Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. (14) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (14) and shading left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में (14) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। शामिल सीमा के लिए भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (14) and smaller numbers are on the left. Use a closed circle for an included boundary.
भरा वृत्त (16) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge 16\) सही है। / The closed circle includes (16) and the right side contains greater numbers. Therefore \(x\ge 16\) is correct.
वर्ग कोष्ठक बताता है कि (9) शामिल है और \(-\infty\) की ओर छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए \(x\le 9\) होगा। / The square bracket shows that (9) is included and values extend toward \(-\infty\). Hence it is \(x\le 9\).
A. (-12) और (-5) पर खाली वृत्त और बीच में छायांकन/Open circles at (-12) and (-5) with shading between
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर कठोर असमता है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। बीच का छायांकित भाग समाधान है। / Both sides have strict inequalities so both endpoints are excluded. The shaded region between them is the solution.
खाली वृत्त (-13) को बाहर रखता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए अंतराल (\(-13,\infty\)) है। / The open circle excludes (-13) and the right side has greater numbers. Hence the interval is (\(-13,\infty\)).
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता। इसलिए (1) पर खाली वृत्त बनेगा। / The endpoint with a parenthesis is not included. Therefore an open circle is drawn at (1).
चिह्न (>) बड़ी संख्याओं को चुनता है। संख्या रेखा पर बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। / The sign (>) selects greater numbers. On the number line, greater numbers lie to the right.
\(x\ge -18\) में (-18) शामिल है और उससे बड़ी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए \([-18,\infty\)) सही है। / In \(x\ge -18\), (-18) and all greater numbers are included. Hence \([-18,\infty\)) is correct.
दोनों सीमाएँ बराबरी सहित हैं इसलिए दोनों शामिल होंगी। इसलिए अंतराल ([3,11]) होगा। / Both endpoints are included because equality appears on both sides. Therefore the interval is ([3,11]).
एक भरा बिंदु केवल उसी मान को समाधान में शामिल दिखाता है। इसलिए समाधान (x=-4) है। / One closed point shows that only that value is included in the solution. Hence the solution is (x=-4).
B. (-16) पर खाली वृत्त और बाईं ओर किरण/Open circle at (-16) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,-16\)) में (-16) शामिल नहीं है और छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए खाली वृत्त और बाईं किरण बनेगी। / In (\(-\infty,-16\)), (-16) is not included and smaller numbers are taken. So an open circle and left ray are drawn.
B. (-9) बंद और (-2) खुला/(-9) closed and (-2) open
Explanation
Simple Explanation
(-9) के साथ वर्ग कोष्ठक है इसलिए वह शामिल है और (-2) के साथ गोल कोष्ठक है इसलिए वह शामिल नहीं है। यही सिरों को तय करता है। / (-9) has a square bracket so it is included and (-2) has a parenthesis so it is excluded. This decides the endpoints.
B. पूरी रेखा छायांकित और (7) पर खाली वृत्त/Whole line shaded with an open circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 7\) में (7) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। छोड़े गए मान पर खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 7\), all real numbers except (7) are included. The excluded value is shown by an open circle.
केवल (4) शामिल है इसलिए (-6) खुला और (4) बंद होगा। सही अंतराल ((-6,4]) है। / Only (4) is included so (-6) is open and (4) is closed. The correct interval is ((-6,4]).
\([-\frac{3}{2},2\)) में \(-\frac{3}{2}\) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-\frac{3}{2}\) सही सदस्य है। / In \([-\frac{3}{2},2\)), \(-\frac{3}{2}\) is included but (2) is not. Therefore \(-\frac{3}{2}\) is a correct member.
पहला भाग (5) सहित बाईं ओर है और दूसरा भाग (5) के बाद दाईं ओर है। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा देते हैं। / The first part is the left side including (5), and the second part is the right side after (5). Together they give the whole number line.
दो अलग हिस्सों को \(\cup\) से जोड़ा जाता है। दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं इसलिए गोल कोष्ठक लगेंगे। / Two separate parts are joined by \(\cup\). Both endpoints are excluded so parentheses are used.
(10>x) का अर्थ है (x), (10) से छोटा है। चर को बाईं ओर रखकर (x<10) लिखते हैं। / (10>x) means (x) is less than (10). Placing the variable on the left gives (x<10).
कोई छायांकन नहीं होने का अर्थ है कोई भी संख्या समाधान में नहीं है। इसलिए यह रिक्त समुच्चय दर्शाता है। / No shading means no number is in the solution. Therefore it represents the empty set.
कोई संख्या (8) से बड़ी और (8) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / No number can be greater than (8) and less than (8) at the same time. Hence it is the empty set.
पूरी संख्या रेखा सभी वास्तविक संख्याओं को दिखाती है। इसका संकेत \(x\in \mathbb{R}\) है। / The whole number line shows all real numbers. Its notation is \(x\in \mathbb{R}\).
\(x<-\frac{9}{4}\) में सीमा शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। इसलिए (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) सही है। / In \(x<-\frac{9}{4}\), the boundary is excluded and smaller numbers are included. Hence (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) is correct.
(-1) बराबरी सहित है लेकिन (13) कठोर सीमा है। इसलिए (13) शामिल नहीं होगा। / (-1) is included with equality but (13) is a strict boundary. Therefore (13) is not included.
\(x\ge 4\) में (4) शामिल है और दाईं ओर की संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए \([4,\infty\)) सही है। / In \(x\ge 4\), (4) is included and numbers to the right are taken. Hence \([4,\infty\)) is correct.
कठोर (>) में \(\frac{7}{3}\) शामिल नहीं होता। इसलिए सीमा पर खाली वृत्त बनेगा। / The strict sign (>) does not include \(\frac{7}{3}\). Therefore an open circle is drawn at the boundary.
