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विकल्प A के प्रथम अंतर \(3,5,7,9\) हैं और द्वितीय अंतर हमेशा \(2\) है। स्थिर द्वितीय अंतर द्विघात नियम का संकेत है। B में प्रथम अंतर स्थिर है, इसलिए वह रैखिक है। परीक्षा में अंतर-सारणी बनाकर पहचानें। / In option A, the first differences are \(3,5,7,9\), so the second difference is constantly \(2\). A constant second difference indicates a quadratic rule. Option B has constant first differences and is linear. Exam tip: make a difference table to classify a sequence.
दिए गए पदों के प्रथम अंतर \(7,11,15\) हैं और द्वितीय अंतर \(4\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=2n^2+n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,10,21,36\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A में पहला पद \(3\) तो मिलता है, पर दूसरा पद \(8\) आता है, \(10\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The first differences are \(7,11,15\), and the second difference is constant at \(4\), so the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+n\) gives \(3,10,21,36\), respectively. Option A gives the first term as \(3\), but its second term is \(8\), not \(10\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
पाँच अंतरों में परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः \(a_n=21-3n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence \(a_n=21-3n\). From two given terms first find the common difference.
पाँचवाँ पद पाने के लिए नियम में \(n=5\) रखें: \(a_5=(2\times5-1)^2+2=9^2+2=81+2=83\)। इसलिए सही विकल्प 83 है। 81 केवल \(9^2\) का मान है; उसमें नियम के अनुसार 2 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान प्रतिस्थापित करें, फिर कोष्ठक, घात और जोड़ के क्रम में गणना करें। / To find the fifth term, substitute \(n=5\) in the rule: \(a_5=(2\times5-1)^2+2=9^2+2=81+2=83\). Therefore, 83 is the correct option. The value 81 is only \(9^2\); the additional 2 in the rule must also be included. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify brackets, powers, and addition in order.
विकल्प D में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(10,21,34,49\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^2+8n+1\) है। विकल्प A से पहला पद 10 मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 20 मिलता है, 21 नहीं। परीक्षा टिप: यदि क्रम के प्रथम अंतर समान नहीं हैं, तो द्वितीय अंतर देखकर द्विघात रूप \(an^2+bn+c\) की जाँच करें। / For option D, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(10,21,34,49\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=n^2+8n+1\). Option A gives the first term as 10, but for \(n=2\) it gives 20, not 21. Exam tip: When first differences are not constant, use the second differences to test a quadratic form \(an^2+bn+c\).
पाँच अंतरों में वृद्धि (25) है इसलिए (d=5), अतः (a_{12}=42+3(5)=57)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over five gaps is (25), so (d=5), hence (a_{12}=42+3(5)=57). Extend the terms using the common difference.
(16+4d+2=34) से (4d=16) और (d=4)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (16+4d+2=34), (4d=16) and (d=4). Substitute the given term in the rule to find the unknown constant.
\(3n^2+4n\) से (7,20,39,64) नहीं आता; सही नियम \(4n^2+3\) है। विकल्पों को पहले चार पदों से मिलाना चाहिए। / \(3n^2+4n\) does not give the sequence; the correct rule is \(4n^2+3\). Options should be matched with the first four terms.
परिमाण (5n) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}5n)। पहले पद का चिह्न देखकर ((-1)) की शक्ति चुनें। / The magnitude is (5n) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}5n). Choose the power of ((-1)) by checking the first term sign.
\(a_7=71\) और \(a_2=16\), इसलिए अंतर (55) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_7=71\) and \(a_2=16\), so the difference is (55). Calculate both terms separately before subtracting.
अंश (2n) और हर (3n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{2n}{3n+2}\)। हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (2n) and the denominator is (3n+2), so \(a_n=\frac{2n}{3n+2}\). Observe the denominator growth carefully.
अंश \(n^2+4\) और हर \(n^2+1\) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+4}{n^2+1}\)। भिन्न अनुक्रम में अंश और हर के वर्ग पैटर्न अलग पहचानें। / The numerator is \(n^2+4\) and the denominator is \(n^2+1\), so \(a_n=\frac{n^2+4}{n^2+1}\). In a fractional sequence identify square patterns separately.
