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(\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1) होता है। इसलिए आवश्यक मान \(\frac{1}{6}\) है। / The identity is (\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1). Therefore, the required value is \(\frac{1}{6}\).
\(cosec^{-1}(x-2)\) के लिए \(|x-2|\ge1\) चाहिए। इससे \(x\le1\) या \(x\ge3\) मिलता है। / For \(cosec^{-1}(x-2)\), we need \(|x-2|\ge1\). This gives \(x\le1\) or \(x\ge3\).
\(cosec y=\frac{1}{sin y}\), इसलिए \(cosec y\) के values \(|x|\ge1\) होते हैं। domain याद करते समय reciprocal nature देखें। / \(cosec y=\frac{1}{sin y}\), so values of \(cosec y\) satisfy \(|x|\ge1\). Use the reciprocal nature to remember the domain.
\(cosec\frac{\pi}{6}=2\), इसलिए मुख्य मान \(\frac{\pi}{6}\) है। \(cosec^{-1}x\) को \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\) से जोड़कर सोचें। / \(cosec\frac{\pi}{6}=2\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Think of \(cosec^{-1}x\) through \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\).
यदि \(cos\theta=\frac{8}{17}\), तो \(sin\theta=\frac{15}{17}\)। इसलिए \(cosec\theta=\frac{17}{15}\)। / If \(cos\theta=\frac{8}{17}\), then \(sin\theta=\frac{15}{17}\). Hence \(cosec\theta=\frac{17}{15}\).
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) है, इसलिए \(\sin x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। अतः \(x=n\pi\)। / Since \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\), it is undefined when \(\sin x=0\). Thus \(x=n\pi\).
A. \(\sec \theta\) धनात्मक और \(\cosec \theta\) ऋणात्मक/\(\sec \theta\) positive and \(\cosec \theta\) negative
Explanation
Simple Explanation
चतुर्थ चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक और \(\sin \theta\) ऋणात्मक होता है, इसलिए उनके व्युत्क्रमों के चिन्ह भी वैसे ही होंगे। परीक्षा में पहले मूल फलनों के चिन्ह तय करें। / In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is positive and \(\sin \theta\) is negative, so their reciprocals have the same signs. In exams decide the signs of basic functions first.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) इसलिए गुणनफल (1) है। परीक्षा में defined condition को नजरअंदाज न करें। / \( \cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so the product is (1). In exams do not ignore the defined condition.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), इसलिए \(\sin \theta=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में cosecant और sine reciprocal हैं। / \( \cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so \( \sin \theta=\frac{2}{5}\). In exams remember cosecant and sine are reciprocals.
क्योंकि (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1)। इसलिए आवश्यक व्युत्क्रम \(\cosec x+\cot x\) है। / Since (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1). Hence the required reciprocal is \(\cosec x+\cot x\).
\(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) और \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) होता है। इसलिए अनुपात (1) है। / \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) and \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\). Hence the ratio is (1).
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cosec x\) धनात्मक होता है। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\). In the second quadrant, \(\cosec x\) is positive.
(\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), इसलिए (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x)। व्युत्क्रम और पूरक पहचान साथ लगाएँ। / (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), so (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x). Use reciprocal and cofunction identities together.
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\sin x=\frac{1}{4}\); हर व्युत्क्रम फलन को जोड़ी में याद करें। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Hence \(\sin x=\frac{1}{4}\); learn each reciprocal function as a pair.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(\cosec x=\frac{17}{15}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक मान लें। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(\cosec x=\frac{17}{15}\). Take the positive value in the first quadrant.
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) है, इसलिए \(\sin x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। व्युत्क्रम में नीचे वाला फलन शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\), so it is undefined when \(\sin x=0\). In a reciprocal, the denominator function must not be zero.
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) है। इसलिए इसका परिसर (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)) होता है। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Therefore, its range is (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)).
