फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}).
#relations-functions
#one-one-function
#reciprocal-function
#positive-domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b)) जहाँ (a,b>0)। / Let (f(a)=f(b)), where (a,b>0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। / From \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम रूप वाले ऐसे फलन में बराबर छवि बराबर आगत देती है। / In this reciprocal form, equal images lead to equal inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x-2)2 ), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x-2)2 ), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic
#translated-function
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल (x=2) पर परिभाषित है / Defined only at (x=2)
D रैखिक फलन है / It is linear
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
वर्ग वाले फलन में केंद्र के दोनों ओर समान छवि मिल सकती है। / In a squared function, points on both sides of the center may give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
दो समान छवियाँ मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता। / Equal images for different inputs mean the function is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल धनात्मक क्षेत्र में परिभाषित है / Defined only on positive domain
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ है। / \(x^3\) is increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी बढ़ते फलन में स्थिरांक (1) जोड़ने से एकैकीता नहीं बदलती। / Adding the constant (1) does not change one-one nature.
Step 3
Exam Tip
\(a^3+1=b^3+1\) से (a=b) मिल जाता है। / From \(a^3+1=b^3+1\), we get (a=b).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(f:A\to A\) में (f(1)=2), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=4) है। (f) कैसा है?
For \(f:A\to A\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), (f(1)=2), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=4). What is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#finite-set
#not-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल आच्छादी है / Only onto
D सदैव एकैकी है / Always one-one
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(1) और (2) अलग-अलग आगत हैं। / (1) and (2) are different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों की छवि (2) है इसलिए अलग आगत समान छवि दे रहे हैं। / Both have image (2), so different inputs give the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित सारणी में दोहराई गई छवि दिखते ही एकैकीता असत्य हो जाती है। / In a finite table, a repeated image disproves one-one nature.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर फलन \(f:A\to A\) को (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1) से दिया गया है। यह फलन कैसा है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), a function \(f:A\to A\) is given by (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1). What type of function is it?
#relations-functions
#one-one-function
#finite-set
#mapping
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए तीनों आगतों की छवियाँ (2,3,1) हैं। / The images of the three inputs are (2,3,1).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी दो अलग आगत समान छवि नहीं दे रहे हैं। / No two different inputs give the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में छवियों को देखकर एकैकीता जल्दी जाँची जा सकती है। / For a finite set, one-one nature can be checked quickly by comparing images.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7), तो (f) के लिए सही उत्तर क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7), what is the correct answer for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#constant-function
#non-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल (x=7) पर परिभाषित है / Defined only at (x=7)
D बढ़ता हुआ फलन है / It is increasing
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function gives the same value for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), पर \(1\neq 2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
यदि क्षेत्र में एक से अधिक तत्व हों तो स्थिर फलन एकैकी नहीं होता। / If the domain has more than one element, a constant function is not one-one.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ), choose the correct statement about (f).
#relations-functions
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is constant
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
यहाँ आगत केवल (0) और उससे बड़ी संख्याएँ हैं। / Here the inputs are only (0) and positive numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। / On this domain, \(x^2\) increases, so \(a^2=b^2\) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
फलन की एकैकीता क्षेत्र पर निर्भर करती है। / One-one nature depends on the domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1) के लिए कौन-सा कथन सही है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1)?
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic
#not-one-one
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(x^2\) वाले फलन में (x) और (-x) की छवि समान हो सकती है। / In a function involving \(x^2\), (x) and (-x) may have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2) जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिवाद एकैकीता को असत्य सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), which option is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#integers
#injective
A एकैकी नहीं क्योंकि केवल सम मान मिलते हैं / Not one-one because only even values are obtained
B एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b) / One-one because (2a=2b) gives (a=b)
C स्थिर फलन है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
B. एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b) / One-one because (2a=2b) gives (a=b)
Step 1
Concept
एकैकीता में सहप्रांत के सभी मान मिलना जरूरी नहीं होता। / For one-one nature, it is not necessary to get every value of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(f(a)=f(b)) देने पर (2a=2b) और इसलिए (a=b)। / If (f(a)=f(b)), then (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परास छोटा हो सकता है फिर भी फलन एकैकी हो सकता है। / The range may be smaller, yet the function can still be one-one.
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फलन \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=x+4) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=x+4)?