दिया है कि \(a_n=3n^2-2n+5\)। \(n=1\) रखने पर \(a_1=3(1)^2-2(1)+5=6\), \(n=2\) पर \(a_2=3(2)^2-2(2)+5=13\), और \(n=3\) पर \(a_3=3(3)^2-2(3)+5=26\) मिलता है। इसलिए पहले तीन पद \((6, 13, 26)\) हैं। विकल्प D में दूसरा पद 14 दिया है, जबकि सही गणना से 13 आता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग और गुणा पहले करें। / Given \(a_n=3n^2-2n+5\), substitute \(n=1\), \(2\), and \(3\): \(a_1=3(1)^2-2(1)+5=6\), \(a_2=3(2)^2-2(2)+5=13\), and \(a_3=3(3)^2-2(3)+5=26\). Thus, the first three terms are \((6, 13, 26)\). Option D has 14 as the second term, but correct substitution gives 13. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately, applying the square and multiplication first.
सामान्य पद \(a_n=68-8n\) है और (68-8n=-4) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=68-8n\), and (68-8n=-4) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
दिया है कि \(a_n=5n^2+2\)। इसलिए \(a_4=5(4)^2+2=5\times16+2=82\) तथा \(a_1=5(1)^2+2=7\)। अतः \(a_4+a_1=82+7=89\)। विकल्प 87 तब मिल सकता है जब \(a_4\) की गणना में \(4^2\) को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पदों का योग निकालने से पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखिए। / Given \(a_n=5n^2+2\), \(a_4=5(4)^2+2=5\times16+2=82\) and \(a_1=5(1)^2+2=7\). Therefore, \(a_4+a_1=82+7=89\). Option 87 can result from evaluating \(4^2\) incorrectly while finding \(a_4\). Exam tip: substitute the value of \(n\) separately for each term before adding them.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-4) है इसलिए समान अंतर (-4) है। गुणांक पढ़ते समय चिह्न न छोड़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-4), so the common difference is (-4). Do not miss the sign while reading the coefficient.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(9,20,33,48\) प्राप्त होते हैं। अतः सही नियम \(a_n=n^2+8n\) है। विकल्प B का पहला पद 9 है, लेकिन \(n=2\) पर यह 19 देता है, 20 नहीं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखें। / In option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(9,20,33,48\), respectively. Therefore, the correct rule is \(a_n=n^2+8n\). Option B gives the first term as 9, but for \(n=2\) it gives 19, not 20. Exam tip: Test a proposed rule by substituting values of \(n\) for at least the first three terms.
यह \(5^3,6^3,7^3,8^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+4)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या का क्रम देखें। / This is \(5^3,6^3,7^3,8^3,\ldots\), so (a_n=(n+4)3). In cube sequences observe the order of base numbers.
(a_3=\frac{3(3)+2}{2(3)-1}=\frac{11}{5})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_3=\frac{3(3)+2}{2(3)-1}=\frac{11}{5}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
\(n^2-n+3\) से (3,5,9,15) नहीं बल्कि विकल्प जांच जरूरी है; सही नियम \(n^2-2n+4\) होगा। इस प्रकार के प्रश्न में दिए विकल्पों की संगति जांचें। / Option checking is necessary because \(n^2-n+3\) does not give the sequence; the correct rule would be \(n^2-2n+4\). This type tests consistency of options.
दिया है: n² + 4n = 77। अतः n² + 4n − 77 = 0, यानी (n − 7)(n + 11) = 0। इससे n = 7 या n = −11 मिलता है। अनुक्रम में पद संख्या n धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए n = 7 सही है। n = −11 बीजीय हल है, लेकिन पद संख्या नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में समीकरण हल करने के बाद n के स्वीकार्य मान की जाँच अवश्य करें। / Given n² + 4n = 77, we get n² + 4n − 77 = 0, or (n − 7)(n + 11) = 0. Thus, n = 7 or n = −11. Since a sequence index must be a positive integer, n = 7 is valid. Although −11 is an algebraic root, it cannot represent a term position. Exam tip: after solving, always check whether the value is an allowed sequence index.
पाँच अंतरों में कुल परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n)। पहले समान अंतर निकालें। / The total change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n). Find the common difference first.
सामान्य पद \(a_n=7n+5\) है इसलिए \(a_{30}=215\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=7n+5\), so \(a_{30}=215\). Use the same general rule even for a large term.
