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\(a_5-a_2=9\) और तीन अंतर हैं इसलिए (d=3), फिर \(a_n=3n+1\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / \(a_5-a_2=9\) and there are three gaps, so (d=3), then \(a_n=3n+1\). From two given terms first find the common difference.
अंश (2n-1) और हर (n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{2n-1}{n+1}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is (2n-1) and the denominator is (n+1), so \(a_n=\frac{2n-1}{n+1}\). In a fraction sequence form rules for both parts separately.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=5^n\)। इसलिए \(n=4\) रखने पर \(a_4=5^4=5\times5\times5\times5=625\) मिलता है। विकल्प 125, \(5^3\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी स्पष्ट नियम में मांगे गए पद का सूचकांक सीधे \(n\) के स्थान पर रखें। / The rule for the terms is \(a_n=5^n\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=5^4=5\times5\times5\times5=625\). Option 125 is the value of \(5^3\), so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: in an explicit rule, substitute the required term number directly for \(n\).
यह विषम संख्याओं के वर्ग \(1^2,3^2,5^2,7^2,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(2n-1)2)। वर्गों में आधार का पैटर्न देखें। / These are squares of odd numbers \(1^2,3^2,5^2,7^2,\ldots\), so (a_n=(2n-1)2). In squares observe the base pattern.
C. (50) इस अनुक्रम का पद नहीं है/(50) is not a term of this sequence
Explanation
Simple Explanation
सामान्य पद \(a_n=4n+4\) है और (4n+4=50) से \(n=\frac{23}{2}\) मिलता है। पद-संख्या प्राकृतिक संख्या न हो तो दिया पद अनुक्रम में नहीं होगा। / The general term is \(a_n=4n+4\), and (4n+4=50) gives \(n=\frac{23}{2}\). If the position is not a natural number, the given number is not a term.
यहाँ पदों का क्रमांक \(n=1,2,3,\ldots\) लेने पर \(a_n=n^2+2n-1\) से \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\) और \(a_4=23\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम विकल्प \(n^2+n\) में दूसरा पद \(6\) आता है, जबकि अनुक्रम में दूसरा पद \(7\) है। परीक्षा टिप: जब प्रथम अंतर \(5,7,9\) जैसे लगातार बढ़ें, तो द्विघात रूप वाले नियम की जाँच करें। / Taking the term number as \(n=1,2,3,\ldots\), the rule \(a_n=n^2+2n-1\) gives \(a_1=2\), \(a_2=7\), \(a_3=14\), and \(a_4=23\). Hence, option A is correct. The closest distractor, \(n^2+n\), gives the second term as \(6\), not \(7\). Exam tip: when first differences increase regularly, such as \(5,7,9\), test a quadratic rule.
इसका नियम \(a_n=n^2+3n+1\) है इसलिए \(a_8=64+24+1=89\)। पहले सामान्य नियम पहचानें फिर पद निकालें। / Its rule is \(a_n=n^2+3n+1\), so \(a_8=64+24+1=89\). First identify the general rule and then find the term.
पहले दोनों नियमों में n=4 रखें। \(a_4=2(4)+1=9\) और \(b_4=4^2-1=15\)। अतः \(a_4+b_4=9+15=24\)। 26 तब मिलता यदि किसी पद का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: संयुक्त योग पूछे जाने पर प्रत्येक अनुक्रम का पद अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / Substitute n=4 into both rules. \(a_4=2(4)+1=9\) and \(b_4=4^2-1=15\). Therefore, \(a_4+b_4=9+15=24\). A result such as 26 comes from evaluating one of the terms incorrectly. Exam tip: find each sequence term separately before adding them.
यह \(1^3,2^3,3^3,4^3,\ldots\) है इसलिए \(a_n=n^3\)। घन अनुक्रम में पदों को घन रूप में पहचानें। / This is \(1^3,2^3,3^3,4^3,\ldots\), so \(a_n=n^3\). In cube sequences identify terms as cubes.
