First check whether a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.120120012000120000\ldots\), the number of zeros keeps changing, so there is no fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is irrational. चरण 1: पहले देखें कि कोई निश्चित अंकों का समूह बार-बार आ रहा है या नहीं। चरण 2: \(0.120120012000120000\ldots\) में शून्यों की संख्या बदलती जाती है, इसलिए स्थिर आवर्तन नहीं है। चरण 3: असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है।
\(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use the largest perfect square factor for quick simplification. चरण 1: \(72=36\times2\) है। चरण 2: \(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड लेने से सरल रूप जल्दी मिलता है।
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
The decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
It has no fixed recurring block because the number of zeros keeps changing.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is irrational. चरण 1: यह दशमलव समाप्त नहीं हो रहा है। चरण 2: इसमें अंकों का कोई स्थिर आवर्तन नहीं है, क्योंकि शून्यों की संख्या बदलती जाती है। चरण 3: असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय माना जाता है।
Simplify the square and the multiplication separately. चरण 1: (x-2=\(\sqrt{7}\)2=7)। चरण 2: \(4x=4\sqrt{7}\), इसलिए \(x^2+4x=7+4\sqrt{7}\)। चरण 3: वर्ग और गुणा को अलग-अलग सरल करें।
This decimal has no fixed block of digits repeating again and again.
Step 2
Why this answer is correct
It is non-terminating and non-recurring, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
While deciding the nature of a decimal, look for a clear repeating rule. चरण 1: इस दशमलव में कोई निश्चित अंकों का समूह बार-बार नहीं दोहरता। चरण 2: यह अनवसानी और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। चरण 3: दशमलव की प्रकृति तय करते समय दोहराव का साफ नियम देखें।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying the square-root option is a good way to check it. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्प को सरल करके जांचना अच्छा तरीका है।
Simplify the square and the multiplication separately. चरण 1: (x-2=\(\sqrt{5}\)2=5)। चरण 2: \(3x=3\sqrt{5}\), इसलिए \(x^2+3x=5+3\sqrt{5}\)। चरण 3: वर्ग और गुणा को अलग-अलग सरल करें।
This decimal has no fixed block repeating again and again.
Step 2
Why this answer is correct
It is non-terminating and non-recurring, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking whether there is a fixed repeating pattern. चरण 1: इस दशमलव में कोई निश्चित समूह बार-बार नहीं दोहरता। चरण 2: यह अनवसानी और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। चरण 3: दशमलव में दोहराव का निश्चित नियम देखकर ही निर्णय लें।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify the square root to identify its nature. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके उसकी प्रकृति पहचानें।
Simplify the square and the product separately. चरण 1: (x-2=\(\sqrt{3}\)2=3)। चरण 2: \(2x=2\sqrt{3}\), इसलिए \(x^2+2x=3+2\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्ग और गुणा को अलग-अलग सरल करें।
C. \(1.01011011101111\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(1.01011011101111\ldots\) with no fixed repetition
Step 1
Concept
Recurring or terminating decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating decimal with no fixed repetition can be irrational.
Step 3
Exam Tip
If no repeating rule is visible, examine the number carefully. चरण 1: आवर्ती या समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: बिना निश्चित दोहराव वाला अनवसानी दशमलव अपरिमेय हो सकता है। चरण 3: दोहराव का नियम न दिखे तो संख्या की प्रकृति ध्यान से जांचें।
Adding zero does not change the value of a number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{11}+0=\sqrt{11}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even with zero, identify the nature of the original number. चरण 1: शून्य जोड़ने से संख्या का मान नहीं बदलता। चरण 2: \(\sqrt{11}+0=\sqrt{11}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: शून्य के साथ भी मूल संख्या की प्रकृति पहचानें।
\(0.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating pattern, so it is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
For decimals, check the repetition pattern, not just the length. चरण 1: समाप्त और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(0.01001000100001\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है, इसलिए यह अनवसानी और अनावर्ती है। चरण 3: दशमलव में केवल लंबाई नहीं, दोहराव का नियम देखना जरूरी है।
C. \(1.41421356\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(1.41421356\ldots\) with no fixed repetition
Step 1
Concept
Recurring or terminating decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating decimal without fixed repetition can be irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by length; check for repetition. चरण 1: आवर्ती या समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: बिना निश्चित दोहराव वाला अनवसानी दशमलव अपरिमेय हो सकता है। चरण 3: केवल लंबा दशमलव देखकर नहीं, दोहराव देखकर निर्णय लें।
The sum of opposite terms is always zero. चरण 1: दोनों पद एक-दूसरे के विपरीत हैं। चरण 2: (\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0)। चरण 3: विपरीत पदों का योग हमेशा शून्य होता है।