दिया है: \(a_n=3^n+2n\)। \(n=1\) पर \(a_1=3^1+2(1)=5\), \(n=2\) पर \(a_2=3^2+2(2)=13\), और \(n=3\) पर \(a_3=3^3+2(3)=33\) मिलता है। अतः पहले तीन पद \((5, 13, 33)\) हैं। विकल्प C में दूसरा पद गलत है; \(3^2+4=13\), 14 नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए घातांक वाले भाग \(3^n\) और रैखिक भाग \(2n\), दोनों की गणना करके जोड़ें। / Given \(a_n=3^n+2n\): for \(n=1\), \(a_1=3^1+2(1)=5\); for \(n=2\), \(a_2=3^2+2(2)=13\); and for \(n=3\), \(a_3=3^3+2(3)=33\). Therefore, the first three terms are \((5, 13, 33)\). Option C has an incorrect second term because \(3^2+4=13\), not 14. Exam tip: evaluate and add both parts, \(3^n\) and \(2n\), for every value of \(n\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर नियम \(a_n=n^2+2\) से क्रमशः \(3,6,11,18\) प्राप्त होते हैं। इसके क्रमागत अंतर \(3,5,7\) हैं, जो विषम संख्याएँ हैं; इसलिए यह वर्ग-आधारित अनुक्रम है। विकल्प \(a_n=n^2+1\) में पहला पद \(2\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब दूसरे अंतर स्थिर हों या अंतर क्रमिक विषम संख्याएँ हों, तो \(n^2\) वाले नियम की जाँच करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+2\) gives \(3,6,11,18\), respectively. The successive differences are \(3,5,7\), which are odd numbers, indicating a square-based sequence. In contrast, \(a_n=n^2+1\) gives the first term as \(2\), so it is not correct. Exam tip: when second differences are constant or first differences are consecutive odd numbers, test a rule involving \(n^2\).
अनुक्रम के पद \(9,25,49,81\) क्रमशः \(3^2,5^2,7^2,9^2\) हैं। ये क्रमिक विषम संख्याओं \(2n+1\) के वर्ग हैं; \(n=1\) रखने पर \((2\times1+1)^2=9\) मिलता है। इसलिए सामान्य पद \(a_n=(2n+1)^2\) है। विकल्प B में पहला पद \(1\) आता है, इसलिए वह इस अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए हमेशा \(n=1\) और \(n=2\) रखकर शुरुआती पद मिलाएँ। / The terms \(9,25,49,81\) are \(3^2,5^2,7^2,9^2\), respectively. They are squares of consecutive odd numbers, represented by \(2n+1\). For \(n=1\), \((2\times1+1)^2=9\). Hence, the general term is \(a_n=(2n+1)^2\). Option B gives \(1\) as its first term, so it does not represent this sequence. Exam tip: verify a general term by substituting \(n=1\) and \(n=2\).
दिया है \(a_n=3n^2+4\)। अतः \(a_2=3(2)^2+4=16\) और \(a_5=3(5)^2+4=79\)। इसलिए \(a_2+a_5=16+79=95\)। \(93\) जैसे विकल्प में सामान्यतः किसी पद के वर्ग या जोड़ में गलती होती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=3n^2+4\), \(a_2=3(2)^2+4=16\) and \(a_5=3(5)^2+4=79\). Therefore, \(a_2+a_5=16+79=95\). A value such as \(93\) usually results from an error while squaring or adding a term. Exam tip: evaluate each required term separately before adding them.
\(\frac{2n}{n+3}=\frac{4}{5}\) से (10n=4n+12) और (n=2) मिलता है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। भिन्न समीकरण में क्रॉस गुणा करें। / From \(\frac{2n}{n+3}=\frac{4}{5}\), (10n=4n+12) and (n=2), so none of the given options is correct. Use cross multiplication in a fractional equation.
सही नियम \(a_n=n^2+4n+1\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(6,13,22,33\) प्राप्त होते हैं। इस अनुक्रम के प्रथम अंतर \(7,9,11\) हैं और द्वितीय अंतर स्थिर \(2\) है, इसलिए इसका नियम द्विघात रूप का होना चाहिए। विकल्प B में दूसरा पद \(14\) आता है, जबकि दिया गया दूसरा पद \(13\) है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद के नियम को जाँचने के लिए पहले दो या तीन पदों में \(n=1,2,3\) रखकर सत्यापित करें। / The correct rule is \(a_n=n^2+4n+1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(6,13,22,33\), respectively. The first differences are \(7,9,11\), so the constant second difference is \(2\), indicating a quadratic rule. In option B, the second term is \(14\), not the given \(13\). Exam tip: verify a general-term rule by substituting \(n=1,2,3\) and checking the first few terms.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\) हैं इसलिए (a_n=n(n+1))। लगातार दो प्राकृतिक संख्याओं का गुणन पहचानें। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\), so (a_n=n(n+1)). Identify the product of two consecutive natural numbers.
