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परिमाण \(6,9,12,15,\ldots\) है और चिह्न बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}3(n+1))। पहले पद के चिह्न से ((-1)) की शक्ति तय करें। / The magnitude is \(6,9,12,15,\ldots\) and signs alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}3(n+1)). Use the first term sign to decide the power of ((-1)).
दिया है \(\frac{n(n+1)}{2}=45\)। अतः \(n(n+1)=90\), इसलिए \(n^2+n-90=0\)। इसे गुणनखंडित करने पर \((n-9)(n+10)=0\) मिलता है। पद संख्या धनात्मक होती है, इसलिए \(n=9\)। अतः 45, अनुक्रम का 9वाँ पद है। 10वाँ पद \(\frac{10\times11}{2}=55\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले हर को हटाकर प्राप्त द्विघात समीकरण का धनात्मक हल लें। / Given \(\frac{n(n+1)}{2}=45\), we get \(n(n+1)=90\), so \(n^2+n-90=0\). Factoring gives \((n-9)(n+10)=0\). Since a term number must be positive, \(n=9\). Therefore, 45 is the 9th term of the sequence. The 10th term is \(\frac{10\times11}{2}=55\), so it is not correct. Exam tip: Clear the denominator first and take the positive root of the resulting quadratic equation.
यह \(1^3+1,2^3+1,3^3+1,4^3+1,\ldots\) है इसलिए \(a_n=n^3+1\)। घन अनुक्रम में स्थिर वृद्धि को पहचानें। / This is \(1^3+1,2^3+1,3^3+1,4^3+1,\ldots\), so \(a_n=n^3+1\). In cube sequences identify the constant shift.
तीन अंतरों में वृद्धि (12) है इसलिए (d=4), अतः (a_9=25+3(4)=37)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over three gaps is (12), so (d=4), hence (a_9=25+3(4)=37). Extend the terms using the common difference.
दिया है, \(a_n=12-2n\)। पहला ऋणात्मक पद पाने के लिए \(12-2n<0\) हल करते हैं: \(n>6\)। अतः सबसे छोटा पूर्णांक \(n=7\) है। वास्तव में \(a_6=0\), जो ऋणात्मक नहीं है, जबकि \(a_7=12-14=-2\) है। इसलिए सातवाँ पद पहला ऋणात्मक पद है। परीक्षा टिप: ‘ऋणात्मक’ के लिए पद का मान \(0\) से छोटा होना चाहिए, \(0\) नहीं। / Given \(a_n=12-2n\), for the first negative term we need \(12-2n<0\). This gives \(n>6\), so the smallest integer value of \(n\) is \(7\). Indeed, \(a_6=0\), which is not negative, whereas \(a_7=12-14=-2\). Therefore, the 7th term is the first negative term. Exam tip: a negative term must be less than \(0\); zero is neither positive nor negative.
दिया है \(a_n=n^2+cn\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^2+3c=9+3c\) होगा। क्योंकि \(a_3=18\), इसलिए \(9+3c=18\), अतः \(3c=9\) और \(c=3\)। इसलिए सही विकल्प 3 है। विकल्प 2 रखने पर \(a_3=9+6=15\) मिलता है, जो दिए गए मान 18 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में दिए गए विशेष पद के लिए \(n\) का मान सीधे प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=n^2+cn\), substitute \(n=3\): \(a_3=3^2+3c=9+3c\). Since \(a_3=18\), \(9+3c=18\), so \(3c=9\) and \(c=3\). Therefore, option 3 is correct. If \(c=2\), then \(a_3=9+6=15\), not 18. Exam tip: substitute the specified value of \(n\) directly into the general term.
सही नियम \(a_n=3n^2+2\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,14,29,50\) प्राप्त होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a_n=3n^2+n\) में \(n=1\) रखने पर \(4\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखिए। / The correct rule is \(a_n=3n^2+2\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(5,14,29,50\), respectively. The closest distractor, \(a_n=3n^2+n\), gives \(4\) when \(n=1\), so it cannot represent the sequence. Exam tip: verify a proposed general rule using at least the first two or three terms.
