Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिया गया नियम है: \(a_n=200-12n\)। \(n=9\) रखने पर \(a_9=200-12\times9=200-108=92\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 92 है। 88 का मान तब मिलता यदि घटाव के बाद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा करें। / The given rule is \(a_n=200-12n\). Substituting \(n=9\), we get \(a_9=200-12\times9=200-108=92\). Therefore, 92 is correct. A value such as 88 results from an arithmetic error after substitution. Exam tip: substitute the term number first, then perform multiplication before subtraction.
\(2n^2+9n+1\) से (12,27,46,69) मिलते हैं। परीक्षा में वर्गीय नियम को पहले चार पदों से जाँचें। / \(2n^2+9n+1\) gives (12,27,46,69). In exams, test the quadratic rule with the first four terms.
दिया है \(a_n=2n^2+9n+1\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2(5)^2+9(5)+1=2\times25+45+1=96\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(96\) है। \(94\) जैसे विकल्प में प्रायः वर्ग वाले पद \(2\times25\) की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=2n^2+9n+1\). Substituting \(n=5\), \(a_5=2(5)^2+9(5)+1=2\times25+45+1=96\). Hence, \(96\) is the correct option. A value such as \(94\) can result from an error while evaluating the squared term \(2\times25\). Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then evaluate the exponent carefully.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=4^n+n-3\) से क्रमशः \(2,15,64,257\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=n^4+1\) का पहला पद 2 तो है, लेकिन दूसरा पद \(17\) होगा, 15 नहीं। परीक्षा में स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) का मान रखकर सत्यापित करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=4^n+n-3\) gives \(2,15,64,257\), respectively. Although \(a_n=n^4+1\) gives the first term as 2, its second term is \(17\), not 15. Exam tip: verify an explicit rule by testing it for at least the first three terms.
दिया है, \(a_n=4^n+n-3\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=4^4+4-3=256+4-3=257\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 257 है। 255 तब मिलता यदि \(n-3\) वाले भाग की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में मान रखने के बाद घात, जोड़ और घटाव का क्रम सावधानी से करें। / Given \(a_n=4^n+n-3\), substitute \(n=4\): \(a_4=4^4+4-3=256+4-3=257\). Therefore, 257 is correct. A value such as 255 can result from an error while evaluating the \(n-3\) part. Exam tip: after substitution in a general term, evaluate the exponent first and then perform addition and subtraction carefully.
यदि \(a_n=n^4-n^2\), तो \(a_1=1-1=0\), \(a_2=16-4=12\), \(a_3=81-9=72\) तथा \(a_4=256-16=240\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^4-n^2\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2n^4\) के लिए \(a_1=2\) आता है, जो अनुक्रम के पहले पद 0 से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच करने के लिए \(n=1,2,3\) रखने पर शुरुआती पद अवश्य मिलाएँ। / For \(a_n=n^4-n^2\), we get \(a_1=1-1=0\), \(a_2=16-4=12\), \(a_3=81-9=72\), and \(a_4=256-16=240\). Hence, the correct general term is \(a_n=n^4-n^2\). The close distractor \(2n^4\) gives \(a_1=2\), which does not match the first term 0. Exam tip: substitute \(n=1,2,3\) to verify a proposed general term against the initial terms.
यहाँ n=3 रखने पर a_3=34-32=81-9=72 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 72 है। 70 जैसे विकल्प घातों या घटाव में गणना की त्रुटि से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / Substitute n=3: a_3=34-32=81-9=72. Therefore, 72 is the correct option. A value such as 70 can result from an error while evaluating the powers or subtracting. Exam tip: calculate each power separately before subtracting.
इसका नियम \(a_n=13n-10\) है और (13n-10=159) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=13n-10\), and (13n-10=159) gives (n=13). In exams, equate the given term to the general term.
पहले पाँच पद (3,16,29,42,55) हैं और औसत (29) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (3,16,29,42,55), and the average is (29). In exams, divide the sum by the number of terms.
\(5^n+n-4\) से (2,23,124,625) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में छोटा रैखिक भाग भी जाँचें। / \(5^n+n-4\) gives (2,23,124,625). In exams, also check the small linear part in a power rule.
