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क्रमागत अंतर \(9,15,21\) हैं और इनके दूसरे अंतर \(6,6\) हैं। अतः सामान्य पद द्विघात रूप का होगा तथा \(n^2\) का गुणांक \(6/2=3\) होगा। \(a_n=3n^2-1\) रखने पर \(a_1=2, a_2=11, a_3=26\) और \(a_4=47\) मिलते हैं। विकल्प D केवल समान प्रथम अंतर वाले रैखिक अनुक्रम के लिए होता है। परीक्षा टिप: स्थिर दूसरे अंतर मिलने पर पहले \(n^2\) वाले पद की जाँच करें। / The successive differences are \(9,15,21\), and their second differences are constant: \(6,6\). Hence the rule is quadratic, with coefficient of \(n^2\) equal to \(6/2=3\). Substituting in \(a_n=3n^2-1\) gives \(a_1=2, a_2=11, a_3=26\), and \(a_4=47\). Option D is linear and would require equal first differences. Exam tip: constant second differences usually indicate a quadratic sequence rule.
छह अंतरों में वृद्धि (54) है इसलिए (d=9), अतः (a_{15}=83+4(9)=119)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over six gaps is (54), so (d=9), hence (a_{15}=83+4(9)=119). Extend the terms using the common difference.
\(a_5=2\) और \(a_6=-2\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य या धनात्मक पद को ऋणात्मक न मानें। / \(a_5=2\) and \(a_6=-2\), so the first negative term is the (6)th. Do not count zero or positive terms as negative.
(25+5q+4=54) से (5q=25) और (q=5)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (25+5q+4=54), (5q=25) and (q=5). Substitute the given term in the rule to find the unknown constant.
\(5n^2-2n+6\) से (9,22,45,78) मिलते हैं। दूसरे अंतर (10) स्थिर है इसलिए द्विघात नियम बनेगा। / \(5n^2-2n+6\) gives (9,22,45,78). The second difference (10) is constant, so a quadratic rule fits.
परिमाण (7n) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}7n)। पहले पद का चिह्न देखकर ((-1)) की शक्ति चुनें। / The magnitude is (7n) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}7n). Choose the power of ((-1)) by checking the first term sign.
\(a_9=109\) और \(a_4=44\), इसलिए अंतर (65) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_9=109\) and \(a_4=44\), so the difference is (65). Calculate both terms separately before subtracting.
अंश (3n) और हर (5n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\)। हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (3n) and the denominator is (5n+2), so \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\). Observe the denominator growth carefully.
अंश \(n^2+5\) और हर \(n^2+4\) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\)। भिन्न अनुक्रम में वर्ग पैटर्न पहचानें। / The numerator is \(n^2+5\) and the denominator is \(n^2+4\), so \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\). Identify square patterns in fractional sequences.
पहले तीन पदों के लिए क्रमशः n=1, 2 और 3 रखें। तब a_1=4(1)2-3(1)+8=9, a_2=4(2)2-3(2)+8=18 तथा a_3=4(3)2-3(3)+8=35। इसलिए सही क्रम (9,18,35) है। विकल्प (9,20,39) में पहला पद सही है, लेकिन n=2 और n=3 पर गणना गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए n का मान अलग-अलग रखकर वर्ग और गुणा पहले करें। / Substitute n=1, 2, and 3 successively. This gives a_1=4(1)2-3(1)+8=9, a_2=4(2)2-3(2)+8=18, and a_3=4(3)2-3(3)+8=35. Hence, the correct sequence is (9,18,35). Option (9,20,39) has the correct first term, but its calculations for n=2 and n=3 are incorrect. Exam tip: substitute each value of n separately, carrying out squaring and multiplication first.
सामान्य पद \(a_n=79-9n\) है और (79-9n=-2) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=79-9n\), and (79-9n=-2) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
\(a_4=95\) और \(a_2=23\), इसलिए योग (118) है। सही विकल्प (118) है और दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=95\) and \(a_2=23\), so the sum is (118). The correct option is (118), and both terms should be found separately.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-5) है इसलिए समान अंतर (-5) है। गुणांक पढ़ते समय चिह्न न छोड़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-5), so the common difference is (-5). Do not miss the sign while reading the coefficient.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(14,31,54,83\) प्राप्त होते हैं। अतः सही नियम \(a_n=3n^2+8n+3\) है। उदाहरण के लिए, \(n=3\) पर \(a_3=3(3)^2+8(3)+3=54\)। विकल्प B का पहला पद भी 14 है, लेकिन \(n=2\) पर वह 29 देता है, 31 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पद अवश्य मिलाइए। / In option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(14,31,54,83\), respectively. Therefore, the correct rule is \(a_n=3n^2+8n+3\). For example, when \(n=3\), \(a_3=3(3)^2+8(3)+3=54\). Option B also gives 14 as its first term, but it gives 29, not 31, when \(n=2\). Exam tip: verify at least the first two or three terms before selecting a general rule.
यह \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+5)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या का क्रम देखें। / This is \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\), so (a_n=(n+5)3). In cube sequences observe the order of base numbers.
