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पहला पद (9) और अंतर (-7) है इसलिए (a_n=9+(n-1)(-7)=16-7n)। शब्दों से नियम बनाते समय घटाव को ऋणात्मक अंतर मानें। / The first term is (9) and the difference is (-7), so (a_n=9+(n-1)(-7)=16-7n). When forming a rule from words, treat decrease as a negative difference.
पहले तीन पदों के लिए क्रमशः \(n=1,2,3\) रखें। \(a_1=2(1)^2-1+4=5\), \(a_2=2(2)^2-2+4=10\) और \(a_3=2(3)^2-3+4=19\)। अतः सही क्रम \((5, 10, 19)\) है। विकल्प C का पहला पद 6 है, इसलिए वह सही नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n\) का मान 1 से शुरू करके एक-एक पद सावधानी से निकालें। / For the first three terms, substitute \(n=1,2,3\). Thus, \(a_1=2(1)^2-1+4=5\), \(a_2=2(2)^2-2+4=10\), and \(a_3=2(3)^2-3+4=19\). Therefore, the correct sequence is \((5, 10, 19)\). Option C cannot be correct because its first term is 6. Exam tip: when a general term is given, begin with \(n=1\) and calculate each term systematically.
\(a_7-a_3=16\) और चार अंतर हैं इसलिए (d=4), फिर \(a_n=4n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / \(a_7-a_3=16\) and there are four gaps, so (d=4), then \(a_n=4n\). From two given terms first find the common difference.
अंश (3n+1) और हर (2n+3) है इसलिए \(a_n=\frac{3n+1}{2n+3}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का नियम अलग बनाएं। / The numerator is (3n+1) and the denominator is (2n+3), so \(a_n=\frac{3n+1}{2n+3}\). In a fractional sequence form rules for both parts separately.
दिया है \(a_n=4^n-2\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3-2=64-2=62\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(62\) है। \(64\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह केवल \(4^3\) का मान है; उसमें से \(2\) घटाना अभी शेष है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=4^n-2\), substitute \(n=3\): \(a_3=4^3-2=64-2=62\). Hence, \(62\) is correct. The close distractor \(64\) is only the value of \(4^3\); the subtraction of \(2\) must still be done. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent before subtracting.
यह \(2^2,6^2,10^2,14^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n-2)2)। वर्गों में आधारों का अंतर पहचानें। / This is \(2^2,6^2,10^2,14^2,\ldots\), so (a_n=(4n-2)2). In squares identify the difference between bases.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^2+3n\) से क्रमशः \(4,10,18,28\) प्राप्त होते हैं। अतः सही नियम विकल्प A है। विकल्प C से पहले दो पद \(4,10\) तो मिलते हैं, लेकिन तीसरा पद \(20\) आता है, \(18\) नहीं। परीक्षा टिप: अनुक्रम के नियम में कम-से-कम तीन या चार पद रखकर उसका सत्यापन करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+3n\) gives \(4,10,18,28\), respectively. Therefore, option A is correct. Option C gives the first two terms as \(4,10\), but its third term is \(20\), not \(18\). Exam tip: Verify a proposed sequence rule using at least three or four terms.
इसका नियम \(a_n=2n^2+3n+3\) है इसलिए \(a_9=162+27+3=192\) नहीं आता; सही नियम \(a_n=2n^2+3n+3\) से (192) आता है। यह विकल्प-संगति जांचने वाला प्रश्न है। / The rule \(a_n=2n^2+3n+3\) gives \(a_9=192\), so the shown options do not match. This is an option-consistency check question.
\(a_5=13\) और \(b_3=19\), इसलिए योग (32) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान से रखें। / \(a_5=13\) and \(b_3=19\), so the sum is (32). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
यह \(3^3,4^3,5^3,6^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+2)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(3^3,4^3,5^3,6^3,\ldots\), so (a_n=(n+2)3). In cube sequences identify the base number.
यह \(4^2,5^2,6^2,7^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+3)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(4^2,5^2,6^2,7^2,\ldots\), so (a_n=(n+3)2). In square sequences relate the base number to (n).
चौथे पद के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=7\cdot3^{4-1}=7\cdot3^3=7\cdot27=189\)। अतः सही उत्तर 189 है। 63 प्राप्त करना \(7\cdot3^2\) लेने की त्रुटि से हो सकता है। परीक्षा टिप: किसी भी सामान्य पद के सूत्र में पहले पद का क्रमांक रखकर घात को सावधानी से सरल करें। / For the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=7\cdot3^{4-1}=7\cdot3^3=7\cdot27=189\). Therefore, 189 is correct. The value 63 may result from incorrectly using \(7\cdot3^2\). Exam tip: In a general-term formula, substitute the term number first and simplify the exponent carefully.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,12,24,40) मिलते हैं। गुणन रूप में दिए नियम में सीधे पद-संख्या रखें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,12,24,40). In a product-form rule substitute the term number directly.
अंश (2n+1) और हर (3n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{2n+1}{3n+1}\)। भिन्न में अंश और हर का नियम अलग-अलग पहचानें। / The numerator is (2n+1) and the denominator is (3n+1), so \(a_n=\frac{2n+1}{3n+1}\). In fractions identify the numerator and denominator rules separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (12,20,30,42) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (12,20,30,42). When forming terms from a rule start (n) from (1).
(8n-3=77) से (8n=80) और (n=10)। पद-संख्या निकालने के लिए नियम को दिए पद के बराबर रखें। / From (8n-3=77), (8n=80) and (n=10). To find the position set the rule equal to the given term.
