Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,12,58,248\) प्राप्त होते हैं: \(4^1-2(1)=2\) और \(4^2-2(2)=12\)। इसलिए सही स्पष्ट नियम \(a_n=4^n-2n\) है। विकल्प B केवल रैखिक नियम है, इसलिए इसका दूसरा पद \(6\) होगा, \(12\) नहीं। परीक्षा टिप: स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n\) के मान रखकर मिलान करें। / For option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,12,58,248\), respectively: \(4^1-2(1)=2\) and \(4^2-2(2)=12\). Hence, the correct explicit rule is \(a_n=4^n-2n\). Option B is only a linear rule, so its second term would be \(6\), not \(12\). Exam tip: test an explicit rule by substituting at least the first three values of \(n\).
दिया है \(a_n=4^n-2n\)। n=3 रखने पर (a_3=43-2(3)=64-6=58) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 58 है। 56 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब 2n का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में n का मान रखते समय घात और गुणा, दोनों का अलग-अलग ध्यान रखें। / Given \(a_n=4^n-2n\). Substituting n=3 gives (a_3=43-2(3)=64-6=58). Therefore, 58 is the correct answer. An answer such as 56 may result from evaluating 2n incorrectly. Exam tip: while substituting a value in a general term, evaluate the exponent and multiplication carefully.
\(5n^2-2\) से (3,18,43,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम जाँचें। / \(5n^2-2\) gives (3,18,43,78). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
दिया है कि \(a_n=5n^2-2\)। अतः \(a_3=5(3)^2-2=45-2=43\) और \(a_4=5(4)^2-2=80-2=78\)। इसलिए \(a_3+a_4=43+78=121\)। विकल्प 122 तब मिलता यदि किसी पद या योग में 1 की गणना-त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए पहले \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग निकालें। / Given \(a_n=5n^2-2\), \(a_3=5(3)^2-2=45-2=43\) and \(a_4=5(4)^2-2=80-2=78\). Therefore, \(a_3+a_4=43+78=121\). Option 122 could result from an arithmetic error of 1 in a term or in the addition. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately and calculate the square first.
पहला पद (13) और अंतर (11) है इसलिए \(a_n=11n+2\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (13) and the difference is (11) so \(a_n=11n+2\). In exams find the constant part from the first term.
दिया है कि प्रत्येक पद का नियम a_n=11n+2 है। अतः a_3=11(3)+2=35 तथा a_7=11(7)+2=79। इसलिए a_3+a_7=35+79=114। 112 तब मिल सकता है जब स्थिर पद 2 को एक बार छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: अलग-अलग पद निकालते समय n के स्थान पर सही पद-संख्या रखकर फिर योग करें। / The rule for the terms is a_n=11n+2. Thus, a_3=11(3)+2=35 and a_7=11(7)+2=79. Therefore, a_3+a_7=35+79=114. The value 112 may result from omitting the constant term 2 once. Exam tip: substitute the term number correctly for n in each term before adding them.
\(\frac{3n+2}{4}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{3n+2}{4}\) gives the given terms. In exams match fractional terms using small values of (n).
इसका नियम \(a_n=9n-6\) है और (9n-6=111) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=9n-6\) and (9n-6=111) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
A. समांतर श्रेणी; सार्वांतर 5/Arithmetic progression; common difference 5
Explanation
Simple Explanation
\(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\) हर पद के लिए स्थिर है। इसलिए यह समांतर श्रेणी है और सार्वांतर 5 है, -2 केवल स्थिर पद है। परीक्षा टिप: \(n\) का गुणांक AP का सार्वांतर बताता है। / \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant for every term. Hence it is an AP with common difference 5; -2 is only the constant term. Exam tip: in \(pn+q\), \(p\) is the common difference.
दिया है कि \(a_n=n^2+4n\)। अतः \(a_1=1^2+4(1)=5\), \(a_2=2^2+4(2)=12\) और \(a_3=3^2+4(3)=21\)। इसलिए पहले तीन पदों का योग \(5+12+21=38\) है। \(39\) निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन सही जोड़ 38 ही है। परीक्षा टिप: पहले \(n=1,2,3\) रखकर पद निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=n^2+4n\), we get \(a_1=1^2+4(1)=5\), \(a_2=2^2+4(2)=12\), and \(a_3=3^2+4(3)=21\). Therefore, the sum of the first three terms is \(5+12+21=38\). Although 39 is a close distractor, the correct addition gives 38. Exam tip: substitute \(n=1,2,3\) first, then add the resulting terms.
