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विकल्प A में \(\frac{3}{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है, अतः यह प्रत्यक्ष रूप से परिमेय + अपरिमेय का योग है। ऐसे योग सामान्यतः अपरिमेय होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों पद (\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) अपरिमेय हैं — यह परिमेय+अपरिमेय का मामला नहीं है। विकल्प C और D दोनों में केवल परिमेय संख्याएँ हैं (भिन्न या पूर्णांकीय), इसलिए वे परिमेय जोड़ हैं। परीक्षा-टिप: किसी विकल्प में परिमेय और अपरिमेय को अलग करके पहचाने — परिमेय + अपरिमेय सामान्यतः अपरिमेय देता है; दो परिमेय का योग हमेशा परिमेय होता है। / In option A, \(\frac{3}{5}\) is rational and \(\sqrt{10}\) is irrational, so A is explicitly a sum of a rational and an irrational number. Such a sum is generally irrational, so A is correct. In option B both terms (\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) are irrational — this is not a rational+irrational case. Options C and D are sums of rational numbers only, so they are not examples of rational plus irrational. Exam tip: identify each term's type first — rational+irrational is usually irrational; sum of two rationals is always rational, while sum of two irrationals can be either but is not the case asked here.
\(9\) एक परिमेय संख्या है और \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है। सामान्यतः परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय ही रहता है क्योंकि अपरिमेय भाग को परिमेय भाग से पूरी तरह नहीं हटाया जा सकता; इसलिए \(9+\sqrt{17}\) अपरिमेय है। निकट का भ्रामक विकल्प \(\sqrt{2}+(3-\sqrt{2})\) है — इसमें अपरिमेय भाग आपस में कट जाता है और कुल योग \(3\) परिमेय बन जाता है। परीक्षात्मक टिप: किसी भी विकल्प को सरल कर के देखें कि क्या अपरिमेय भाग कट रहा है या नहीं। / 9 is rational and \(\sqrt{17}\) is irrational. In general the sum of a rational and an irrational number is irrational because the irrational part cannot be expressed or cancelled by a rational number; hence \(9+\sqrt{17}\) is irrational. A common distractor is \(\sqrt{2}+(3-\sqrt{2})\) where the irrational parts cancel and the sum equals 3, which is rational. Exam tip: always simplify the expression first and check whether any irrational parts cancel out.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) होता है। इससे याद रखें कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Remember that the sum of two irrational numbers can sometimes be rational.
दो परिमेय संख्याएँ परिमेय ही रहती हैं (बंदत्व)। यदि \(m=\frac{a}{b}\) और \(n=\frac{c}{d}\) जहाँ \(a,b,c,d\) पूर्णांक और \(b,d\neq0\), तो \(m+n=\frac{ad+bc}{bd}\)। हर भागफल दो पूर्णांकों का अनुपात है इसलिए परिमेय होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि सामान्यतः दो परिमेयों का योग अपरिमेय नहीं बनता। विकल्प C और D विशिष्ट मामलों के लिए ही सत्य हो सकते हैं (उदाहरण: \(m=1,n=1\) सहित), पर सामान्य नियम नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी परिमेय जोड़ को भिन्न के रूप में लिखकर परिणाम की परिमेयता जांचें। / Rational numbers are closed under addition. If \(m=\frac{a}{b}\) and \(n=\frac{c}{d}\) with integers \(a,b,c,d\) and \(b,d\neq0\), then \(m+n=\frac{ad+bc}{bd}\), which is a ratio of integers and thus rational. Option B is incorrect because the sum of two rationals is not generally irrational. Options C and D hold only in special cases, not in general. Exam tip: express numbers as fractions and add to verify rationality quickly.
परिमेय संख्या (6) में अपरिमेय \(\sqrt{11}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। जड़ को पूर्ण वर्ग समझने की गलती न करें। / Adding irrational \(\sqrt{11}\) to rational (6) gives an irrational number. Do not mistake the root for a perfect square.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Explanation
Simple Explanation
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है। / Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
परिमेय (2) में अपरिमेय \(\sqrt{3}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। परीक्षा में ऐसे योग को परिमेय न मानें। / Adding irrational \(\sqrt{3}\) to rational (2) gives an irrational number. Do not treat such sums as rational.
\(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) और \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है। / \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) and \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) और \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) and \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
\(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) और \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत हो सकता है। / \(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) and \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can sometimes be terminating.
समान वर्गमूलों में अंदर की संख्याएँ नहीं, केवल गुणांक जोड़े जाते हैं। / For like radicals, add only the coefficients, not the numbers inside the roots.