चिह्न बारी-बारी से बदलता है और परिमाण (n) है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}n)। वैकल्पिक चिह्न में ((-1)^n) की शक्ति ध्यान से चुनें। / The sign alternates and the magnitude is (n), so (a_n=(-1)^{n+1}n). In alternating signs choose the power of ((-1)^n) carefully.
यह \(3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+2)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\), so (a_n=(n+2)2). In square sequences relate the base number to (n).
पाँचवें पद के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\)। अतः सही उत्तर 80 है। 160 तब मिलता यदि घात में गलती से \(n\) रखकर \(2^5\) लिया जाता। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद संख्या रखने से पहले कोष्ठक या घातांक को ध्यान से पढ़ें। / For the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\). Therefore, 80 is correct. The value 160 would result from incorrectly using \(2^5\) instead of \(2^{n-1}\). Exam tip: Read the exponent carefully before substituting the term number.
दिया गया नियम a_n=n(n+2) है। n=1 रखने पर 1(1+2)=3, n=2 पर 2(2+2)=8, n=3 पर 3(3+2)=15 और n=4 पर 4(4+2)=24 मिलता है। अतः पहले चार पद (3, 8, 15, 24) हैं, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A में पहला पद 2 है, जबकि n=1 के लिए सही मान 3 होना चाहिए। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में n=1 से क्रमशः मान रखकर पद निकालें। / The rule is a_n=n(n+2). Substituting n=1 gives 1(1+2)=3; n=2 gives 2(2+2)=8; n=3 gives 3(3+2)=15; and n=4 gives 4(4+2)=24. Therefore, the first four terms are (3, 8, 15, 24), so option C is correct. Option A begins with 2, but the correct first term for n=1 must be 3. Exam tip: For a general-term question, substitute n=1, 2, 3, and so on in order.
अंश (n+1) और हर (2n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{n+1}{2n+1}\)। भिन्न में अंश और हर के पैटर्न अलग देखें। / The numerator is (n+1) and the denominator is (2n+1), so \(a_n=\frac{n+1}{2n+1}\). In fractions observe numerator and denominator patterns separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (6,12,20,30) मिलते हैं। नियम से पद निकालते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (6,12,20,30). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
दिया है कि a_n=6n+1 और a_n=55। अतः 6n+1=55, इसलिए 6n=54 तथा n=9। इसलिए 55 अनुक्रम का 9वाँ पद है। 8वाँ पद 6(8)+1=49 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का स्थान ज्ञात करने के लिए a_n के व्यंजक को उस पद के मान के बराबर रखकर n हल करें। / Given a_n=6n+1 and a_n=55, set 6n+1=55. Thus, 6n=54 and n=9. Therefore, 55 is the 9th term of the sequence. The 8th term would be 6(8)+1=49, so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate the general term a_n to that value and solve for n.
दिया है
\(a_n=4n^2-3n\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4(5)^2-3(5)=4\times25-15=100-15=85\)। इसलिए सही उत्तर 85 है। 100 केवल \(4\times5^2\) का मान है; इसमें \(-3n\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान रखें, फिर घात का मान निकालें और अंत में गुणा-घटाव करें। / Given \(a_n=4n^2-3n\). To find the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=4(5)^2-3(5)=4\times25-15=100-15=85\). Hence, the correct answer is 85. The value 100 comes from \(4\times5^2\) alone; the term \(-3n\) must also be subtracted. Exam tip: substitute the term number first, evaluate the power next, and then perform multiplication and subtraction.
पहला पद (18) और अंतर (-4) है इसलिए (a_n=18+(n-1)(-4)=22-4n)। घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक रखें। / The first term is (18) and the difference is (-4), so (a_n=18+(n-1)(-4)=22-4n). Keep the difference negative in a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=4^n-n\)। अतः \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3-3=64-3=61\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 61 है। 60 तब मिलता यदि केवल 64 में से 4 घटाया जाता, जबकि सूत्र में \(n=3\) घटाना है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=4^n-n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=4^3-3=64-3=61\). Therefore, 61 is the correct option. The value 60 would result from subtracting 4 from 64, but the formula requires subtracting \(n=3\). Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent carefully.
(\frac{n(2n+1)}{3}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / (\frac{n(2n+1)}{3}) gives the given terms. In exams match fractional terms with options too.
