Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए नियम में \(n=2\) रखने पर \(a_2=6(2)^2-4(2)+3=24-8+3=19\) मिलता है। इसी प्रकार \(n=3\) रखने पर \(a_3=6(3)^2-4(3)+3=54-12+3=45\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_2\) और विकल्प C में \(a_3\) का मान गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर गणना करें। / Substituting \(n=2\) into the rule gives \(a_2=6(2)^2-4(2)+3=24-8+3=19\). Similarly, for \(n=3\), \(a_3=6(3)^2-4(3)+3=54-12+3=45\). Hence, option A is correct. Option B has an incorrect value of \(a_2\), while option C has an incorrect value of \(a_3\). Exam tip: substitute each value of \(n\) separately and simplify carefully.
इसका नियम \(a_n=12n-7\) है और (12n-7=149) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=12n-7\), and (12n-7=149) gives (n=13). In exams, equate the given term to the general term.
पहले पाँच पद (5,17,29,41,53) हैं और औसत (29) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (5,17,29,41,53), and the average is (29). In exams, divide the sum by the number of terms.
\(4^n-n^2\) से (3,12,55,240) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से वर्ग घटाने वाले नियम भी जाँचें। / \(4^n-n^2\) gives (3,12,55,240). In exams, also check rules where a square is subtracted from a power.
यहाँ n=3 रखने पर a_3=43-32=64-9=55 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 55 है। 53 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब घात या वर्ग की गणना में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान सूत्र के प्रत्येक स्थान पर रखें, फिर घात और वर्ग निकालें। / Substitute n=3: a_3=43-32=64-9=55. Therefore, 55 is the correct option. An answer such as 53 may result from an error in evaluating the power or the square. Exam tip: substitute the value of n in every part of the rule before calculating powers and squares.
(\frac{n(2n+3)}{2}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी छोटे (n) से जाँचें। / (\frac{n(2n+3)}{2}) gives the given terms. In exams, test fractional terms using small (n).
दिया है \(a_n=\frac{n(2n+3)}{2}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{6(2\times6+3)}{2}=\frac{6\times15}{2}=45\)। इसलिए सही उत्तर 45 है। 42 जैसे उत्तर \(2n+3\) का मान गलत निकालने या गुणा-भाग में त्रुटि से आ सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक और गणना को क्रम से हल करें। / Given \(a_n=\frac{n(2n+3)}{2}\). Substituting \(n=6\), \(a_6=\frac{6(2\times6+3)}{2}=\frac{6\times15}{2}=45\). Hence, 45 is correct. An answer such as 42 may result from evaluating \(2n+3\) incorrectly or making an error in multiplication or division. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify the bracket and calculate step by step.
(n=1) पर (84) और (n=2) पर (78) मिलता है, इसलिए \(a_n=90-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (84), and at (n=2) it gives (78), so \(a_n=90-6n\). In exams, check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_3=72\) और \(a_{10}=30\), इसलिए योग (102) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_3=72\) and \(a_{10}=30\), so the sum is (102). In exams, find both terms carefully in a decreasing formula.
\(a_n=n^3+n^2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,12,36,80\) प्राप्त होते हैं। अतः यही अनुक्रम का सामान्य पद है। \(4n^2-2n\) से पहले दो पद 2 और 12 मिलते हैं, लेकिन \(n=3\) पर 30 मिलता है, 36 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / For \(a_n=n^3+n^2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,12,36,80\), respectively. Hence, this is the general term of the sequence. The close distractor \(4n^2-2n\) gives 2 and 12 initially, but for \(n=3\) it gives 30, not 36. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
\(a_5=150\) और \(a_3=36\), इसलिए सरल अनुपात (25:6) है। परीक्षा में अनुपात को सरल जरूर करें। / \(a_5=150\) and \(a_3=36\), so the simplified ratio is (25:6). In exams, always simplify the ratio.
\(3n^2+n-2\) से (2,12,26,44) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(3n^2+n-2\) gives (2,12,26,44). In exams, choose a quadratic rule by checking second differences.