B. \(\frac{2}{3}\) बंद और \(\frac{8}{3}\) खुला होगा/\(\frac{2}{3}\) closed and \(\frac{8}{3}\) open
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{2}{3}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \(\frac{8}{3}\) को बाहर रखता है। इसलिए पहला सिरा बंद और दूसरा खुला होगा। / The square bracket includes \(\frac{2}{3}\), and the parenthesis excludes \(\frac{8}{3}\). So the first endpoint is closed and the second is open.
(x>-10) में (-10) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-9) ही (-10) से बड़ा है। / In (x>-10), numbers greater than (-10) are included. Among the options, only (-9) is greater than (-10).
दोनों बंद सिरे बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। इसलिए दोनों ओर बराबरी सहित असमता होगी। / Both closed endpoints show that both boundaries are included. So inclusive inequalities are used on both sides.
A. (-22) पर भरा वृत्त और बाईं ओर तीर/Closed circle at (-22) and arrow left
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -22\) में (-22) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए भरा वृत्त बाईं ओर तीर के साथ होगा। / In \(x\le -22\), (-22) is included and smaller numbers are taken. So a closed circle with a left arrow is used.
B. \(x\le -6\) या \(x\ge 10\)/\(x\le -6\) or \(x\ge 10\)
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग \(x\le -6\) और दूसरा भाग \(x\ge 10\) देता है। \(\cup\) दोनों भागों का मिलन दिखाता है। / The first part gives \(x\le -6\) and the second gives \(x\ge 10\). The symbol \(\cup\) shows the union of both parts.
खाली वृत्त (1) को बाहर रखता है और भरा वृत्त (8) को शामिल करता है। इसलिए ((1,8]) सही है। / The open circle excludes (1), and the closed circle includes (8). Therefore ((1,8]) is correct.
दोनों भाग (6) को शामिल नहीं करते। इसलिए (6) पर खाली वृत्त और दोनों ओर छायांकन होगा। / Both parts exclude (6). So (6) has an open circle and both sides are shaded.
A. सिर्फ (-14) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (-14)
Explanation
Simple Explanation
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-14) पर भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore a closed point is drawn at (-14).
\(\le\) सीमा \(\frac{5}{6}\) को शामिल करता है और बाईं ओर की संख्याएँ लेता है। इसलिए (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) सही है। / \(\le\) includes the boundary \(\frac{5}{6}\) and takes numbers to the left. Therefore (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) is correct.
\(x\ge -3\) में (-3) समाधान का भाग है। शामिल सीमा पर भरा वृत्त बनाया जाता है। / In \(x\ge -3\), (-3) is part of the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
(-9) शामिल नहीं है इसलिए उसके बाद पहला पूर्णांक (-8) होगा। खुले सिरे को सदस्य न मानें। / (-9) is not included, so the first integer after it is (-8). Do not count an open endpoint as a member.
(12) शामिल नहीं है इसलिए उससे पहले का सबसे बड़ा पूर्णांक (11) होगा। खुले दाएँ सिरे को उत्तर न मानें। / (12) is not included, so the greatest integer before it is (11). Do not take the open right endpoint as the answer.
B. (x=-4) समाधान में नहीं है/(x=-4) is not in the solution
Explanation
Simple Explanation
खुला वृत्त सीमा को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए (x=-4) शामिल नहीं है। / An open circle keeps the boundary out of the solution. Therefore (x=-4) is not included.
A. पहले में दोनों सिरे खुले और दूसरे में दोनों सिरे बंद/The first has both endpoints open and the second has both endpoints closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक सीमाओं को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक सीमाओं को शामिल करता है। यही संख्या रेखा पर सिरों का अंतर बनाता है। / Parentheses exclude endpoints and square brackets include endpoints. This creates the endpoint difference on the number line.
खाली वृत्त (-20) को हटाता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए (x<-20) सही है। / The open circle removes (-20), and smaller numbers are on the left. Hence (x<-20) is correct.
(\(-\infty,\infty\)) सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए पूरी संख्या रेखा छायांकित होगी। / (\(-\infty,\infty\)) represents all real numbers. Therefore the entire number line is shaded.
दोनों ओर गोल कोष्ठक हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। अतः (-15<x<-7) सही है। / Both sides have parentheses so both endpoints are excluded. Thus (-15<x<-7) is correct.
बाहर की छायांकन दो अलग भाग दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-4\)\cup\(11,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate parts and open circles exclude the boundaries. Hence (\(-\infty,-4\)\cup\(11,\infty\)) is correct.
B. \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु/One closed point at \(\frac{4}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at \(\frac{4}{5}\).
भरा वृत्त \(-\frac{5}{2}\) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -\frac{5}{2}\) सही है। / The closed circle includes \(-\frac{5}{2}\), and greater numbers lie to the right. Therefore \(x\ge -\frac{5}{2}\) is correct.
A. समाधान में शामिल है/It is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक (7) को समाधान में शामिल करता है। इसलिए (7) पर भरा वृत्त बनेगा। / The square bracket includes (7) in the solution. Therefore a closed circle is drawn at (7).
खाली वृत्त (0) को बाहर रखता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए अंतराल (\(-\infty,0\)) होगा। / The open circle excludes (0), and smaller numbers lie to the left. Hence the interval is (\(-\infty,0\)).
बंद सिरा (2) को शामिल करता है और खुला सिरा (9) को बाहर रखता है। इसलिए सही असमता \(2\le x<9\) है। / The closed endpoint includes (2), and the open endpoint excludes (9). Therefore the correct inequality is \(2\le x<9\).