Even with zero, understand the original nature of the number. चरण 1: शून्य जोड़ने से संख्या नहीं बदलती। चरण 2: \(\sqrt{5}+0=\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: शून्य के साथ भी संख्या की मूल प्रकृति समझें।
C. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय हो सकता है जब (n) पूर्ण वर्ग न हो/\(\sqrt{n}\) can be irrational when (n) is not a perfect square
Step 1
Concept
If (n) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Testing a statement with an example makes it easier to judge. चरण 1: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं होता। चरण 2: जैसे \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: सत्य कथन में उदाहरण लगाकर जांच करना आसान रहता है।
In addition, do not add the numbers inside roots to write \(\sqrt{14}\). चरण 1: समान वर्गमूलों को समान पद की तरह जोड़ा जाता है। चरण 2: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=2\sqrt{7}\)। चरण 3: जोड़ में अंदर की संख्याएँ जोड़कर \(\sqrt{14}\) नहीं लिखना चाहिए।
Using the largest perfect square gives the simplest form. चरण 1: \(48=16 \times 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{48}=\sqrt{16 \times 3}=4\sqrt{3}\)। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग लेने से सरल रूप सही और छोटा मिलता है।
\(0.1234567891011\ldots\) has no fixed repeating pattern, so it is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
To identify an irrational decimal, check for a repeating rule. चरण 1: समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(0.1234567891011\ldots\) में कोई निश्चित दोहराव नहीं है, इसलिए यह अनवसानी और अनावर्ती है। चरण 3: अपरिमेय दशमलव पहचानने के लिए दोहराव का नियम जांचें।
While simplifying a square root, split the inside number into a perfect square and the remaining factor. चरण 1: \(75=25 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{75}=\sqrt{25 \times 3}=5\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल को सरल करते समय अंदर की संख्या को पूर्ण वर्ग और बाकी गुणनखंड में तोड़ें।
While multiplying square roots, multiply the numbers inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, multiply the inside numbers; do not add them. चरण 1: वर्गमूलों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा होती हैं। चरण 2: \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: गुणा में अंदर की संख्याएँ गुणा करें, जोड़ नहीं।
Squaring a square root gives the number inside it. चरण 1: \(x=\sqrt{2}\) दिया है। चरण 2: (x-2=\(\sqrt{2}\)2=2)। चरण 3: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है।
C. हर अपरिमेय संख्या पूर्णांक होती है/Every irrational number is an integer
Step 1
Concept
Irrational numbers are not integers because integers can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
So saying every irrational number is an integer is false.
Step 3
Exam Tip
In false-statement questions, check every option separately. चरण 1: अपरिमेय संख्या पूर्णांक नहीं होती, क्योंकि पूर्णांक \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखे जा सकते हैं। चरण 2: इसलिए हर अपरिमेय संख्या को पूर्णांक कहना गलत है। चरण 3: गलत कथन वाले प्रश्न में हर विकल्प को अलग-अलग जांचें।
When (9) appears as a factor inside a square root, take it out as (3). चरण 1: \(27=9 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{27}=\sqrt{9 \times 3}=3\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल में पूर्ण वर्ग (9) दिखे तो उसे बाहर (3) के रूप में निकालें।
Simplify radicals before adding them. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। चरण 2: \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: जोड़ने से पहले वर्गमूलों को सरल करें।
(49) is a perfect square, so \(\sqrt{49}=7\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(50) is not a perfect square, so \(\sqrt{50}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even for nearby numbers, check perfect squares carefully. चरण 1: (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए \(\sqrt{49}=7\) परिमेय है। चरण 2: (50) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है। चरण 3: पास-पास की संख्याओं में भी पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
A rational number can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
A number that cannot be written in this form is called irrational.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, remember the condition \(q \neq 0\). चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: जो संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती, वह अपरिमेय कहलाती है। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्न में \(q \neq 0\) की शर्त याद रखें।
While simplifying square roots, take the perfect square factor outside. चरण 1: \(12=4 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल सरल करते समय पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें।
C. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Step 1
Concept
The digits do not repeat in a fixed recurring pattern.
Step 2
Why this answer is correct
It is non-terminating and non-recurring, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
In long decimals, check whether there is a fixed repeating block. चरण 1: दिए गए दशमलव में अंकों का दोहराव निश्चित रूप से नहीं चल रहा है। चरण 2: यह अनवसानी और अनावर्ती दशमलव है, इसलिए अपरिमेय है। चरण 3: लंबे दशमलव में दोहराव का साफ नियम न हो तो उसे ध्यान से पहचानें।