दिया गया नियम है a_n=3n-2+n-2। अतः a_1=3(1)2+1-2=2, a_2=3(2)2+2-2=12 तथा a_3=3(3)2+3-2=28। इसलिए पहले तीन पदों का योग 2+12+28=42 है। 40 वाला विकल्प गलत है क्योंकि तीसरा पद 26 नहीं, 28 होता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए n का मान अलग-अलग रखकर पहले पद ज्ञात करें, फिर उनका योग लें। / Using a_n=3n-2+n-2: a_1=3(1)2+1-2=2, a_2=3(2)2+2-2=12, and a_3=3(3)2+3-2=28. Therefore, the sum of the first three terms is 2+12+28=42. Option 40 is incorrect because the third term is 28, not 26. Exam tip: substitute each value of n separately before adding the terms.
\(5\cdot2^{n-1}-3\) से (2,7,17,37) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर घटाव भी जाँचें। / \(5\cdot2^{n-1}-3\) gives (2,7,17,37). In exams, also check constant subtraction in geometric forms.
\(n=6\) रखने पर \(a_6=5\cdot2^{6-1}-3=5\cdot2^5-3=5\cdot32-3=157\)। इसलिए सही उत्तर 157 है। \(153\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, जो अंतिम \(-3\) को जोड़ने या गलत गणना करने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घातांक \(n-1\) में रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Substituting \(n=6\), \(a_6=5\cdot2^{6-1}-3=5\cdot2^5-3=5\cdot32-3=157\). Hence, 157 is correct. The close distractor 153 can result from mishandling the final \(-3\) or making an arithmetic error. Exam tip: substitute the term number into the exponent \(n-1\) first, then simplify step by step.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=3^n-2n+1\) से क्रमशः \(2,6,22,74\) प्राप्त होते हैं। अतः यही सामान्य पद है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2^n+n\) में पहला पद 3 आता है, 2 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम शुरुआती तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखकर मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=3^n-2n+1\) gives \(2,6,22,74\), respectively. Hence, it is the general term. The close distractor \(2^n+n\) gives 3 as its first term, not 2. Exam tip: verify a proposed general term by checking it for at least the first three values of \(n\).
दिया है कि \(a_n=3^n-2n+1\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4-2(4)+1=81-8+1=74\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 74 है। 72 तब मिलता यदि अंतिम \(+1\) को छोड़ दिया जाता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय \(n\) के स्थान पर मान रखने के बाद घात और कोष्ठक वाले गुणन को ध्यान से हल करें। / Given \(a_n=3^n-2n+1\), substitute \(n=4\): \(a_4=3^4-2(4)+1=81-8+1=74\). Therefore, 74 is the correct answer. The value 72 would result from omitting the final \(+1\), so it is incorrect. Exam tip: After substituting the term number, evaluate the exponent and multiplication in brackets carefully.
\(2^n+3n\) से (5,10,17,28) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में अतिरिक्त (n)-वाला भाग भी देखें। / \(2^n+3n\) gives (5,10,17,28). In exams, also check the extra (n)-part in a power rule.
दिया है \(a_n=2^n+3n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2^5+3(5)=32+15=47\) प्राप्त होता है। विकल्प 43 तब मिल सकता है जब \(3n\) के स्थान पर केवल 3 जोड़ा जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n\) का मान रखने के बाद घात और गुणा को पहले हल करें। / Given \(a_n=2^n+3n\), substitute \(n=5\): \(a_5=2^5+3(5)=32+15=47\). Option 43 may result from adding only 3 instead of evaluating \(3n\), which is incorrect. Exam tip: after substituting the value of \(n\), evaluate powers and multiplication before addition.
