Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर a_1=3(1)2-2(1)+6=7, a_2=3(2)2-2(2)+6=14 और a_3=3(3)2-2(3)+6=27 मिलता है। इसलिए सही क्रम (7, 14, 27) है। विकल्प D का पहला पद सही है, लेकिन n=2 रखने पर 16 नहीं, 14 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: पद निकालते समय n के प्रत्येक मान को पूरे व्यंजक में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substituting n=1, 2, and 3 into the rule gives a_1=3(1)2-2(1)+6=7, a_2=3(2)2-2(2)+6=14, and a_3=3(3)2-2(3)+6=27. Hence, the correct sequence is (7, 14, 27). Option D has the correct first term, but for n=2 the value is 14, not 16. Exam tip: substitute each value of n carefully into the entire expression.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है इसलिए (d=7), फिर \(a_n=7n-5\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7), then \(a_n=7n-5\). From two given terms first find the common difference.
अंश (3n+2) और हर (4n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is (3n+2) and the denominator is (4n+2), so \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\). In a fractional sequence form separate rules for both parts.
दिए गए नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=6^3-3(3)=216-9=207\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 207 है। 213 तब मिलता यदि \(3n\) वाला भाग घटाया न जाता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद के लिए पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ हल करें। / Substitute \(n=3\) in the given rule: \(a_3=6^3-3(3)=216-9=207\). Therefore, 207 is the correct option. The value 213 would result from not subtracting the \(3n\) term, so it is incorrect. Exam tip: For a term of a sequence, substitute the value of \(n\) everywhere first, then evaluate powers and the remaining operations.
यह \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n-1)2)। वर्गों में आधारों का अंतर देखें। / This is \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\), so (a_n=(4n-1)2). In square sequences observe the difference between bases.
सामान्य पद \(a_n=8n+5\) है और (8n+5=93) से (n=11)। यदि (n) प्राकृतिक संख्या हो तो दिया पद अनुक्रम में आता है। / The general term is \(a_n=8n+5\), and (8n+5=93) gives (n=11). If (n) is a natural number, the given term belongs to the sequence.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^2+6n+1\) से क्रमशः \(8,17,28,41\) प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=2\) पर पद \(18\) आता है, जबकि दिया गया दूसरा पद \(17\) है। परीक्षा टिप: अनुक्रम के नियम को जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखिए। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+6n+1\) gives \(8,17,28,41\), respectively. Therefore, option A is correct. In option B, the term for \(n=2\) is \(18\), not the given second term \(17\). Exam tip: Verify a proposed sequence rule by substituting at least the first two or three values of \(n\).
इसका नियम \(a_n=3n^2+4n+4\) है इसलिए \(a_{10}=300+40+4=344\) नहीं बल्कि विकल्पों से मिलान गलत है; सही (10)वाँ पद (344) है। विकल्पों की संगति भी परीक्षा में जांचें। / Its rule is \(a_n=3n^2+4n+4\), so the (10)th term is (344), not any listed option. In exams also check the consistency of options.
\(a_6=23\) और \(b_4=24\), इसलिए योग (47) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान रखें। / \(a_6=23\) and \(b_4=24\), so the sum is (47). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
यह \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+3)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\), so (a_n=(n+3)3). In cube sequences identify the base number.
यह \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+4)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\), so (a_n=(n+4)2). In square sequences relate the base number to (n).
पाँचवें पद के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4\cdot3^{5-1}=4\cdot3^4=4\cdot81=324\)। अतः सही उत्तर 324 है। 216 प्राप्त करने में प्रायः \(3^3\) लेकर घात \(n-1\) को गलत गिना जाता है। परीक्षा टिप: पद संख्या रखने के बाद पहले \(n-1\) का मान निकालें, फिर घात हल करें। / For the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=4\cdot3^{5-1}=4\cdot3^4=4\cdot81=324\). Therefore, 324 is correct. The value 216 can result from incorrectly using \(3^3\) and miscounting the exponent \(n-1\). Exam tip: after substituting the term number, evaluate \(n-1\) before calculating the power.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,10,18,28) मिलते हैं। गुणन रूप वाले नियम में सीधे मान रखना आसान है। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,10,18,28). Direct substitution is easy in a product-form rule.
अंश (2n+1) और हर (3n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\)। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The numerator is (2n+1) and the denominator is (3n+2), so \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\). In fractions observe numerator and denominator patterns separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (12,21,32,45) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (12,21,32,45). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
दिया है कि \(a_n=9n+4\) और \(a_n=112\)। अतः \(9n+4=112\), इसलिए \(9n=108\) तथा \(n=12\)। इसलिए 112, अनुक्रम का 12वाँ पद है। 11वाँ पद \(9(11)+4=103\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए सामान्य पद \(a_n\) को उस दिए गए मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=9n+4\) and \(a_n=112\), set \(9n+4=112\). This gives \(9n=108\), so \(n=12\). Therefore, 112 is the 12th term of the sequence. The 11th term is \(9(11)+4=103\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate the general term \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
दिया गया नियम है \(a_n=4n^2-5n+2\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=4(6)^2-5(6)+2=4\times36-30+2=116\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 116 है। 112 प्राप्त हो सकता है यदि वर्ग वाले पद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n^2\) निकालें, फिर गुणा और शेष संक्रियाएँ करें। / The rule is \(a_n=4n^2-5n+2\). Substituting \(n=6\), \(a_6=4(6)^2-5(6)+2=4\times36-30+2=116\). Therefore, 116 is the correct answer. A value such as 112 can result from an error while evaluating the squared term. Exam tip: calculate \(n^2\) first, then perform multiplication and the remaining operations.