(n=1) पर (74) और (n=2) पर (68) मिलता है इसलिए \(a_n=80-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (74) and at (n=2) it gives (68) so \(a_n=80-6n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_4=56\) और \(a_7=38\) इसलिए योग (94) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_4=56\) and \(a_7=38\) so the sum is (94). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
सही विकल्प \(a_n=2n^3+n\) है। जाँच करें: \(n=1\) पर \(a_1=2(1)^3+1=3\), \(n=2\) पर \(a_2=2(2)^3+2=18\), और \(n=3\) पर \(a_3=2(3)^3+3=57\) मिलता है। इसलिए यह नियम दिए गए पदों से मेल खाता है। विकल्प \(3n^2\) में दूसरा पद 12 आता है, 18 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में कम-से-कम पहले दो या तीन मान रखकर विकल्प जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^3+n\). Checking it: for \(n=1\), \(a_1=2(1)^3+1=3\); for \(n=2\), \(a_2=2(2)^3+2=18\); and for \(n=3\), \(a_3=2(3)^3+3=57\). Thus, it matches the given sequence. In contrast, \(3n^2\) gives 12 as the second term, not 18. Exam tip: substitute at least the first two or three values of \(n\) to verify a proposed general term.
यदि \(a_n=n^3-1\) हो, तो \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\) और \(a_4=4^3-1=63\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^3-1\) है। विकल्प \(a_n=n^2-1\) में तीसरा पद \(8\) आता है, जो \(26\) नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर जाँचें। / For \(a_n=n^3-1\), we get \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\), and \(a_4=4^3-1=63\). Hence, the correct general term is \(a_n=n^3-1\). The nearby distractor \(a_n=n^2-1\) gives \(8\) as its third term, not \(26\). Exam tip: substitute at least the first three values of \(n\) to verify a proposed general term.
\(3^n-2n\) से (1,5,21,73) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से रैखिक पद घटाकर भी विकल्प जाँचें। / \(3^n-2n\) gives (1,5,21,73). In exams also test options where a linear term is subtracted from a power.
दिया है \(a_n=3^n-2n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3-2(3)=27-6=21\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 21 है। 19 प्राप्त करने में घात या घटाव की गणना गलत होगी। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=3^n-2n\). Substituting \(n=3\), \(a_3=3^3-2(3)=27-6=21\). Therefore, 21 is correct. A result such as 19 would come from an error in evaluating the power or subtraction. Exam tip: substitute the value of \(n\) everywhere before simplifying the expression.
\(2^n-n\) से (1,2,5,12) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में पद संख्या घटाना भी जाँचें। / \(2^n-n\) gives (1,2,5,12). In exams also check subtraction of the term number in power-based rules.
स्पष्ट नियम में किसी भी पद को उसकी स्थिति \(n\) से सीधे ज्ञात किया जाता है। \(a_n=4n-1\) में केवल \(n\) है। दूसरे नियम में पिछला पद चाहिए, इसलिए वह पुनरावर्ती है। परीक्षा टिप: \(a_{n-1}\) दिखे तो नियम पुनरावर्ती होता है। / An explicit rule gives any term directly from its position \(n\). \(a_n=4n-1\) contains only \(n\), whereas the second rule needs the previous term. Exam tip: the presence of \(a_{n-1}\) usually indicates a recursive rule.
\(4n^2+1\) से (5,17,37,65) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2+1\) gives (5,17,37,65). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
दिया है
\(a_n=4n^2+1\)। अतः \(a_3=4(3)^2+1=37\) और \(a_4=4(4)^2+1=65\)। इसलिए \(a_3+a_4=37+65=102\)। विकल्प 100 तब मिल सकता है जब वर्ग या जोड़ में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में हर पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर गणना करें। / Given \(a_n=4n^2+1\), \(a_3=4(3)^2+1=37\) and \(a_4=4(4)^2+1=65\). Therefore, \(a_3+a_4=37+65=102\). An answer such as 100 can result from an error in squaring or addition. Exam tip: Substitute each value of \(n\) separately in the general term before adding.
