Class 12 restricted domain MCQ Questions

Question 31/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) किस अंतराल पर एकैकी है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), on which interval is (f) one-one?

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Correct Answer

A. \([0,\pi]\)

Step 1

Concept

\(\cos x\) आवर्ती होने के कारण पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / Since \(\cos x\) is periodic, it is not one-one on all \(\mathbb{R}\).

Step 2

Why this answer is correct

\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.

Step 3

Exam Tip

लगातार बढ़ता या घटता फलन चुने गए अंतराल पर एकैकी होता है। / A strictly increasing or decreasing function is one-one on the chosen interval.

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Question 32/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) किस अंतराल पर एकैकी है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), on which interval is (f) one-one?

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Correct Answer

A. \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

Step 1

Concept

\(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें। / For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one.

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Question 33/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[a,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (a) की कौन सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?

If \(f:[a,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2), which condition on (a) is necessary and sufficient for (f) to be one-one?

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Correct Answer

A. \(a\ge0\)

Step 1

Concept

\(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / \(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। / If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए। / For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex.

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Question 34/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x^-2) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?

If (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) and (f(x)=x^-2), what is the nature of (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकOne-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The given domain contains only zero and negative numbers.

Step 2

Why this answer is correct

इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। / On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.

Step 3

Exam Tip

\(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है। / Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one.

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Question 35/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x^-2+1}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x^-2+1}), what is the correct statement about (f)?

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Correct Answer

B. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).

Step 2

Why this answer is correct

(x) बढ़ने पर \(x^2+1\) और फिर \(\sqrt{x^2+1}\) भी बढ़ता है। / As (x) increases, \(x^2+1\) and then \(\sqrt{x^2+1}\) increase.

Step 3

Exam Tip

सही प्रांत पर वर्गमूल वाला यह फलन एक-एक हो जाता है। / On the correct domain this square-root function becomes one-one.

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Question 36/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(-\infty,2]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

If (f:\(-\infty,2]\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x-2|), what is the correct conclusion about (f)?

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Correct Answer

D. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में \(x\le2\) है। / In the given domain \(x\le2\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (|x-2|=2-x), जो घटने वाला रैखिक फलन है। / Therefore (|x-2|=2-x), which is a decreasing linear function.

Step 3

Exam Tip

घटने वाला रैखिक फलन भी एक-एक होता है। / A decreasing linear function is also one-one.

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Question 37/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?

If \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x-2|), what is the correct statement about (f)?

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Correct Answer

B. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में \(x\ge2\) है। / In the given domain \(x\ge2\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (|x-2|=x-2), जो बढ़ने वाला रैखिक फलन है। / Therefore (|x-2|=x-2), which is an increasing linear function.

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान को एक ओर सीमित करने से फलन एक-एक बन सकता है। / Restricting an absolute value function to one side can make it one-one.

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Question 38/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-4+x^-2) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-4+x^-2), what is the nature of (f)?

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Correct Answer

A. एक-एकOne-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).

Step 2

Why this answer is correct

(x) बढ़ने पर \(x^2\) और \(x^4\) दोनों बढ़ते हैं। / As (x) increases, both \(x^2\) and \(x^4\) increase.

Step 3

Exam Tip

इसलिए अलग-अलग आगत अलग-अलग मान देंगे और फलन एक-एक होगा। / Therefore different inputs give different outputs and the function is one-one.

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Question 39/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\left[0,\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो सही कथन चुनिए।

If \(f:\left[0,\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), choose the correct statement.

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Correct Answer

D. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\tan x\) नहीं मिलेगा। / Therefore two different (x)-values cannot have the same tangent value.

Step 3

Exam Tip

\(\tan x\) को सही सीमित अंतराल पर लेने से एक-एकता मिलती है। / Taking \(\tan x\) on a suitable restricted interval gives injectivity.

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Question 40/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln\(x^2+1\)) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\ln\(x^2+1\)), what is the correct conclusion about (f)?

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Correct Answer

A. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).

Step 2

Why this answer is correct

(x) बढ़ने पर \(x^2+1\) बढ़ता है और (\ln\(x^2+1\)) भी बढ़ता है। / As (x) increases, \(x^2+1\) increases and (\ln\(x^2+1\)) also increases.

Step 3

Exam Tip

प्रांत को सही तरह सीमित करने से वही नियम एक-एक बन सकता है। / A suitable domain restriction can make the same rule one-one.

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Question 41/96 Expert Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the correct conclusion about (f)?

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Correct Answer

B. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

समान मान मानकर जांच करें। / Check by assuming equal images.

Step 2

Why this answer is correct

\(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\) से (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0) मिलता है। / From \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\), we get (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0).

Step 3

Exam Tip

\(x_1,x_2\ge1\) होने पर दूसरा गुणक शून्य हो तो भी \(x_1=x_2=1\), इसलिए अंत में \(x_1=x_2\) ही मिलता है। / Since \(x_1,x_2\ge1\), the second factor can be zero only when both are (1), so finally \(x_1=x_2\).

