यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2|x|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2|x|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#modulus-function
#not-one-one
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C रैखिक / Linear
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
मापांक के कारण (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। / Because of modulus, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=6) और (f(-3)=6) जबकि \(3\neq-3\)। / (f(3)=6) and (f(-3)=6), while \(3\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
मापांक के साथ धनात्मक गुणन एकैकीपन नहीं बचाता। / Multiplying a modulus function by a positive constant does not make it one-one.
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यदि \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 +x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 +x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(x-2 +x=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4}) है। / (x-2 +x=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\) है इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। / In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन अपनी धुरी के एक ओर एकैकी हो जाता है। / A quadratic function becomes one-one on one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +x) हो तो (f) एकैकी नहीं है यह कौन सा युग्म दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +x), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
A (0) और (-1) / (0) and (-1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (0) और (-1) / (0) and (-1)
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1-1=0) है जबकि \(0\neq-1\)। / (f(-1)=1-1=0), while \(0\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में समान मान देने वाले दो आगत ढूँढकर एकैकीपन नकारें। / For a quadratic function, find two inputs with the same value to disprove one-one.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#square-root-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) अपने प्रांत \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) increases on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) हो तो (a=b) होता है। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / The square-root function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt[3]{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cube-root-function
#increasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल धनात्मक पर परिभाषित / Defined only on positives
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। / The cube-root function increases on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अलग वास्तविक आगतों के घनमूल अलग होते हैं। / Different real inputs have different cube roots.
Step 3
Exam Tip
घन और घनमूल दोनों एकैकीपन की दृष्टि से सरल उदाहरण हैं। / Cubic and cube-root functions are simple examples of one-one behavior.
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कौन सा फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है?
Which function is not one-one on real numbers?
#one-one-function
#identify-function
#mcq
A (f(x)=x-2 +2)
B (f(x)=5x-1)
C (f(x)=-x+4)
D (f(x)=x-3 )
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(x)=x-2 +2)
Step 1
Concept
\(x^2+2\) में (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। / In \(x^2+2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3) और (f(-1)=3) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में वर्ग वाले फलन को खास ध्यान से जाँचें। / In options, check square-based functions carefully.
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यदि किसी फलन में (f(5)=f(9)) और \(5\neq9\) हो तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If a function has (f(5)=f(9)) and \(5\neq9\), which conclusion is correct?
#one-one-function
#counterexample
#basic-test
A फलन एकैकी नहीं है / The function is not one-one
B फलन अवश्य एकैकी है / The function is definitely one-one
C फलन अवश्य आच्छादी है / The function is definitely onto
D फलन सर्वसमिका है / The function is identity
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. फलन एकैकी नहीं है / The function is not one-one
Step 1
Concept
(5) और (9) दो अलग आगत हैं। / (5) and (9) are two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों के प्रतिबिंब समान हैं इसलिए एकैकीपन की शर्त टूटती है। / Their images are equal, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
एक ही विरोधी उदाहरण एकैकीपन नकारने के लिए पर्याप्त है। / A single counterexample is enough to disprove one-one.
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यदि (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)) सत्य है तो (f) के लिए सही शब्द कौन सा है?
If (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)) is true, what is the correct term for (f)?
#one-one-function
#definition
#symbolic
A एकैकी / One-one
B स्थिर / Constant
C बहुमूल्य / Many-valued
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह शर्त बताती है कि अलग आगत अलग प्रतिबिंब देते हैं। / This condition says different inputs give different images.
Step 2
Why this answer is correct
यही एकैकी फलन की सीधी परिभाषा है। / That is the direct definition of a one-one function.
Step 3
Exam Tip
इस कथन और (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) दोनों को समान अर्थ में याद रखें। / Remember that this statement and (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) have the same meaning.
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यदि (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) हर (a,b) के लिए सत्य है तो (f) कैसा है?
If (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) is true for all (a,b), what type of function is (f)?
#one-one-function
#definition
#proof-form
A एकैकी / One-one
B आवर्ती / Periodic
C स्थिर / Constant
D शून्य फलन / Zero function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह एकैकी फलन की मानक बीजगणितीय शर्त है। / This is the standard algebraic condition for a one-one function.
Step 2
Why this answer is correct
समान प्रतिबिंब मिलने पर आगत समान होना चाहिए। / Equal images must imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में इसी रूप का सबसे अधिक प्रयोग होता है। / This form is most commonly used in proofs.
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यदि कोई फलन एकैकी है तो दो अलग आगतों के प्रतिबिंब कैसे होंगे?
If a function is one-one, how will the images of two different inputs be?
#one-one-function
#definition
#basic
A अलग-अलग / Different
B हमेशा समान / Always equal
C हमेशा शून्य / Always zero
D परिभाषित नहीं / Undefined
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Correct Answer
A. अलग-अलग / Different
Step 1
Concept
एकैकी फलन की मूल पहचान अलग आगतों पर अलग प्रतिबिंब है। / The basic identity of a one-one function is distinct images for distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रतिबिंब समान हो जाएँ तो एकैकीपन टूट जाएगा। / If the images become equal, one-one property fails.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा याद रखें: समान प्रतिबिंब तभी जब आगत समान हों। / Remember the definition: equal images only come from equal inputs.