पहला पद (42) और अंतर (-6) है इसलिए (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n)। घटते अनुक्रम में अंतर ऋणात्मक रखें। / The first term is (42) and the difference is (-6), so (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n). Keep the difference negative for a decreasing sequence.
पहला पद (5) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। समानांतर अनुक्रम में गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (5) and the common difference is (7), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). In an arithmetic sequence the coefficient is the common difference.
क्रमागत पदों के अंतर \(14,22,30\) हैं और इनके द्वितीय अंतर \(8\) हैं। अतः अनुक्रम द्विघात रूप का है तथा \(n^2\) का गुणांक \(8/2=4\) होगा। \(a_n=4n^2+2n\) रखने पर \(n=1,2,3,4\) के लिए क्रमशः \(6,20,42,72\) प्राप्त होते हैं। विकल्प B में पहला पद सही है, पर \(n=2\) पर वह \(16\) देता है, \(20\) नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद चुनने से पहले उसे कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The first differences are \(14,22,30\), and the second differences are constant at \(8\). Hence the sequence is quadratic, with coefficient of \(n^2\) equal to \(8/2=4\). Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=4n^2+2n\) gives \(6,20,42,72\), respectively. Option B matches the first term but gives \(16\), not \(20\), when \(n=2\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
\(a_5=99\) और \(a_2=8\), इसलिए योग (107) है। परीक्षा में वर्गीय सूत्र में चिह्न सावधानी से रखें। / \(a_5=99\) and \(a_2=8\), so the sum is (107). In exams, handle signs carefully in a quadratic formula.
\(n=5\) रखने पर \(a_5=3\cdot2^5-5=3\cdot32-5=96-5=91\)। इसलिए सही उत्तर 91 है। 89 प्राप्त हो सकता है यदि घटाने में गलती से 7 घटा दिया जाए। परीक्षा टिप: पहले घात \(2^5\) निकालें, फिर गुणा और अंत में \(n\) घटाएँ। / Substitute \(n=5\): \(a_5=3\cdot2^5-5=3\cdot32-5=96-5=91\). Therefore, the correct answer is 91. A value such as 89 can result from subtracting the wrong value instead of 5. Exam tip: evaluate the exponent first, then multiply, and finally subtract \(n\).
\(4n^2+3n+2\) से (9,24,47,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2+3n+2\) gives (9,24,47,78). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_4=78\) और \(a_1=9\), इसलिए अंतर (69) है। परीक्षा में अंतिम घटाव से पहले दोनों मान जाँचें। / \(a_4=78\) and \(a_1=9\), so the difference is (69). In exams, check both values before the final subtraction.
\(\frac{2n^2+5n}{3}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / \(\frac{2n^2+5n}{3}\) gives the given terms. In exams, match fractional terms with options too.
\(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{2(6)^2+5(6)}{3}=\frac{2\times36+30}{3}=\frac{72+30}{3}=\frac{102}{3}=34\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 34 है। \(36\) जैसा उत्तर प्रायः पूरे अंश को 3 से सही ढंग से विभाजित न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात, गुणा, जोड़ और अंत में भाग के क्रम का पालन करें। / Substitute \(n=6\): \(a_6=\frac{2(6)^2+5(6)}{3}=\frac{2\times36+30}{3}=\frac{72+30}{3}=\frac{102}{3}=34\). Hence, 34 is the correct option. An answer such as 36 can result from not dividing the complete numerator correctly by 3. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then follow the order of operations—powers, multiplication, addition, and finally division.
सही सामान्य पद \(a_n=2n^2+7n-4\) है। जाँचने पर \(n=1\) के लिए \(a_1=5\), \(n=2\) के लिए \(a_2=18\), तथा \(n=3\) के लिए \(a_3=35\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(13n-8\) में पहला और दूसरा पद सही आ सकते हैं, लेकिन \(n=3\) पर यह \(31\) देता है, जो अनुक्रम के \(35\) से भिन्न है। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The correct general term is \(a_n=2n^2+7n-4\). Substituting \(n=1\), \(2\), and \(3\) gives \(a_1=5\), \(a_2=18\), and \(a_3=35\), respectively. The distractor \(13n-8\) may match the first two terms, but for \(n=3\) it gives \(31\), not \(35\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
\(5^n-2n\) से (3,21,119,617) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से रैखिक पद घटाकर भी जाँचें। / \(5^n-2n\) gives (3,21,119,617). In exams, also check subtraction of a linear term from a power.
दिया है कि \(a_n=5^n-2n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=5^3-2(3)=125-6=119\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 119 है। 121 तब मिल सकता है जब \(2n\) के स्थान पर गलती से 4 घटाया जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय हर जगह \(n\) के स्थान पर दिया गया क्रमांक ही रखें। / Given \(a_n=5^n-2n\). Substituting \(n=3\), \(a_3=5^3-2(3)=125-6=119\). Therefore, 119 is correct. The value 121 may result from incorrectly subtracting 4 instead of \(2n=6\). Exam tip: substitute the required term number for \(n\) in every part of the rule.
\(6n^2-4n+3\) से (5,19,45,83) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(6n^2-4n+3\) gives (5,19,45,83). In exams, choose a quadratic rule when second differences are constant.
