) is correct.
दोनों ओर (7) से गुणा करने पर (x>14) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (7) gives (x>14). Positive multiplication does not change the inequality direction.
\(7-x\ge 2\) से \(-x\ge -5\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\le 5\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(7-x\ge 2\), we get \(-x\ge -5\), and dividing by a negative gives \(x\le 5\). Reverse the sign when removing (-x).
ऋणात्मक संख्या (-2) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-2x\le 6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-2) reverses the inequality sign. Therefore \(-2x\le 6\) is correct.
पहले (2) से भाग देने पर \(3-x\le 4\) मिलता है और फिर \(-x\le 1\) से \(x\ge -1\) आता है। ऋणात्मक चर हटाते समय चिह्न पलटना याद रखें। / First divide by (2) to get \(3-x\le 4\), then \(-x\le 1\) gives \(x\ge -1\). Remember to reverse the sign when removing a negative variable.
