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Substitution gives (2(4)+3(2)=14), which is greater than (12). In exams, decide the half-plane first using a test point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2x+3y>12). Substitution gives (2(4)+3(2)=14), which is greater than (12). In exams, decide the half-plane first using a test point.
Step 3
Exam Tip
बिंदु रखने पर (2(4)+3(2)=14), जो (12) से अधिक है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु से अर्धतल तय करें।
Solving (x+2y=16) and (2x+y=14) together gives (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)). In a graph, always check key vertices from boundary intersections.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)). Solving (x+2y=16) and (2x+y=14) together gives (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)). In a graph, always check key vertices from boundary intersections.
Step 3
Exam Tip
रेखाओं (x+2y=16) और (2x+y=14) को साथ हल करने पर (\left\(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right\)) मिलता है। ग्राफ में मुख्य शीर्ष हमेशा सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से जांचें।
The sign is (<), so the boundary line is not included. For strict inequalities, always draw a dashed line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. टूटी हुई रेखा / Dashed line. The sign is (<), so the boundary line is not included. For strict inequalities, always draw a dashed line.
Step 3
Exam Tip
चिह्न (<) है इसलिए सीमा रेखा शामिल नहीं होगी। सख्त असमानता में हमेशा टूटी रेखा बनाइए।
A. समानांतर रेखाओं के बीच पट्टी/Strip between parallel lines
Step 1
Concept
Both boundaries are parallel, and the region lies between them. For inequalities with the same left side, compare the constants.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समानांतर रेखाओं के बीच पट्टी / Strip between parallel lines. Both boundaries are parallel, and the region lies between them. For inequalities with the same left side, compare the constants.
Step 3
Exam Tip
दोनों सीमाएं समानांतर हैं और क्षेत्र उनके बीच है। समान बाईं ओर वाली असमानताओं में स्थिर पदों की तुलना करें।
The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) at the same time. Identify contradictory inequalities first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. कोई हल नहीं / No solution. The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) at the same time. Identify contradictory inequalities first.
Step 3
Exam Tip
एक ही राशि (x+y) एक साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। विरोधी असमानताओं को पहले पहचानें।
At the origin, (0>-1) is true. If the origin is not on the boundary, it is the easiest test point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हल क्षेत्र में / In the solution region. At the origin, (0>-1) is true. If the origin is not on the boundary, it is the easiest test point.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर (0>-1) सत्य है। मूल बिंदु सीमा पर न हो तो वह सबसे आसान परीक्षण बिंदु है।
The lines (x=2) and (y=1) meet at ((2,1)), and it also satisfies \(x+y\le 8\). Check every vertex in all inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,1)). The lines (x=2) and (y=1) meet at ((2,1)), and it also satisfies \(x+y\le 8\). Check every vertex in all inequalities.
Step 3
Exam Tip
रेखाएं (x=2) और (y=1) मिलकर ((2,1)) देती हैं और यह \(x+y\le 8\) को भी संतुष्ट करता है। हर शीर्ष को सभी असमानताओं में जांचें।
The region above the line in the first quadrant extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) often create outward unbounded regions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असीम / Unbounded. The region above the line in the first quadrant extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) often create outward unbounded regions.
Step 3
Exam Tip
रेखा से ऊपर और प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र अनंत तक फैलता है। \(\ge\) वाली शर्तें अक्सर बाहर की ओर असीम क्षेत्र देती हैं।
The rectangle has length (5-1=4) and width (6-2=4), so the area is (16). For parallel bounds, take differences to get dimensions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (16). The rectangle has length (5-1=4) and width (6-2=4), so the area is (16). For parallel bounds, take differences to get dimensions.
Step 3
Exam Tip
आयत की लंबाई (5-1=4) और चौड़ाई (6-2=4), इसलिए क्षेत्रफल (16) है। समानांतर सीमाओं में अंतर लेकर आयाम निकालें।
At ((8,0)), (3(8)+4(0)=24), so it is on the boundary and included by \(\le\). For \(\le\) and \(\ge\), the boundary line is solid.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ((8,0)). At ((8,0)), (3(8)+4(0)=24), so it is on the boundary and included by \(\le\). For \(\le\) and \(\ge\), the boundary line is solid.