क्रमागत पदों के अंतर \(10,14,18\) हैं और इनके अंतर \(4,4\) हैं, इसलिए अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप में होगा। \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2n^2+4n-3\) से क्रमशः \(3,13,27,45\) प्राप्त होते हैं। \(a_n=10n-7\) केवल पहले दो पदों \(3\) और \(13\) से मेल खाता है, आगे के पदों से नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर देखें। / The consecutive differences are \(10,14,18\), and their second differences are \(4,4\); therefore, the sequence has a quadratic general term. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2+4n-3\) gives \(3,13,27,45\), respectively. \(a_n=10n-7\) matches only the first two terms, not the later terms. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
दिया है \(a_n=2n^2+4n-3\)। \(n=2\) रखने पर \(a_2=2(2)^2+4(2)-3=8+8-3=13\)। इसी प्रकार \(n=3\) रखने पर \(a_3=2(3)^2+4(3)-3=18+12-3=27\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_2\) का मान गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग वाले पद की गणना सावधानी से करें। / Given \(a_n=2n^2+4n-3\). Substituting \(n=2\), \(a_2=2(2)^2+4(2)-3=8+8-3=13\). Similarly, for \(n=3\), \(a_3=2(3)^2+4(3)-3=18+12-3=27\). Therefore, option A is correct. In option B, the value of \(a_2\) is incorrect. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately and calculate the squared term carefully.
दिया है कि a_n=5n-2+n। अतः a_4=5(4)2+4=80+4=84 तथा a_2=5(2)2+2=20+2=22। इसलिए a_4:a_2=84:22=42:11। विकल्प 11:42 अनुपात को उलट देता है, जबकि 21:11 में केवल पहले पद को गलत तरीके से सरल किया गया है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने से पहले दोनों पदों के मान अलग-अलग ज्ञात करें और फिर दोनों को समान गुणनखंड से सरल करें। / Given a_n=5n-2+n, a_4=5(4)2+4=80+4=84 and a_2=5(2)2+2=20+2=22. Hence, a_4:a_2=84:22=42:11. The ratio 11:42 reverses the terms, while 21:11 simplifies only the first term incorrectly. Exam tip: evaluate both terms separately before reducing a ratio by a common factor.
\(3n^2+4\) से (7,16,31,52) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(3n^2+4\) gives (7,16,31,52). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
\(5\cdot3^n\) से (15,45,135,405) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर वृद्धि में आधार और गुणक दोनों जाँचें। / \(5\cdot3^n\) gives (15,45,135,405). In exams check both the base and multiplier in geometric growth.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=3^n-1\)। अतः \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4-1=81-1=80\) होगा। विकल्प 81 में केवल \(3^4\) लिया गया है, लेकिन सूत्र के अनुसार उसमें से 1 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ क्रम से करें। / The general term is \(a_n=3^n-1\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=3^4-1=81-1=80\). Option 81 represents only \(3^4\), but the formula also requires subtracting 1. Exam tip: substitute the term number first, then evaluate powers and remaining operations in order.
सामान्य पद \(a_n=3^n-1\) रखने पर \(a_1=3-1=2\), \(a_2=9-1=8\), \(a_3=27-1=26\) और \(a_4=81-1=80\) मिलते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। \(a_n=2^n+n\) में पहला पद 3 आता है, इसलिए वह निकट दिखने पर भी गलत है। परीक्षा में नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पद अवश्य मिलाइए। / Using \(a_n=3^n-1\), we get \(a_1=3-1=2\), \(a_2=9-1=8\), \(a_3=27-1=26\), and \(a_4=81-1=80\). Hence, option A is correct. Although \(a_n=2^n+n\) may look similar, its first term is 3, so it is incorrect. Exam tip: verify a proposed rule with at least the first three terms.
दिया है कि \(a_n=2^n+3\)। इसलिए \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6+3=64+3=67\) मिलता है। विकल्प 65 तब मिलता यदि 3 जोड़ने में त्रुटि हो जाए, जबकि यहाँ 64 में 3 जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद का मान निकालते समय पहले दिए गए \(n\) को नियम में प्रतिस्थापित करें, फिर घात का मान ज्ञात करें। / Given \(a_n=2^n+3\), substitute \(n=6\): \(a_6=2^6+3=64+3=67\). Option 65 could result from an addition error; the constant 3 must be added to 64. Exam tip: to find a term from an explicit rule, substitute the term number first and evaluate the exponent carefully.