#relations-functions
#one-one-function
#natural-numbers
#linear-function
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल सम संख्याओं के लिए एकैकी है / One-one only for even numbers
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानकर जाँच करते हैं। / Check by assuming (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(a+4=b+4) से (a=b) मिलता है। / From (a+4=b+4), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या में समान स्थिरांक जोड़ना अलग-अलग मानों को अलग ही रखता है। / Adding the same constant keeps different values different.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), what is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#absolute-value
#non-injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल ऋणात्मक संख्याओं पर परिभाषित / Defined only for negative numbers
D कोई फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान में विपरीत चिन्ह वाले मानों की छवि समान हो सकती है। / In an absolute value function, opposite signed inputs can have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=3) और (f(-3)=3), पर \(3\neq -3\)। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), but \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे उदाहरण से तुरंत पता चलता है कि फलन एकैकी नहीं है। / Such an example quickly shows that the function is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ) की एकैकीता के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about the one-one nature of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic-function
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है क्योंकि \(x^3\) में घात विषम है / It is not one-one because the power is odd
C केवल शून्य पर परिभाषित है / Defined only at zero
D स्थिर फलन है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\) तो (a=b) ही होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक समुच्चय पर \(x^3\) एकैकी का अच्छा उदाहरण है। / On the whole real set, \(x^3\) is a good example of a one-one function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5-2x), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-2x), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#linear-function
#slope
A एकैकी नहीं क्योंकि गुणांक ऋणात्मक है / Not one-one because the coefficient is negative
B एकैकी क्योंकि (x) का गुणांक शून्य नहीं है / One-one because the coefficient of (x) is non-zero
C स्थिर फलन / Constant function
D केवल (x>0) पर एकैकी / One-one only for (x>0)
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Correct Answer
B. एकैकी क्योंकि (x) का गुणांक शून्य नहीं है / One-one because the coefficient of (x) is non-zero
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Let (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(5-2a=5-2b) से (a=b) प्राप्त होता है। / From (5-2a=5-2b), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल समस्या नहीं है यदि ढाल शून्य नहीं है तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / A negative slope is not a problem; a linear function is one-one if its slope is non-zero.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ).
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic-function
#non-injective
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह केवल धनात्मक मानों पर परिभाषित है / It is defined only for positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों की छवि अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (f(2)=4) और (f(-2)=4) जबकि \(2\neq -2\)। / Here (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
जब दो अलग मानों की छवि समान मिले तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs give the same image, the function is not one-one.
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यदि फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-7) से परिभाषित किया गया है तो यह कैसा फलन है?
If the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=3x-7), what type of function is it?
#relations-functions
#one-one-function
#injective
#linear-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल स्थिर / Constant only
D परिभाषित नहीं / Not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जाँच के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है इसलिए अलग-अलग मानों की छवि अलग होगी। / From (3a-7=3b-7), we get (a=b), so different inputs have different images.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x+2) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x+2), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#cubic-function
#increasing-function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3+x+2\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / The value of \(x^3+x+2\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) हो तो (a-3 -b-3 +(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। / If (a>b), then (a-3 -b-3 +(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), is (f) one-one?
#one-one-function
#rational-expression
#counterexample
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
D फलन परिभाषित नहीं है / The function is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
एकैकी नहीं दिखाने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान खोजें। / To show that a function is not one-one, find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में उल्टे युग्म अक्सर समान मान दे सकते हैं। / In fractional functions, reciprocal pairs can often give the same value.
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यदि (f:\(-\infty,1]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=(x-1)2 ) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(-\infty,1]\to[0,\infty\)) and (f(x)=(x-1)2 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\leq1\) है इसलिए \(x-1\leq0\) रहता है। / In the given domain, \(x\leq1\), so \(x-1\leq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस भाग पर (x) बढ़ने पर ((x-1)2 ) घटता है और अलग (x) अलग मान देते हैं। / On this part, as (x) increases, ((x-1)2 ) decreases and different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन धुरी के केवल एक ओर सीमित हो तो एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one when restricted to one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 +x-2 ) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +x-2 ), is (f) one-one?