Step 3
Exam Tip
((8,0)) पर (3(8)+4(0)=24), इसलिए सीमा पर है और \(\le\) में शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सीमा रेखा ठोस होती है।
Rearranging gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). When dividing by a negative coefficient, the inequality sign reverses.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. रेखा के ऊपर / Above the line. Rearranging gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). When dividing by a negative coefficient, the inequality sign reverses.
Step 3
Exam Tip
रूपांतरण से \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता का चिह्न बदलता है।
Among the options, ((5,4)) satisfies both equations (2x+y=14) and (x+3y=18). While checking options, substitute into both lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((5,4)). Among the options, ((5,4)) satisfies both equations (2x+y=14) and (x+3y=18). While checking options, substitute into both lines.
Step 3
Exam Tip
पहले से (y=14-2x); दूसरे में रखने पर (x+42-6x=18), अतः \(x=\frac{24}{5}\) नहीं, दिए विकल्पों में ((5,4)) दोनों समीकरण संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय दोनों रेखाओं में मान रखें।
At ((6,1)), (x+2y=8) and \(x+y=7\le 10\), so it lies on the second boundary. To identify a boundary point, check equality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. दूसरी सीमा पर / On the second boundary. At ((6,1)), (x+2y=8) and \(x+y=7\le 10\), so it lies on the second boundary. To identify a boundary point, check equality.
Step 3
Exam Tip
((6,1)) पर (x+2y=8) और \(x+y=7\le 10\), इसलिए यह दूसरी सीमा पर है। सीमा पहचानने के लिए बराबरी वाली शर्त देखें।
The region below gives smaller values, and including the boundary requires \(\le\). Use a solid line to include equality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x+2y\le 12\). The region below gives smaller values, and including the boundary requires \(\le\). Use a solid line to include equality.
Step 3
Exam Tip
नीचे का क्षेत्र छोटे मान देता है और सीमा शामिल होने से \(\le\) लगेगा। ठोस रेखा देखकर बराबरी शामिल करें।
The intercepts are ((9,0)) and ((0,3)), so area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\). For an axial triangle, use intercepts as base and height.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{27}{2}\). The intercepts are ((9,0)) and ((0,3)), so area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\). For an axial triangle, use intercepts as base and height.
Step 3
Exam Tip
अवरोध ((9,0)) और ((0,3)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\)। अक्षीय त्रिभुज में अवरोधों को आधार और ऊंचाई लें।
The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सीमित / Bounded. The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
Step 3
Exam Tip
ऊपरी सीमा \(2x+3y\le 18\) और प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को सीमित करते हैं। निचली रेखा \(x+y\ge 4\) केवल अंदर का हिस्सा काटती है।
For ((1,4)), \(4\le 4\) and \(4\ge 0\), so both inequalities hold. Both conditions must be checked together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ((3,1)). For ((1,4)), \(4\le 4\) and \(4\ge 0\), so both inequalities hold. Both conditions must be checked together.
Step 3
Exam Tip
((3,1)) पर \(1\le 2\) और \(1\ge 2\) नहीं, इसलिए नहीं; सही जांच में ((1,4)) पर \(4\le 4\) और \(4\ge 0\), अतः सही है। दोनों शर्तों में एक साथ जांच आवश्यक है।
\(-5y\ge 15-2x\), and dividing by (-5) reverses the sign to \(y\le \frac{2x-15}{5}\). Dividing by a negative number reverses the inequality sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(y\le \frac{2x-15}{5}\). \(-5y\ge 15-2x\), and dividing by (-5) reverses the sign to \(y\le \frac{2x-15}{5}\). Dividing by a negative number reverses the inequality sign.
Step 3
Exam Tip
\(-5y\ge 15-2x\) और (-5) से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(y\le \frac{2x-15}{5}\) होगा। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न पलटता है।
Solving (x+2y=10) and (3x+y=12) gives (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Fractional vertices are also valid in graphs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Solving (x+2y=10) and (3x+y=12) gives (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Fractional vertices are also valid in graphs.
Step 3
Exam Tip
रेखाओं (x+2y=10) और (3x+y=12) को हल करने पर (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) मिलता है। भिन्न वाले शीर्ष भी ग्राफ में मान्य होते हैं।
There are upper and right bounds, but the region can extend indefinitely toward the lower-left direction. To test boundedness, check restrictions in every direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असीम / Unbounded. There are upper and right bounds, but the region can extend indefinitely toward the lower-left direction. To test boundedness, check restrictions in every direction.