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यदि (|A|=5) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=5) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#impossible-case
A (0)
B (20)
C (120)
D (625)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (5) distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / The codomain has only (4) elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
प्रांत के तत्व अधिक हों तो एकैकी फलन बन ही नहीं सकता। / If the domain has more elements than the codomain, no one-one function can exist.
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यदि (|A|=3) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=3) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#permutation
A (24)
B (12)
C (64)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices.
Step 2
Why this answer is correct
अगले दो तत्वों के लिए क्रमशः (3) और (2) चुनाव बचते हैं। / The next two elements have (3) and (2) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। / The total number is \(4\cdot3\cdot2=24\).
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यदि (|A|=2) और (|B|=5) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=2) and (|B|=5), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#finite-set
A (20)
B (10)
C (25)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (5) चुनाव हैं। / The first element has (5) choices.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे तत्व के लिए दोहराव नहीं कर सकते इसलिए (4) चुनाव बचते हैं। / The second element has (4) choices because repetition is not allowed.
Step 3
Exam Tip
कुल एकैकी फलन \(5\cdot4=20\) होंगे। / Total one-one functions are \(5\cdot4=20\).
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{p,q,r}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,p)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{p,q,r}\) and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,p)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#not-one-one
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C सर्वसमिका / Identity
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
यहाँ (1) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। / Here (1) and (4) are different domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का प्रतिबिंब (p) है इसलिए दोहराव हो गया। / Both have image (p), so repetition occurs.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन में प्रतिबिंब का दोहराव स्वीकार नहीं होता। / Repetition of an image is not allowed in a one-one function.
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यदि \(f:{1,2,3}\to{a,b,c,d}\) और \(f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3}\to{a,b,c,d}\) and \(f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#ordered-pairs
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Each element of the domain has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (a,c,d) अलग-अलग हैं। / The images (a,c,d) are distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंब दोहराए न जाएँ तो फलन एकैकी होता है। / In a finite set, if images are not repeated, the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n-3 +5) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 +5), what type of function is (f)?
#one-one-function
#integers
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। / Cubes of different integers are different.
Step 2
Why this answer is correct
उनमें (5) जोड़ने से अलगपन बना रहता है। / Adding (5) preserves that difference.
Step 3
Exam Tip
सरल घन फलन और उसका स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखते हैं। / A basic cubic function and its translation keep the one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n-2 +1) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 +1), is (f) one-one?
#one-one-function
#integers
#square-function
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल सम संख्याओं पर / Only on even numbers
D केवल विषम संख्याओं पर / Only on odd numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(1) और (-1) अलग पूर्णांक हैं। / (1) and (-1) are different integers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए समान प्रतिबिंब मिलते हैं। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so equal images occur.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले नियम पूर्णांकों पर अक्सर एकैकी नहीं होते। / Square-based rules are often not one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=3n+2) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=3n+2), what type of function is (f)?
#one-one-function
#natural-numbers
#linear-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f\(n_1\)=f\(n_2\)) से \(3n_1+2=3n_2+2\) मिलता है। / From (f\(n_1\)=f\(n_2\)), we get \(3n_1+2=3n_2+2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(n_1=n_2\) निष्कर्ष निकलता है। / This gives \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर ऐसा रैखिक नियम अलग आगतों को अलग मान देता है। / Such a linear rule on natural numbers gives different outputs for different inputs.
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यदि \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=|x+1|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x+1|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#modulus-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq-1\) होने पर \(x+1\geq0\) है। / For \(x\geq-1\), \(x+1\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|x+1|=x+1) बन जाता है जो रैखिक और बढ़ता हुआ है। / Hence (|x+1|=x+1), which is linear and increasing.
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सही तरह सीमित करने से मापांक फलन एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain properly can make a modulus function one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x+1|) हो तो कौन सा युग्म बताता है कि (f) एकैकी नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#modulus-function
#counterexample
A (0) और (-2) / (0) and (-2)
B (0) और (1) / (0) and (1)
C (1) और (2) / (1) and (2)
D (2) और (3) / (2) and (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (0) और (-2) / (0) and (-2)
Step 1
Concept
(f(0)=|1|=1) है। / (f(0)=|1|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=|-1|=1) है जबकि \(0\neq-2\)। / (f(-2)=|-1|=1), while \(0\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं। / In a modulus function, inputs equally distant from the center can give the same output.
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यदि \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=(x-3)2 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=(x-3)2 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x-3\geq0\) है। / In the given domain, \(x-3\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
\([3,\infty\)) पर ((x-3)2 ) बढ़ता है इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On \([3,\infty\)), ((x-3)2 ) increases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one on one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -6x+9) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -6x+9), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#not-one-one
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C सर्वसमिका / Identity
D रैखिक / Linear
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
(x-2 -6x+9=(x-3)2 ) है। / (x-2 -6x+9=(x-3)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=1) और (f(4)=1) जबकि \(2\neq4\)। / (f(2)=1) and (f(4)=1), while \(2\neq4\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A quadratic function is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=9) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=9), is (f) one-one?