\(9^2+18-2=97\) नहीं बल्कि (n=8) पर (78) और (n=9) पर (97) मिलता है इसलिए कोई विकल्प सही नहीं है। परीक्षा में विकल्पों को सीधे रखकर जाँचें। / Putting (n=9) gives (97), while (n=8) gives (78), so none of the options is correct. In exams check options by direct substitution.
विकल्प A में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(1,6,13,22\) प्राप्त होते हैं। अतः सामान्य पद \(a_n=n^2+2n-2\) है। विकल्प C केवल पहले दो पदों के लिए मिलान करता है; \(n=3\) पर यह 11 देता है, जबकि दिया गया तीसरा पद 13 है। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम तीन या चार पदों पर \(n\) के मान रखें। / In option A, substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(1,6,13,22\), respectively. Therefore, the general term is \(a_n=n^2+2n-2\). Option C matches only the first two terms; at \(n=3\), it gives 11 instead of 13. Exam tip: verify a proposed general term using at least three or four terms.
त्रिभुज संख्या में (3) जोड़ने से (4,6,9,13) मिलते हैं। परीक्षा में बढ़ते अंतर (2,3,4) देखकर त्रिभुज संख्या सोचें। / Adding (3) to triangular numbers gives (4,6,9,13). In exams think of triangular numbers when differences are (2,3,4).
दिया गया अनुक्रम 6, 12, 20, 30 है। \(a_n=n^2+3n+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः 6, 12, 20, 30 प्राप्त होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B का दूसरा पद 12 तो है, पर तीसरा पद 18 होगा, 20 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर मिलान करें। / For \(a_n=n^2+3n+2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives 6, 12, 20, and 30 respectively. Hence, option A is correct. Option B gives 12 as its second term, but its third term is 18, not 20. Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first three terms.
दिया गया सामान्य पद
\(a_n=(n+3)^2\) है। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(5+3)^2=8^2=64\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 64 है। 81 तब मिलता यदि कोष्ठक का मान 9 होता। परीक्षा टिप: घात लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान अवश्य निकालें। / The general term is \(a_n=(n+3)^2\). Substituting \(n=5\), we get \(a_5=(5+3)^2=8^2=64\). Hence, 64 is the correct answer. The value 81 would result only if the quantity inside the bracket were 9. Exam tip: evaluate the expression inside brackets before squaring it.
ये पद \(4^2,5^2,6^2,7^2\) हैं इसलिए (a_n=(n+3)2) है। परीक्षा में स्थानांतरित वर्ग संख्याएँ पहचानें। / These terms are \(4^2,5^2,6^2,7^2\) so (a_n=(n+3)2). In exams recognize shifted square numbers.
इसका नियम \(a_n=7n-2\) है और (7n-2=61) से (n=9) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=7n-2\) and (7n-2=61) gives (n=9). In exams form the general term first to find the term number.
(4n+9=73) से (n=16) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (4n+9=73) we get (n=16). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
(n=1) पर (70) और (n=2) पर (64) मिलता है इसलिए \(a_n=76-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (70) and at (n=2) it gives (64) so \(a_n=76-6n\). In exams match the first term in a decreasing sequence.
अंतर (9) है और पहला पद (14) है इसलिए \(a_n=9n+5\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The difference is (9) and the first term is (14) so \(a_n=9n+5\). In exams take the difference as the coefficient of (n).
पहला पद (8) और अंतर (5) है इसलिए \(a_n=5n+3\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (8) and the difference is (5) so \(a_n=5n+3\). In exams check the first term by putting (n=1).
दिया है, \(a_n=2n^2+n-1\)। अतः \(a_6=2(6)^2+6-1=72+6-1=77\) और \(a_2=2(2)^2+2-1=8+2-1=9\)। इसलिए \(a_6-a_2=77-9=68\)। विकल्प 72 केवल \(2(6)^2\) है; इसमें \(+6-1\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों पद अलग-अलग ज्ञात करें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=2n^2+n-1\), \(a_6=2(6)^2+6-1=72+6-1=77\) and \(a_2=2(2)^2+2-1=8+2-1=9\). Therefore, \(a_6-a_2=77-9=68\). The value 72 is only \(2(6)^2\), so it ignores the \(+6-1\) part of the rule. Exam tip: calculate each required term separately before finding their difference.