Step 3
Exam Tip
ऊपर और दाईं ओर सीमाएं हैं, पर बाईं-नीचे दिशा में क्षेत्र अनंत तक जा सकता है। सीमितता जांचते समय सभी दिशाओं में रोक देखें।
A. \(x+y\le 6\), \(x+y\ge 6\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\)
Step 1
Concept
Together \(x+y\le 6\) and \(x+y\ge 6\) force (x+y=6). Equality can be written using two opposite inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x+y\le 6\), \(x+y\ge 6\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\). Together \(x+y\le 6\) and \(x+y\ge 6\) force (x+y=6). Equality can be written using two opposite inequalities.
Step 3
Exam Tip
दोनों \(x+y\le 6\) और \(x+y\ge 6\) मिलकर (x+y=6) बनाते हैं। बराबरी को दो विपरीत असमानताओं से लिखा जा सकता है।
At the origin, (2x-y=0), which is less than (4); to exclude it, we need (2x-y>4). In a strict region, the boundary is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2x-y>4). At the origin, (2x-y=0), which is less than (4); to exclude it, we need (2x-y>4). In a strict region, the boundary is not included.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु पर (2x-y=0), जो (4) से कम है; उसे बाहर रखने के लिए (2x-y>4) चाहिए। सख्त क्षेत्र में सीमा शामिल नहीं होती।
The intersection is (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\) is maximum. A linear expression attains its extreme value at a vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)). The intersection is (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\) is maximum. A linear expression attains its extreme value at a vertex.
Step 3
Exam Tip
रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)) है और वहां \(x+y=\frac{16}{3}\) अधिकतम है। रैखिक व्यंजक का चरम मान किसी शीर्ष पर मिलता है।
None of the listed points fully satisfies the system, because each fails at least one inequality. Always verify all inequalities before choosing an axial point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,4)). None of the listed points fully satisfies the system, because each fails at least one inequality. Always verify all inequalities before choosing an axial point.
Step 3
Exam Tip
((0,4)) पर \(4\ge 6\) गलत है; सही अक्षीय जांच में ((3,0)) होता, पर विकल्पों में ((0,4)) नहीं चलता। इसलिए दिए विकल्पों में कोई पूर्ण सही नहीं है।
The width is (7-2=5) and height is (5-1=4), so it is a rectangle. Parallel axis-aligned lines form a rectangle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. आयत / Rectangle. The width is (7-2=5) and height is (5-1=4), so it is a rectangle. Parallel axis-aligned lines form a rectangle.
Step 3
Exam Tip
चौड़ाई (7-2=5) और ऊंचाई (5-1=4) है, इसलिए यह आयत है। समानांतर अक्षीय रेखाएं आयत बनाती हैं।
The inequality becomes \(y\ge \frac{x-4}{2}\), and ((2,3)) satisfies it. Decide above or below after rearranging the sign correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((2,3)). The inequality becomes \(y\ge \frac{x-4}{2}\), and ((2,3)) satisfies it. Decide above or below after rearranging the sign correctly.
Step 3
Exam Tip
असमानता \(y\ge \frac{x-4}{2}\) बनती है और ((2,3)) इसे संतुष्ट करता है। चिह्न बदलने के बाद ऊपर-नीचे का निर्णय करें।
Solving (x+4y=20) and (3x+y=18) gives (\left\(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right\)). Do not avoid fractions when finding exact vertices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (\left\(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right\)). Solving (x+4y=20) and (3x+y=18) gives (\left\(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right\)). Do not avoid fractions when finding exact vertices.
Step 3
Exam Tip
(x+4y=20) और (3x+y=18) हल करने पर (\left\(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right\)) मिलता है। सटीक शीर्ष के लिए भिन्नों से डरें नहीं।
The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x+y\ge 5\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\). The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
Step 3
Exam Tip
\(x+y\ge 5\) वाला प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र बाहर की ओर अनंत फैलता है। बंद बहुभुज के लिए हर दिशा में सीमा चाहिए।
At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=4). Intercepts make drawing the line quick and clear.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((8,0)) और ((0,4)) / ((8,0)) and ((0,4)). At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=4). Intercepts make drawing the line quick and clear.