(a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
अनुक्रम के प्रथम अंतर \(4,6,8\) हैं और द्वितीय अंतर \(2,2\) स्थिर है, इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=n^2+n+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,8,14,22\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(n^2+3\) से पहला पद \(4\) मिलता है, लेकिन दूसरा पद \(7\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर होने पर पहले कुछ पद रखकर द्विघात नियम की जाँच करें। / The first differences are \(4,6,8\), and the second differences are constant: \(2,2\). Hence, the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+n+2\) gives \(4,8,14,22\), respectively. Although \(n^2+3\) gives the first term as \(4\), it gives \(7\) as the second term, so it is incorrect. Exam tip: when second differences are constant, test a quadratic rule using the first few terms.
दिया है: \(n^2+5n=126\)। अतः \(n^2+5n-126=0\), जिसे \((n-9)(n+14)=0\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(n=9\) या \(n=-14\) मिलता है। अनुक्रम में पद संख्या \(n\) धनात्मक होती है, इसलिए \(n=9\) सही है। \(n=8\) रखने पर मान \(104\) आता है, 126 नहीं। परीक्षा टिप: पहले सभी पदों को एक तरफ लाकर द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें। / Given \(n^2+5n=126\), we get \(n^2+5n-126=0\). Factoring gives \((n-9)(n+14)=0\), so \(n=9\) or \(n=-14\). Since a term position \(n\) in a sequence is positive, \(n=9\) is correct. For example, \(n=8\) gives 104, not 126. Exam tip: bring all terms to one side and factor the quadratic expression.
छह अंतरों में परिवर्तन (-36) है इसलिए (d=-6), अतः \(a_n=31-6n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over six gaps is (-36), so (d=-6), hence \(a_n=31-6n\). From two given terms first find the common difference.
सामान्य पद \(a_n=9n+6\) है इसलिए \(a_{40}=366\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=9n+6\), so \(a_{40}=366\). Use the same general rule even for a large term.
परिमाण \(6,11,16,21,\ldots\) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1))। पहले पद का चिह्न शक्ति तय करता है। / The magnitude is \(6,11,16,21,\ldots\) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1)). The sign of the first term decides the power.
(n=1,2,3,4) रखने पर (5,10,17,28) मिलते हैं। घात और रैखिक भाग दोनों जोड़ना न भूलें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (5,10,17,28). Do not forget to add both the power part and the linear part.
\(2n^2+n+2\) से (5,12,23,38) मिलते हैं। बढ़ते अंतर (7,11,15) द्विघात नियम का संकेत देते हैं। / \(2n^2+n+2\) gives (5,12,23,38). Increasing differences (7,11,15) indicate a quadratic rule.
यह \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n)2=16n-2)। सम अंतर वाले वर्गों में आधार का नियम देखें। / This is \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\), so (a_n=(4n)2=16n-2). In square sequences with equal base gaps, find the base rule.
दिया है कि \(a_n=4n^2+3\)। अतः \(a_3=4(3)^2+3=39\) और \(a_5=4(5)^2+3=103\)। इसलिए \(a_3+a_5=39+103=142\)। विकल्प 140 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब वर्ग करने या जोड़ने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले प्रत्येक दिए गए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर पद निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=4n^2+3\), \(a_3=4(3)^2+3=39\) and \(a_5=4(5)^2+3=103\). Therefore, \(a_3+a_5=39+103=142\). A value such as 140 can result from an error while squaring or adding. Exam tip: substitute each required value of \(n\) separately into the general term before finding their sum.
\(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\) से (21n=9n+36) और (n=3) नहीं बल्कि (n=3) मिलता है। दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / From \(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\), (21n=9n+36), so (n=3). None of the given options is correct.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(12,25,42,63\) प्राप्त होते हैं। साथ ही प्रथम अंतर \(13,17,21\) हैं और द्वितीय अंतर \(4,4\) स्थिर है, इसलिए नियम द्विघात होना चाहिए। विकल्प C के पहले दो पद सही हैं, लेकिन \(n=3\) पर वह \(40\) देता है, \(42\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए केवल पहला पद नहीं, कम-से-कम तीन पद रखकर सत्यापित करें। / For option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(12,25,42,63\), respectively. Also, the first differences are \(13,17,21\), so the second differences are constant at \(4\); this supports a quadratic rule. Option C matches the first two terms but gives \(40\), not \(42\), when \(n=3\). Exam tip: test a proposed rule with at least three terms, not just the first term.
यह (3) गुना त्रिभुज संख्याओं का क्रम है इसलिए (a_n=\frac{3n(n+1)}{2})। लगातार जोड़ (6,9,12) से पैटर्न पहचानें। / This is three times the triangular numbers, so (a_n=\frac{3n(n+1)}{2}). Recognize the pattern from additions (6,9,12).
पहला पद (17) और अंतर (-9) है इसलिए (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n)। घटने को ऋणात्मक अंतर मानें। / The first term is (17) and the difference is (-9), so (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n). Treat decrease as a negative difference.
(8p+7=71) से (8p=64) और (p=8)। अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (8p+7=71), (8p=64) and (p=8). Substitute the given term in the rule to find the unknown coefficient.