यहाँ सामान्य पद में n के स्थान पर 3 रखें: \(a_3=5^3+3-4=125+3-4=124\)। इसलिए सही उत्तर 124 है। 122 प्राप्त करना जोड़-घटाव में गलती से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर शेष पदों को जोड़ें या घटाएँ। / Substitute 3 for n in the general term: \(a_3=5^3+3-4=125+3-4=124\). Therefore, the correct answer is 124. A value such as 122 can result from an arithmetic error in the addition or subtraction. Exam tip: evaluate the power first, then add or subtract the remaining terms.
\(6n^2-n+4\) से (9,26,55,96) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / \(6n^2-n+4\) gives (9,26,55,96). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_4=96\) और \(a_2=26\), इसलिए सरल अनुपात (48:13) है। परीक्षा में अनुपात सरल करना न भूलें। / \(a_4=96\) and \(a_2=26\), so the simplified ratio is (48:13). In exams, do not forget to simplify the ratio.
\(\frac{3n^2+5n}{4}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / \(\frac{3n^2+5n}{4}\) gives the given terms. In exams, match fractional terms with options too.
\(n=4\) रखने पर \(a_4=\frac{3(4)^2+5(4)}{4}=\frac{3\times16+20}{4}=\frac{68}{4}=17\)। इसलिए सही उत्तर 17 है। 16 प्राप्त करना \(3\times4^2\) का मान 48 के बजाय गलत लेने या अंश में त्रुटि करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालकर अंश और हर को सरल करें। / Substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{3(4)^2+5(4)}{4}=\frac{3\times16+20}{4}=\frac{68}{4}=17\). Therefore, 17 is correct. Getting 16 may result from incorrectly evaluating \(3\times4^2\) or making an error in the numerator. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, evaluate the power, and then simplify the numerator and denominator.
सही नियम \(a_n=2n^3+n^2+n\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,22,66,148\) प्राप्त होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4n^2\) में \(n=1\) पर 4 मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 16 मिलता है, 22 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^3+n^2+n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(4,22,66,148\), respectively. The closest distractor, \(4n^2\), gives 4 when \(n=1\), but it gives 16 rather than 22 when \(n=2\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
दिए गए नियम में \(n=3\) रखने पर \(a_3=2(3)^3+(3)^2+3=2\times27+9+3=54+9+3=66\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 66 है। 64 प्राप्त होना घन वाले पद \(2(3)^3\) की गणना में त्रुटि दर्शाता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान प्रत्येक पद में रखें, फिर घातों की गणना करके जोड़ करें। / Substitute \(n=3\) in the given rule: \(a_3=2(3)^3+(3)^2+3=2\times27+9+3=54+9+3=66\). Therefore, 66 is the correct option. Getting 64 indicates an error in evaluating the cubic term \(2(3)^3\). Exam tip: substitute the value in every term first, then evaluate powers before adding.
\(a_n=n^3+3n^2-2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,18,52,110\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह सही सामान्य पद है। निकटतम विकल्प \(2n^3\) में पहला पद 2 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 16 मिलता है, 18 नहीं। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / For \(a_n=n^3+3n^2-2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,18,52,110\), respectively. Hence, it is the correct general term. The close distractor \(2n^3\) gives the first term as 2, but gives 16 rather than 18 when \(n=2\). In an exam, verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
\(4n^2+5n-6\) से (3,20,45,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम चुनें। / \(4n^2+5n-6\) gives (3,20,45,78). In exams, choose a quadratic rule when second differences are constant.
\(7\cdot2^{n-1}+4\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर जोड़ भी जाँचें। / \(7\cdot2^{n-1}+4\) gives the given terms. In exams, also check constant addition in geometric forms.