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Question 42/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2-4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?

If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2-4x+5), what is the correct statement about (f)?

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Correct Answer

A. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

(x^-2-4x+5=(x-2)²+1) है। / (x^-2-4x+5=(x-2)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

प्रांत \(x\ge2\) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। / The domain \(x\ge2\) is to the right of the vertex where the function increases.

Step 3

Exam Tip

शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one.

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Question 43/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(x_1\neq x_2\) होने पर \(\tan x_1\neq \tan x_2\) होगा। / So if \(x_1\neq x_2\), then \(\tan x_1\neq \tan x_2\).

Step 3

Exam Tip

\(\tan x\) को उसके मुख्य अंतराल पर लेने से वह एक-एक बनता है। / Taking \(\tan x\) on its principal interval makes it one-one.

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Question 44/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-2-2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-2x), what is the correct statement about (f)?

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Correct Answer

A. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

(x^-2-2x=(x-1)²-1) का शिखर (x=1) पर है। / The vertex of (x^-2-2x=(x-1)²-1) is at (x=1).

Step 2

Why this answer is correct

\(x\le1\) पर यह फलन एक दिशा में घटता है, इसलिए एक ही मान दो बार नहीं आता। / On \(x\le1\), the function moves in one direction, so no value repeats.

Step 3

Exam Tip

शिखर के एक ही ओर लिया गया द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of its vertex is one-one.

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Question 45/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2-2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2-2x), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

(x^-2-2x=(x-1)²-1) है। / (x^-2-2x=(x-1)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए प्रांत \(x\ge1\) पर यह फलन बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / On the domain \(x\ge1\), this function increases, so different inputs give different values.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन को शिखर के एक ओर सीमित करने पर वह एक-एक हो सकता है। / A quadratic can become one-one when restricted to one side of its vertex.

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Question 46/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\sin x\) is strictly increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\sin x\) नहीं मिलता। / So two different (x)-values do not give the same sine value.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में प्रांत सीमित करना बहुत महत्वपूर्ण होता है। / Restricting the domain is very important for trigonometric functions.

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Question 47/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2), choose the correct statement for (f).

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Correct Answer

A. (f) एक-एक है(f) is one-one

Step 1

Concept

यहां प्रांत में केवल (0) और धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। / The domain contains only (0) and positive real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(x_1^2=x_2^2\) और \(x_1,x_2\ge 0\), तो \(x_1=x_2\) होगा। / If \(x_1^2=x_2^2\) and \(x_1,x_2\ge 0\), then \(x_1=x_2\).

Step 3

Exam Tip

प्रांत बदलने से एक ही नियम वाला फलन एक-एक बन सकता है। / Changing the domain can make the same rule one-one.

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Question 48/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-3+3x), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-3+3x), what is the one-one status of (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

\(x\ge 0\) पर \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ते हैं। / For \(x\ge 0\), both \(x^3\) and (3x) increase.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a>b\ge 0\), तो \(a^3>b^3\) और (3a>3b), इसलिए (f(a)>f(b))। / If \(a>b\ge 0\), then \(a^3>b^3\) and (3a>3b), so (f(a)>f(b)).

Step 3

Exam Tip

सख्ती से बढ़ने वाला फलन हमेशा एकैकी होता है। / A strictly increasing function is always one-one.

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Question 49/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x^-2+1}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x^-2+1}), what is correct about (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

यहाँ \(x\ge 0\) है। / Here \(x\ge 0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x\ge 0\) पर \(x^2+1\) बढ़ता है और वर्गमूल भी बढ़ता है। / On \(x\ge 0\), \(x^2+1\) increases and the square root also increases.

Step 3

Exam Tip

अऋणात्मक क्षेत्र पर यह फलन अलग आगतों को अलग निर्गत देता है। / On the non-negative domain, this function gives different outputs for different inputs.

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Question 50/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|) के बारे में सही कथन क्या है?

What is the correct statement about \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

\(x\ge 2\) होने पर (|x-2|=x-2)। / When \(x\ge 2\), (|x-2|=x-2).

Step 2

Why this answer is correct

(x-2) रैखिक रूप में बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। / The expression (x-2) increases linearly, so different inputs give different outputs.

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान फलन को एक ओर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है। / Restricting an absolute value function to one side can make it one-one.

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Question 51/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-4x+7), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-4x+7), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

(f(x)=(x-2)²+3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-2)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

\(x\ge 2\) पर ((x-2)²) बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देंगे। / For \(x\ge 2\), ((x-2)²) increases, so different inputs give different outputs.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन को आधे क्षेत्र पर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है। / Restricting a quadratic function to one side of its vertex can make it one-one.

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Question 52/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|+3) के लिए सही कथन क्या है?

What is the correct statement for \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|+3)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

क्षेत्र \(x\geq2\) है, इसलिए (|x-2|=x-2)। / The domain is \(x\geq2\), so (|x-2|=x-2).

Step 2

Why this answer is correct

फलन (f(x)=x+1) बन जाता है, जो एकैकी है। / The function becomes (f(x)=x+1), which is one-one.