दिया है \(a_n=n^2+1\)। \(a_n=101\) रखने पर \(n^2+1=101\), अतः \(n^2=100\) और \(n=10\)। इसलिए 101 अनुक्रम का 10वाँ पद है। यद्यपि समीकरण में \(n=-10\) भी मिलता है, पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए उसे नहीं लेते। परीक्षा टिप: पहले स्थिर पद को दूसरी ओर ले जाएँ, फिर प्राप्त पूर्ण वर्ग का वर्गमूल लें। / Given \(a_n=n^2+1\), set \(a_n=101\). Then \(n^2+1=101\), so \(n^2=100\) and \(n=10\). Hence, 101 is the 10th term of the sequence. Although the equation also gives \(n=-10\), a term number must be a positive integer, so it is rejected. Exam tip: move the constant term first, then take the square root of the resulting perfect square.
इसका नियम \(a_n=9n-3\) है और (9n-3=150) से (n=17) नहीं, (n=17) मिलता है; इसलिए सही पद सत्रहवाँ है। / Its rule is \(a_n=9n-3\), and (9n-3=150) gives (n=17), so the correct term is the (17)th term.
(9n+2=146) से (n=16) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (9n+2=146), we get (n=16). In exams, equate the formula to the given value to find the term number.
(n=1) पर (120) और (n=2) पर (112) मिलता है, इसलिए \(a_n=128-8n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (120), and at (n=2) it gives (112), so \(a_n=128-8n\). In exams, keep the decreasing difference negative.
\(4n^2-n+1\) से (4,15,34,61) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2-n+1\) gives (4,15,34,61). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_4=49\) और \(a_2=5\), इसलिए योग (54) है। परीक्षा में योग से पहले दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=49\) and \(a_2=5\), so the sum is (54). In exams, calculate both terms separately before adding.
दिया है कि \(a_n=(2n-1)^2\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(2\times5-1)^2=(10-1)^2=9^2=81\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 81 है। 64 तब मिलता यदि कोष्ठक का मान 8 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=(2n-1)^2\). Substituting \(n=5\), we get \(a_5=(2\times5-1)^2=(10-1)^2=9^2=81\). Hence, 81 is the correct option. The value 64 would require the expression inside the square to be 8, which it is not. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, and then evaluate the exponent.
\(a_7=\frac{7\times10}{2}+2=37\) है। परीक्षा में पहले भिन्न भाग सरल करें और फिर स्थिर संख्या जोड़ें। / \(a_7=\frac{7\times10}{2}+2=37\). In exams, simplify the fraction first and then add the constant.
अनुक्रम के प्रथम अंतर \(7,13,19\) हैं और द्वितीय अंतर \(6,6\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=3n^2-2n+1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,9,22,41\) प्राप्त होते हैं। विकल्प C से पहले दो पद तो मिलते हैं, पर \(n=3\) पर यह \(18\) देता है, \(22\) नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर होने पर \(a_n=an^2+bn+c\) का रूप जाँचें। / The first differences are \(7,13,19\), and the second differences are constant: \(6,6\). Hence, the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=3n^2-2n+1\) gives \(2,9,22,41\), respectively. Option C matches the first two terms but gives \(18\), not \(22\), when \(n=3\). Exam tip: constant second differences usually indicate a rule of the form \(an^2+bn+c\).
\(a_5=98\) और \(a_2=11\), इसलिए अंतर (87) है। परीक्षा में अंतर निकालने से पहले दोनों पद सही निकालें। / \(a_5=98\) and \(a_2=11\), so the difference is (87). In exams, find both terms correctly before subtracting.
सही नियम \(a_n=3n^2+2n\) है। जाँच करें: \(n=1\) पर \(a_1=3+2=5\), \(n=2\) पर \(a_2=12+4=16\), और \(n=3\) पर \(a_3=27+6=33\) मिलता है। रैखिक नियम \(11n-6\) केवल पहले दो पदों से मेल खा सकता है, लेकिन \(n=3\) पर 27 देता है, 33 नहीं। परीक्षा में कम-से-कम तीन पद रखकर स्पष्ट नियम सत्यापित करें। / The correct rule is \(a_n=3n^2+2n\). Checking it gives \(a_1=3+2=5\), \(a_2=12+4=16\), and \(a_3=27+6=33\). The linear rule \(11n-6\) may match the first two terms, but for \(n=3\) it gives 27, not 33. In an exam, test an explicit rule with at least three terms.