#one-one-function
#constant-function
#not-one-one
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल शून्य पर / Only at zero
D केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
यह स्थिर फलन है क्योंकि हर (x) पर मान (9) है। / This is a constant function because its value is (9) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=9) और (f(6)=9) जबकि \(2\neq6\)। / (f(2)=9) and (f(6)=9), while \(2\neq6\).
Step 3
Exam Tip
बड़े प्रांत पर स्थिर फलन एकैकी नहीं होता। / A constant function on a larger domain is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=-3x+8) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=-3x+8), what type of function is (f)?
#one-one-function
#linear-function
#negative-slope
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से (-3a+8=-3b+8) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get (-3a+8=-3b+8).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (-3a=-3b) और फिर (a=b) मिलता है। / This gives (-3a=-3b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल भी एकैकीपन को नहीं रोकती। / A negative slope does not stop a function from being one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=4x+7) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=4x+7), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#linear-function
#easy
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर फलन है / It is a constant function
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर (4a+7=4b+7) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get (4a+7=4b+7).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (4a=4b) इसलिए (a=b)। / Simplifying gives (4a=4b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function with a non-zero coefficient of (x) is one-one.
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कक्षा परीक्षा में एक छात्र ने लिखा कि (f(x)=x-2 ) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। कौन-सा उदाहरण उसकी गलती सुधारता है?
In a class test, a student wrote that (f(x)=x-2 ) is one-one on all \(\mathbb{R}\). Which example corrects the mistake?
#one-one function
#counterexample
#square function
#class 12
A (f(2)=f(-2)) और \(2\neq-2\)
B (f(2)=4) और (2=2)
C (f(0)=0)
D (f(3)=9)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(2)=f(-2)) और \(2\neq-2\)
Step 1
Concept
गलती सुधारने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें दो अलग निवेश समान निर्गत दें। / To correct the mistake, we need an example where two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), पर \(2\neq-2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), but \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है। / One clear counterexample disproves the whole claim.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{3}x-4), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{3}x-4), what type is (f)?
#one-one function
#linear function
#fraction coefficient
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल पूर्णांकों पर परिभाषित / Defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह (mx+c) रूप का रैखिक फलन है। / This is a linear function of the form (mx+c).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m=\frac{1}{3}\neq0\), इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / Here \(m=\frac{1}{3}\neq0\), so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
भिन्न गुणांक देखकर भ्रमित न हों; शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / Do not be confused by a fractional coefficient; if it is non-zero, the linear function is one-one.
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यदि \(f:{a,b,c}\to{1,2,3,4}\) में (f(a)=2), (f(b)=2), (f(c)=4), तो (f) क्यों एकैकी नहीं है?
If \(f:{a,b,c}\to{1,2,3,4}\) has (f(a)=2), (f(b)=2), (f(c)=4), why is (f) not one-one?
#one-one function
#finite mapping
#non injective
#class 12
A क्योंकि \(a\neq b\) पर (f(a)=f(b)) / Because \(a\neq b\) but (f(a)=f(b))
B क्योंकि (f(c)=4) / Because (f(c)=4)
C क्योंकि सहप्रांत बड़ा है / Because codomain is bigger
D क्योंकि (a=b) / Because (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a\neq b\) पर (f(a)=f(b)) / Because \(a\neq b\) but (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
(a) और (b) अलग-अलग तत्व हैं। / (a) and (b) are different elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का निर्गत (2) है, इसलिए समान निर्गत दो बार आया। / Both have output (2), so the same output is repeated.
Step 3
Exam Tip
एकैकीता में ऐसा दोहराव स्वीकार नहीं होता। / Such repetition is not allowed in one-one property.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) में निर्गत क्रमशः (8,7,6,5) हैं, तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) has outputs respectively (8,7,6,5), what type is (f)?
#one-one function
#finite mapping
#output list
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपूर्ण फलन / Incomplete function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
चार निवेशों के निर्गत (8,7,6,5) हैं। / The outputs of the four inputs are (8,7,6,5).
Step 2
Why this answer is correct
कोई निर्गत दोहराया नहीं गया है। / No output is repeated.
Step 3
Exam Tip
क्रम उल्टा होने से फर्क नहीं पड़ता; निर्गत अलग हों तो फलन एकैकी है। / Reverse order does not matter; if outputs are different, the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-2x), तो (f) के लिए सही परिणाम क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-2x), what is the correct result for (f)?
#one-one function
#linear function
#proof
#class 12
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C सभी निर्गत (9) हैं / All outputs are (9)
D यह \(x^2\) जैसा है / It is like \(x^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(9-2a=9-2b) से (-2a=-2b), अतः (a=b)। / From (9-2a=9-2b), we get (-2a=-2b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
घटते हुए रैखिक फलन को भी एकैकी समझें जब (x) का गुणांक शून्य न हो। / Treat decreasing linear functions as one-one when the coefficient of (x) is non-zero.
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