\(n=5\) रखने पर \(a_5=7\cdot2^{5-1}+4=7\cdot2^4+4=7\cdot16+4=116\)। इसलिए सही उत्तर 116 है। 112 केवल \(7\cdot16\) है; इसमें अंत में जोड़ा जाने वाला \(+4\) छूट गया है। परीक्षा टिप: पहले \(n-1\) का मान निकालें, फिर घात की गणना करें। / Substitute \(n=5\): \(a_5=7\cdot2^{5-1}+4=7\cdot2^4+4=7\cdot16+4=116\). Therefore, the correct answer is 116. The value 112 is only \(7\cdot16\); it misses the final \(+4\). Exam tip: evaluate \(n-1\) first, then calculate the power.
सही नियम \(a_n=3^n+n^2-1\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,12,35,96\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=3n^2\) से पहला पद 3 तो मिलता है, लेकिन दूसरा पद 12 के बजाय 12 और तीसरा पद 27 मिलता है, इसलिए वह नियम पूरे अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The correct rule is \(a_n=3^n+n^2-1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(3,12,35,96\), respectively. Although \(a_n=3n^2\) gives the first two terms as 3 and 12, it gives 27 as the third term instead of 35, so it is not the rule for the sequence. In exams, test a proposed general term with at least the first three terms.
n=3 रखने पर a_3=33+32-1=27+9-1=35 होता है। इसलिए सही उत्तर 35 है। 33 तब मिलता है जब अंतिम 1 को गलत तरीके से घटाया जाए, जबकि 27+9-1 का सही मान 35 है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n के स्थान पर दी गई संख्या को घात और वर्ग, दोनों में रखें। / Putting n=3, we get a_3=33+32-1=27+9-1=35. Therefore, the correct answer is 35. A value such as 33 results from an incorrect calculation of the final subtraction; 27+9-1 equals 35. Exam tip: when finding a term from an explicit rule, substitute the given value of n in every occurrence of n, including powers and squares.
यहाँ पदों की संख्या \(n=1\) से शुरू होती है। \(a_n=2^n+n^2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,8,17,32\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(2n^2+1\) से पहले दो पद \(3,9\) मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखें। / The term number starts with \(n=1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=2^n+n^2\) gives \(3,8,17,32\), respectively. The close distractor \(2n^2+1\) gives \(3,9\) as its first two terms, so it does not fit the sequence. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
इसका नियम \(a_n=11n-7\) है और (11n-7=125) से (n=12) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=11n-7\), and (11n-7=125) gives (n=12). In exams, equate the given term to the general term.
(8n-5=155) से (n=20) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (8n-5=155), we get (n=20). In exams, equate the formula to the given value to find the term number.
(n=1) पर (139) और (n=2) पर (128) मिलता है, इसलिए \(a_n=150-11n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम का पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (139), and at (n=2) it gives (128), so \(a_n=150-11n\). In exams, match the first term of a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=(3n-2)^2\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=(3\times4-2)^2=(12-2)^2=10^2=100\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 100 है। \(121\) तब मिलता यदि कोष्ठक के भीतर का मान 11 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान रखें, फिर कोष्ठक और घात का क्रम पूरा करें। / Given \(a_n=(3n-2)^2\). Substituting \(n=4\), \(a_4=(3\times4-2)^2=(12-2)^2=10^2=100\). Therefore, 100 is the correct option. \(121\) would result only if the expression inside the square were 11, which it is not here. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify the bracket before applying the exponent.
\(\frac{n(4n+1)}{2}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी छोटे (n) से जाँचें। / \(\frac{n(4n+1)}{2}\) gives the given terms. In exams, test fractional terms with small (n).
\(n=5\) रखने पर \(a_5=\frac{5(4\times5+1)}{2}=\frac{5(21)}{2}=\frac{105}{2}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(\frac{101}{2}\) प्राप्त हो सकता है यदि कोष्ठक में \(4\times5+1\) का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद-क्रमांक रखने के बाद गुणा और जोड़ के क्रम का ध्यान रखें। / Substitute \(n=5\): \(a_5=\frac{5(4\times5+1)}{2}=\frac{5(21)}{2}=\frac{105}{2}\). Hence, option C is correct. \(\frac{101}{2}\) may result from evaluating \(4\times5+1\) incorrectly. Exam tip: after substituting the term number in a general term, follow the order of operations carefully.