\(a_8=68\) और \(a_3=23\), इसलिए अंतर (45) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_8=68\) and \(a_3=23\), so the difference is (45). Calculate both terms separately before subtracting.
अंश (n) और हर (2n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{n}{2n+1}\)। भिन्नों में हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (n) and the denominator is (2n+1), so \(a_n=\frac{n}{2n+1}\). In fractions observe the denominator growth carefully.
अंश \(n^2+1\) और हर (n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+1}{n+2}\)। भिन्न अनुक्रम में अंश का अलग पैटर्न पहचानें। / The numerator is \(n^2+1\) and the denominator is (n+2), so \(a_n=\frac{n^2+1}{n+2}\). In a fractional sequence identify the numerator pattern separately.
पहले तीन पदों के लिए n=1, 2, 3 रखें। a₁=2(1)²+2(1)+1=5, a₂=2(2)²+2(2)+1=13 तथा a₃=2(3)²+2(3)+1=25। इसलिए सही क्रम (5, 13, 25) है। विकल्प C में पहला पद सही है, पर n=2 रखने पर 11 नहीं बल्कि 13 मिलता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए n का मान अलग-अलग रखकर घात का मान पहले निकालें। / Substitute n=1, 2, and 3 to obtain the first three terms. a₁=2(1)²+2(1)+1=5, a₂=2(2)²+2(2)+1=13, and a₃=2(3)²+2(3)+1=25. Hence, the correct sequence is (5, 13, 25). Option C has the correct first term, but for n=2 the value is 13, not 11. Exam tip: evaluate the squared term first and substitute each value of n separately.
सामान्य पद \(a_n=50-5n\) है और (50-5n=0) से (n=10)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक रहती है। / The general term is \(a_n=50-5n\), and (50-5n=0) gives (n=10). Even in a decreasing sequence the position remains natural.
दिया है, \(a_n=4n^2-1\)। इसलिए \(a_5=4(5)^2-1=100-1=99\) और \(a_1=4(1)^2-1=3\)। अतः \(a_5+a_1=99+3=102\)। विकल्प 100 केवल \(4\times 5^2\) है; उसमें \(-1\) तथा \(a_1\) दोनों शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: सामान्य पद में प्रत्येक आवश्यक \(n\) का मान अलग-अलग रखकर फिर जोड़ें। / Given \(a_n=4n^2-1\), \(a_5=4(5)^2-1=100-1=99\) and \(a_1=4(1)^2-1=3\). Hence, \(a_5+a_1=99+3=102\). Option 100 is only \(4\times 5^2\); it ignores both the \(-1\) and \(a_1\). Exam tip: Substitute each required value of \(n\) separately before adding the terms.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-3) है इसलिए समान अंतर (-3) है। \(a_n\) के गुणांक को ध्यान से पढ़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-3), so the common difference is (-3). Read the coefficient of \(a_n\) carefully.
सही नियम \(a_n=n^2+5n\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(6,14,24,36\) प्राप्त होते हैं। साथ ही, पदों के अंतर \(8,10,12\) हैं, जिनके अंतर \(2\) हैं; इसलिए अनुक्रम का नियम द्विघात रूप का होना चाहिए। विकल्प B में पहला पद 6 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 12 मिलता है, 14 नहीं। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों में \(n=1,2,3\) रखें। / The correct rule is \(a_n=n^2+5n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(6,14,24,36\), respectively. Also, the first differences are \(8,10,12\), whose differences are \(2\); hence the sequence should have a quadratic rule. Option B gives the first term as 6, but for \(n=2\) it gives 12, not 14. Exam tip: test a proposed rule with at least the first three values, \(n=1,2,3\).