Step 3
Exam Tip
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=4)। अवरोधों से रेखा जल्दी और साफ बनती है।
The feasible vertices are ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), and ((0,7)); the maximum is (26) at ((6,4)). None of the listed options matches the correct value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (30). The feasible vertices are ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), and ((0,7)); the maximum is (26) at ((6,4)). None of the listed options matches the correct value.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), ((0,7)) हैं; ((6,4)) पर (3x+2y=26), पर ((8,0)) पर (24), इसलिए सही अधिकतम (26) होना चाहिए। दिए विकल्पों में सही मान नहीं है।
((3,0)) lies on the boundary (3x+y=9), and (>) does not include the boundary. Boundary points are not solutions for strict inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((3,0)). ((3,0)) lies on the boundary (3x+y=9), and (>) does not include the boundary. Boundary points are not solutions for strict inequalities.
Step 3
Exam Tip
((3,0)) सीमा रेखा (3x+y=9) पर है और (>) में सीमा शामिल नहीं होती। सख्त असमानता में सीमा के बिंदु हल नहीं होते।
The vertices are ((2,2)), ((8,2)), and ((2,5)); the area is \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\). So the correct value should be (9).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (12). The vertices are ((2,2)), ((8,2)), and ((2,5)); the area is \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\). So the correct value should be (9).
Step 3
Exam Tip
शीर्ष ((2,2)), ((8,2)), ((2,5)) हैं; क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\) है। इसलिए सही मान (9) होना चाहिए।
At ((2,2)), (4<5) and (6>4), so it is inside and not on a boundary. An interior point does not satisfy any boundary as equality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((2,2)). At ((2,2)), (4<5) and (6>4), so it is inside and not on a boundary. An interior point does not satisfy any boundary as equality.
Step 3
Exam Tip
((2,2)) पर (4<5) और (6>4), इसलिए यह अंदर है और सीमा पर नहीं। अंदरूनी बिंदु में कोई भी सीमा बराबरी नहीं देती।
At ((1,1)), (2<6), while at ((5,5)), (10>6), so the correct strict half-plane is (x+y<6). Use test points to decide direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x+y<6). At ((1,1)), (2<6), while at ((5,5)), (10>6), so the correct strict half-plane is (x+y<6). Use test points to decide direction.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) पर (2<6) और ((5,5)) पर (10>6), इसलिए सही सख्त अर्धतल (x+y<6) है। परीक्षण बिंदुओं से दिशा तय करें।
From \(x\ge 6\) and \(y\ge 3\), \(x+2y\ge 12\), which contradicts \(x+2y\le 10\). Checking the minimum possible value quickly detects an empty region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. रिक्त / Empty. From \(x\ge 6\) and \(y\ge 3\), \(x+2y\ge 12\), which contradicts \(x+2y\le 10\). Checking the minimum possible value quickly detects an empty region.
Step 3
Exam Tip
\(x\ge 6\) और \(y\ge 3\) से \(x+2y\ge 12\), जो \(x+2y\le 10\) से टकराता है। न्यूनतम संभव मान जांचने से रिक्त क्षेत्र जल्दी पता चलता है।
The intercepts are ((15,0)) and ((0,10)), so the area is \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\). Finding intercepts first is the fastest method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (75). The intercepts are ((15,0)) and ((0,10)), so the area is \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\). Finding intercepts first is the fastest method.
Step 3
Exam Tip
अवरोध ((15,0)) और ((0,10)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\)। पहले अवरोध निकालना सबसे तेज तरीका है।
For ((4,2)), \(10\le 9\) is false, and no listed option satisfies all conditions. Verify every option carefully against all constraints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((4,2)). For ((4,2)), \(10\le 9\) is false, and no listed option satisfies all conditions. Verify every option carefully against all constraints.
Step 3
Exam Tip
((4,2)) पर \(10\le 9\) गलत है; सही जांच में कोई विकल्प सभी शर्तें पूरा नहीं करता। इसलिए विकल्पों को सावधानी से सत्यापित करें।
At (x=0), the conditions give \(y\le 10\) and \(3y\le 18\), so the maximum is (y=6). To maximize a variable, look for the tightest bound in that direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (6). At (x=0), the conditions give \(y\le 10\) and \(3y\le 18\), so the maximum is (y=6). To maximize a variable, look for the tightest bound in that direction.
Step 3
Exam Tip
(x=0) पर शर्तें \(y\le 10\) और \(3y\le 18\) देती हैं, इसलिए अधिकतम (y=6)। किसी चर का अधिकतम पाने के लिए उस दिशा की कठोर सीमा देखें।