दिया है कि \(a_n=3n^2+2n\)। चौथा पद ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=3(4)^2+2(4)=3\times16+8=48+8=56\)। अतः सही उत्तर 56 है। 54 एक संभावित गलती है, जो वर्ग करने या गुणा करने में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: घात वाले व्यंजक में पहले \(n^2\) निकालें, फिर गुणा और जोड़ करें। / Given \(a_n=3n^2+2n\), substitute \(n=4\) to find the fourth term: \(a_4=3(4)^2+2(4)=3\times16+8=48+8=56\). Therefore, 56 is correct. The option 54 may result from an error while squaring or multiplying. Exam tip: In expressions with powers, evaluate \(n^2\) first, then multiply and add.
पहला पद (31) और अंतर (-5) है इसलिए (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n)। घटते अनुक्रम में समान अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (31) and the difference is (-5), so (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n). In a decreasing sequence take the common difference as negative.
पहला पद (2) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=2+(n-1)7=7n-5)। रैखिक अनुक्रम में (n) का गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (2) and the common difference is (7), so (a_n=2+(n-1)7=7n-5). In a linear sequence the coefficient of (n) is the common difference.
दिया गया नियम है \(a_n=4n^2-2n+3\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=4(5)^2-2(5)+3=4\times25-10+3=93\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 93 है। 95 प्राप्त करना अक्सर \(-2n\) पद की गणना में त्रुटि के कारण होता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान लिखकर प्रत्येक पद में अलग-अलग प्रतिस्थापित करें। / The rule is \(a_n=4n^2-2n+3\). Substituting \(n=5\), \(a_5=4(5)^2-2(5)+3=4\times25-10+3=93\). Therefore, 93 is correct. A value such as 95 usually results from an error while evaluating the \(-2n\) term. Exam tip: substitute the value of \(n\) into each term separately before simplifying.
क्रमागत अंतर \(8,10,12\) हैं और इनके अंतर \(2\) स्थिर हैं, इसलिए अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=n^2+5n+4\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(10,18,28,40\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A केवल पहले दो पदों के लिए सही दिखता है, लेकिन \(n=3\) पर \(26\) देता है, जबकि तीसरा पद \(28\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद चुनने से पहले उसे कम-से-कम पहले तीन पदों पर जाँचें। / The consecutive differences are \(8,10,12\), and their second differences are constant at \(2\), so the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+5n+4\) gives \(10,18,28,40\), respectively. Option A matches only the first two terms; at \(n=3\), it gives \(26\), not \(28\). Exam tip: always test a proposed general term using at least the first three terms.
इसका नियम \(a_n=12n-5\) है और (12n-5=151) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=12n-5\) and (12n-5=151) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
पहले पाँच पद (7,19,31,43,55) हैं और औसत (31) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (7,19,31,43,55) and the average is (31). In exams divide the sum by the number of terms.
(\frac{n(3n+2)}{4}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / (\frac{n(3n+2)}{4}) gives the given terms. In exams match fractional terms with options too.
\(n=4\) रखने पर \(a_4=\frac{4(3\times4+2)}{4}=\frac{4(14)}{4}=14\)। अतः सही उत्तर \(14\) है। \(13\) विकल्प \(3n+2\) का मान गलत निकालने पर आ सकता है। परीक्षा सुझाव: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक के भीतर की गणना करें। / Putting \(n=4\), \(a_4=\frac{4(3\times4+2)}{4}=\frac{4(14)}{4}=14\). Hence, the correct answer is \(14\). Option \(13\) may result from calculating \(3n+2\) incorrectly. Exam tip: substitute the value of \(n\) first and evaluate the expression inside the brackets carefully.
(n=1) पर (88) और (n=2) पर (81) मिलता है इसलिए \(a_n=95-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (88) and at (n=2) it gives (81) so \(a_n=95-7n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_4=67\) और \(a_8=39\) इसलिए योग (106) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_4=67\) and \(a_8=39\) so the sum is (106). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
\(a_n=3n^3-n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,22,78,188\) प्राप्त होते हैं, इसलिए यह सही सामान्य पद है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2n^3\) से पहला पद 2 तो मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 16 मिलता है, 22 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में कम-से-कम पहले दो या तीन पद रखकर विकल्प जाँचें। / For \(a_n=3n^3-n\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,22,78,188\), respectively, so it is the correct general term. The close distractor \(2n^3\) gives the first term as 2, but for \(n=2\) it gives 16, not 22. Exam tip: test at least the first two or three values of \(n\) when checking a proposed general term.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^3+2\) से क्रमशः \(3,10,29,66\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^3+2\) है। \(a_n=n^2+2\) में तीसरा पद \(11\) आता है, \(29\) नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^3+2\) gives \(3,10,29,66\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=n^3+2\). In contrast, \(a_n=n^2+2\) gives \(11\) as the third term, not \(29\). Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first three terms.
दिया है \(a_n=n^3+2\)। \(a_n=66\) रखने पर \(n^3+2=66\), अतः \(n^3=64\)। क्योंकि \(4^3=64\), इसलिए \(n=4\) और \(a_4=66\)। \(n=3\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर \(3^3+2=29\), 66 नहीं। परीक्षा टिप: पहले स्थिर संख्या घटाइए, फिर प्राप्त संख्या का घनमूल पहचानिए। / Given \(a_n=n^3+2\), set \(a_n=66\): \(n^3+2=66\), so \(n^3=64\). Since \(4^3=64\), \(n=4\) and hence \(a_4=66\). The close distractor \(n=3\) gives \(3^3+2=29\), not 66. Exam tip: subtract the constant first, then identify the cube root.