यह \(2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+1)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots\), so (a_n=(n+1)3). In cube sequences identify the base number.
(a_4=\frac{2(4)+3}{4+1}=\frac{11}{5})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_4=\frac{2(4)+3}{4+1}=\frac{11}{5}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
\(a_n=n^2-2n+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(1,2,5,10\) प्राप्त होते हैं। अतः यही दिया गया सामान्य पद है। विकल्प B से पहला पद \(2\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में सामान्य पद जाँचने के लिए \(n=1\) से प्रारम्भिक कुछ मान अवश्य रखिए। / For \(a_n=n^2-2n+2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(1,2,5,10\), respectively. Hence, it is the required general term. Option B gives the first term as \(2\), so it cannot represent the sequence. In an exam, verify a proposed general term by substituting the first few values of \(n\).
दिया है: \(n^2+2n=80\)। अतः \(n^2+2n-80=0\), जिसे गुणनखंड करने पर \((n+10)(n-8)=0\) मिलता है। इसलिए \(n=-10\) या \(n=8\) हो सकता है। अनुक्रम में पद-क्रमांक \(n\) धनात्मक पूर्णांक होता है, इसलिए \(n=8\) सही है। \(n=9\) निकट का विकल्प है, पर उसके लिए \(a_9=81+18=99\), 80 नहीं। परीक्षा टिप: पद-क्रमांक वाले प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को स्वीकार करने से पहले जाँचें कि \(n\) का मान प्राकृतिक संख्या होना चाहिए। / Given \(n^2+2n=80\), we get \(n^2+2n-80=0\). Factoring gives \((n+10)(n-8)=0\), so \(n=-10\) or \(n=8\). Since a sequence index \(n\) is a positive integer, \(n=8\) is valid. Option 9 is a close distractor, but \(a_9=81+18=99\), not 80. Exam tip: for term-position questions, check whether a negative root is allowed before selecting it.
\(a_4-a_1=12\) और तीन अंतर हैं इसलिए (d=4), अतः (a_n=8+(n-1)4=4n+4)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_4-a_1=12\) and there are three gaps, so (d=4), hence (a_n=8+(n-1)4=4n+4). Find the common difference first.
सामान्य पद \(a_n=6n+1\) है इसलिए \(a_{25}=151\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=6n+1\), so \(a_{25}=151\). Use the same general rule even for a large term.
परिमाण \(3,5,7,9,\ldots\) है और चिह्न ऋण से शुरू होकर बदलता है, इसलिए (a_n=(-1)^n(2n+1))। वैकल्पिक चिह्न में पहले पद का चिह्न जरूर जांचें। / The magnitude is \(3,5,7,9,\ldots\) and the signs start negative and alternate, so (a_n=(-1)^n(2n+1)). In alternating signs always check the sign of the first term.
पहले चार पदों के लिए क्रमशः \(n=1,2,3,4\) रखें: \(a_1=2^1+1=3\), \(a_2=2^2+2=6\), \(a_3=2^3+3=11\) और \(a_4=2^4+4=20\)। इसलिए सही क्रम \((3,6,11,20)\) है। विकल्प C में पहला और चौथा पद सही हैं, लेकिन दूसरे तथा तीसरे पद की गणना गलत है। परीक्षा टिप: हर पद में पहले \(2^n\) निकालें, फिर उसमें \(n\) जोड़ें। / Substitute \(n=1,2,3,4\) respectively: \(a_1=2^1+1=3\), \(a_2=2^2+2=6\), \(a_3=2^3+3=11\), and \(a_4=2^4+4=20\). Hence, the correct sequence is \((3,6,11,20)\). Option C has the correct first and fourth terms, but its second and third calculations are incorrect. Exam tip: evaluate \(2^n\) first, then add \(n\).