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान हटाने से पहले क्षेत्र का चिन्ह समझें। / Before removing absolute value, understand the sign from the domain.

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Question 53/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) के लिए सही उत्तर क्या है?

What is the correct answer for \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इस अंतराल में समान \(\sin\) मान समान कोण से ही मिलता है। / In this interval, the same \(\sin\) value comes only from the same angle.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलन को सही अंतराल पर सीमित करना एकैकीता देता है। / Restricting a trigonometric function to a proper interval gives one-one nature.

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Question 54/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

फलन \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x) के बारे में सही कथन क्या है?

What is the correct statement about \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.

Step 2

Why this answer is correct

घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है क्योंकि दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। / A decreasing function is also one-one because two different inputs do not give the same image.

Step 3

Exam Tip

एकैकीता के लिए बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है। / For one-one nature, increasing is not necessary; strictly decreasing is also enough.

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Question 55/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-4+x^-2), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-4+x^-2), which statement is correct for (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x\geq 0\) पर \(x^4\) और \(x^2\) दोनों बढ़ते हैं। / For \(x\geq 0\), both \(x^4\) and \(x^2\) increase.

Step 2

Why this answer is correct

उनका योग भी बढ़ता है, इसलिए अलग गैर-ऋणात्मक आगत अलग छवि देंगे। / Their sum also increases, so different non-negative inputs give different images.

Step 3

Exam Tip

सम घात वाला फलन आधे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी हो सकता है। / A function with even powers can be one-one on half of the real domain.

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Question 56/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}), तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।

If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}), choose the correct option for (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x\geq 1\) पर जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। / For \(x\geq 1\), as (x) increases, \(x+\frac{1}{x}\) also increases.

Step 2

Why this answer is correct

इस क्षेत्र में (x) और \(\frac{1}{x}\) वाले दो अलग मान समान छवि नहीं बनाते। / In this domain, two different values do not form the same image through (x) and \(\frac{1}{x}\).

Step 3

Exam Tip

वही सूत्र अलग क्षेत्र पर एकैकी बन सकता है। / The same formula can become one-one on a restricted domain.

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Question 57/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-2x+4), तो (f) कैसा है?

If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-2x+4), what is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(x)=(x-1)²+3) है। / (f(x)=(x-1)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

क्षेत्र \(x\leq 1\) पर केंद्र (1) के बाएँ भाग में वर्ग फलन एक दिशा में चलता है। / On the domain \(x\leq 1\), the left side of the parabola moves in one direction.

Step 3

Exam Tip

परवलय के केवल एक भाग को लेने पर एकैकीता मिल सकती है। / Taking only one side of a parabola can make the function one-one.

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Question 58/96 Hard Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

फलन \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-2x+4) के लिए सही कथन क्या है?

What is the correct statement for \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-2x+4)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(x)=(x-1)²+3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-1)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

क्षेत्र \([1,\infty\)) पर ((x-1)²) बढ़ता है, इसलिए समान छवि समान आगत से ही मिलेगी। / On \([1,\infty\)), ((x-1)²) increases, so equal images occur only for equal inputs.

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन में क्षेत्र का एक तरफ सीमित होना ध्यान से देखें। / For a quadratic function, carefully check whether the domain is restricted to one side.

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Question 59/96 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=(x-2)²) है, तो (f) के बारे में सही कथन है।

If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=(x-2)²), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

इस डोमेन में \(x-2\geq 0\) रहता है। / In this domain, \(x-2\geq 0\).

Step 2

Why this answer is correct

यदि ((a-2)²=(b-2)²) और \(a,b\geq 2\), तो (a-2=b-2), इसलिए (a=b)। / If ((a-2)²=(b-2)²) and \(a,b\geq 2\), then (a-2=b-2), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

वर्गीय फलन को शिखर से एक ओर सीमित कर दें तो वह एकैकी हो सकता है। / A quadratic can be one-one when restricted to one side of its vertex.

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Question 60/96 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।

If \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), choose the correct conclusion about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

अंतराल \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On the interval \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.

Step 2

Why this answer is correct

घटते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / A strictly decreasing function gives different values for different inputs.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में डोमेन सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting the domain of a trigonometric function can make it one-one.

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restricted domain MCQ Questions for Class 12

Practice Questions

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) किस अंतराल पर एकैकी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) किस अंतराल पर एकैकी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[a,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (a) की कौन सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x-2) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2+1}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f:\(-\infty,2]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-4+x-2) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\left[0,\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln\(x^2+1\)) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2-4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2-2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2-2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3+3x), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x-2+1}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

यदि \(f:[a,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (a) की कौन सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?

यदि (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x^-2) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?

यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x^-2+1}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-4+x^-2) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2-4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?

यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-2-2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2-2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-3+3x), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x^-2+1}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-4x+7), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-4+x^-2), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?

यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-2x+4), तो (f) कैसा है?

फलन \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-2x+4) के लिए सही कथन क्या है?

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=(x-2)²) है, तो (f) के बारे में सही कथन है।