#one-one-function
#even-function
#not-one-one
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल पूर्णांकों पर / Only on integers
D यह स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(f(1)=1+1=2) है। / (f(1)=1+1=2).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1+1=2) है जबकि \(1\neq-1\)। / (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
केवल सम घातों वाले फलन में (x) और (-x) से समान मान मिल सकता है। / A function with only even powers can give the same value for (x) and (-x).
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यदि (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-2 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#square-function
#negative-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में सभी \(x\leq0\) हैं। / In the given domain, all \(x\leq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन ऋणात्मक आधे प्रांत पर भी एकैकी होता है। / The square function is also one-one on the non-positive half-domain.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x-2 ), is (f) one-one?
#one-one-function
#rational-numbers
#square-function
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (x=0) पर / Only at (x=0)
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(1) और (-1) दोनों परिमेय हैं। / Both (1) and (-1) are rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन पूरे परिमेय प्रांत पर एकैकी नहीं होता। / The square function is not one-one on the whole rational domain.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=\frac{x+2}{3}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=\frac{x+2}{3}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#rational-numbers
#linear-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a+2=b+2) और (a=b) है। / This gives (a+2=b+2), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्याओं पर शून्य से अलग गुणांक वाला रैखिक नियम एकैकी होता है। / A linear rule with non-zero coefficient is one-one on rational numbers.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (5) तत्व हैं तो (B) में कम से कम कितने तत्व होने चाहिए?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (5) elements, at least how many elements must (B) have?
#one-one-function
#finite-set
#cardinality
A (5)
B (4)
C (1)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के (5) तत्वों के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (5) distinct images for the (5) elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (B) में कम से कम (5) तत्व होने जरूरी हैं। / Therefore (B) must have at least (5) elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन के लिए सहप्रांत छोटा नहीं हो सकता। / For finite sets, the codomain cannot be smaller than the domain for a one-one function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=7) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#constant-function
#counterexample
A (1) और (2) / (1) and (2)
B (2) और (2) / (2) and (2)
C (0) और (0) / (0) and (0)
D (3) और (3) / (3) and (3)
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Correct Answer
A. (1) और (2) / (1) and (2)
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत पर (7) देता है। / A constant function gives (7) for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7) जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
एकैकीपन नकारने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएँ। / To disprove one-one, show equal outputs for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=5-2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-2x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#linear-function
#decreasing-function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on positive numbers
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से (5-2a=5-2b) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get (5-2a=5-2b).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (-2a=-2b) और (a=b) मिलता है। / This gives (-2a=-2b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक गुणांक वाला रैखिक फलन भी एकैकी हो सकता है। / A linear function with a negative coefficient can also be one-one.
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यदि \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 +x+1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 +x+1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}) है। / (x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\), इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। / In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.
Step 3
Exam Tip
धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो जाता है। / A quadratic becomes one-one on one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +x+1) हो तो कौन सा युग्म समान मान देता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +x+1), which pair gives the same value?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
A (0) और (-1) / (0) and (-1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (-1) / (0) and (-1)
Step 1
Concept
(f(0)=1) है। / (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1-1+1=1) है जबकि \(0\neq-1\)। / (f(-1)=1-1+1=1), while \(0\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन के लिए धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / A quadratic function can give equal values on both sides of its axis.
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यदि \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|2x-1|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#modulus-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq\frac{1}{2}\) होने पर \(2x-1\geq0\) है। / For \(x\geq\frac{1}{2}\), \(2x-1\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(x)=2x-1), जो रैखिक और बढ़ता है। / Hence (f(x)=2x-1), which is linear and increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को केंद्र के एक ओर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting a modulus function to one side of its center can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|2x-1|), which pair breaks one-one property?
#one-one-function
#modulus-function
#counterexample
A (0) और (1) / (0) and (1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (1) / (0) and (1)
Step 1
Concept
(f(0)=|-1|=1) है। / (f(0)=|-1|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=|1|=1) है जबकि \(0\neq1\)। / (f(1)=|1|=1), while \(0\neq1\).
Step 3
Exam Tip
मापांक में अंदर की मात्रा विपरीत चिन्ह वाली होकर भी समान मान दे सकती है। / In modulus functions, inner expressions with opposite signs can give the same output.
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यदि \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-4}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-4}), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#square-root-function
#domain
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x-4}\) अपने प्रांत पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x-4}\) increases on its domain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\) हो तो (a-4=b-4), इसलिए (a=b)। / If \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\), then (a-4=b-4), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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