यहाँ पदों का क्रमांक \(n=1,2,3,4,\ldots\) लेने पर \(a_n=n^2-1\) से क्रमशः \(1^2-1=0\), \(2^2-1=3\), \(3^2-1=8\) और \(4^2-1=15\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C से पद \(0,2,4,6,\ldots\) मिलते हैं, इसलिए वह केवल रैखिक नियम है और दिए गए अनुक्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले चार पदों में \(n=1,2,3,4\) रखकर नियम को तुरंत जाँचें। / Taking the term number as \(n=1,2,3,4,\ldots\), the rule \(a_n=n^2-1\) gives \(1^2-1=0\), \(2^2-1=3\), \(3^2-1=8\), and \(4^2-1=15\). Hence, option B is correct. Option C gives \(0,2,4,6,\ldots\), which is a linear pattern and does not match the given sequence. Exam tip: substitute \(n=1,2,3,4\) to verify an explicit rule quickly.
दिया है कि \(a_n=2n^2+3\)। अतः \(a_3=2(3)^2+3=18+3=21\) और \(a_4=2(4)^2+3=32+3=35\)। इसलिए \(a_3+a_4=21+35=56\)। विकल्प 52 तब मिल सकता है जब स्थिर पद \(+3\) को दोनों पदों में सही ढंग से शामिल न किया जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=2n^2+3\), \(a_3=2(3)^2+3=18+3=21\) and \(a_4=2(4)^2+3=32+3=35\). Therefore, \(a_3+a_4=21+35=56\). The value 52 may result from not including the constant term \(+3\) correctly in both terms. Exam tip: substitute the value of \(n\) and calculate each term separately before adding.
\(\frac{n}{n+2}=\frac{5}{7}\) से (7n=5n+10) और (n=5)। भिन्न समीकरण में क्रॉस गुणा करें। / From \(\frac{n}{n+2}=\frac{5}{7}\), (7n=5n+10) and (n=5). Use cross multiplication in fractional equations.
सही नियम \(a_n=n^2+n+1\) है। \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,7,13,21\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A में दूसरा पद \(6\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में नियम को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / The correct rule is \(a_n=n^2+n+1\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(3,7,13,21\), respectively. In option A, the second term is \(6\), so it does not match the sequence. In an exam, verify a rule using at least the first two or three terms.
पहला पद (4) और अंतर (6) है इसलिए (a_n=4+(n-1)6=6n-2)। वर्णन से नियम बनाते समय पहला पद न भूलें। / The first term is (4) and the difference is (6), so (a_n=4+(n-1)6=6n-2). Do not forget the first term while forming a rule from words.
दिया है \(a_n=kn+2\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=7k+2\) होगा। अतः \(7k+2=37\), इसलिए \(7k=35\) और \(k=5\)। विकल्प 6 लेने पर \(a_7=44\) मिलता है, जो 37 नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में दिए गए पद का क्रमांक रखकर अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें। / Given \(a_n=kn+2\). Substituting \(n=7\) gives \(a_7=7k+2\). Thus, \(7k+2=37\), so \(7k=35\) and \(k=5\). If \(k=6\), then \(a_7=44\), not 37. Exam tip: substitute the given term number into the general term to find an unknown constant.
नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर: \(a_1=1^2+3(1)-1=3\), \(a_2=2^2+3(2)-1=9\), और \(a_3=3^2+3(3)-1=17\)। अतः पहले तीन पद \((3, 9, 17)\) हैं, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में दूसरा पद 9 सही है, पर पहला और तीसरा पद नियम से नहीं मिलते। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में हमेशा \(n=1\) से शुरुआत करें। / Substitute \(n=1,2,3\) into the rule: \(a_1=1^2+3(1)-1=3\), \(a_2=2^2+3(2)-1=9\), and \(a_3=3^2+3(3)-1=17\). Thus, the first three terms are \((3, 9, 17)\), so option B is correct. In option A, the second term is 9, but the first and third terms do not follow the rule. Exam tip: for a general-term question, begin by substituting \(n=1\).