\(\cosec x\) \(\sin x\) का व्युत्क्रम है और इसका काल \(2\pi\) है। व्युत्क्रम संबंध से काल पहचानें। / \(\cosec x\) is the reciprocal of \(\sin x\) and its period is \(2\pi\). Use reciprocal relation to identify the period.
क्योंकि \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), अंतर (1) होगा। यह पहचान \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से जुड़ी है। / Since \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), the difference is (1). This identity is linked to \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। ध्यान रखें कि \(\cosec x\) का संबंध \(\sin x\) से है। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Remember that \(\cosec x\) is related to \(\sin x\).
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) और \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) से \(\frac{1}{\cos \theta}=\sec \theta\) मिलता है। अंतिम उत्तर को मानक फलन में लिखें। / From \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) and \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\), we get \(\frac{1}{\cos \theta}=\sec \theta\). Write the final answer as a standard function.
\(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) और \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) रखने पर \(\cos \theta\) मिलता है। मानक रूप लिखना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Using \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) and \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), we get \(\cos \theta\). Writing standard forms is the safest method.
\(\sin \theta\) और \(\cosec \theta\) परस्पर व्युत्क्रम हैं इसलिए उनका गुणनफल (1) होता है। व्युत्क्रम जोड़ों को याद रखें। / \(\sin \theta\) and \(\cosec \theta\) are reciprocals, so their product is (1). Remember reciprocal pairs.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) इसलिए \(\frac{\sin \theta}{\cosec \theta}=\sin^2 \theta\) है। व्युत्क्रम संबंध को भिन्न में बदलें। / Since \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), \(\frac{\sin \theta}{\cosec \theta}=\sin^2 \theta\). Convert reciprocal relations into fractions.
\(\cosec^2 \theta=1+\cot^2 \theta\) से \(\cosec^2 \theta-1=\cot^2 \theta\) होता है। समान पहचान सूत्रों की जोड़ी बनाकर अभ्यास करें। / From \(\cosec^2 \theta=1+\cot^2 \theta\), \(\cosec^2 \theta-1=\cot^2 \theta\). Practice similar identities in pairs.
\(\cosec \theta\) \(\sin \theta\) का व्युत्क्रम है और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है। इसलिए मान \(-\cosec \theta\) है। / \(\cosec \theta\) is the reciprocal of \(\sin \theta\) and is negative in the fourth quadrant. Therefore the value is \(-\cosec \theta\).
\(\cosec \theta\) का काल \(2\pi\) है क्योंकि यह \(\sin \theta\) का व्युत्क्रम है। काल से उत्तर तुरंत मिलता है। / The period of \(\cosec \theta\) is \(2\pi\) because it is the reciprocal of \(\sin \theta\). The period gives the answer directly.
\(\cosec \theta\) का सह-फलन \(\sec \theta\) है और दूसरे चतुर्थांश में चिह्न धनात्मक रहता है। सह-फलन जोड़ों को याद रखें। / The cofunction of \(\cosec \theta\) is \(\sec \theta\), and the sign remains positive in the second quadrant. Remember cofunction pairs.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) है इसलिए \(\sin \theta=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर शून्य होने पर फलन नहीं बनता। / \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so it is undefined when \(\sin \theta=0\). A function is not defined when the denominator is zero.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) होता है। इसका परिसर (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)) है। / \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\). Its range is (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)).
\(\cosec \theta\) विषम फलन है इसलिए (\cosec\(-\theta\)=-\cosec \theta)। यह \(\sin \theta\) के व्युत्क्रम जैसा व्यवहार करता है। / \(\cosec \theta\) is an odd function, so (\cosec\(-\theta\)=-\cosec \theta). It behaves like the reciprocal of \(\sin \theta\).
\(cosec^2 \theta=1+\cot^2 \theta\) होता है। समान प्रकार के सूत्रों को साथ में याद करें। / \(cosec^2 \theta=1+\cot^2 \theta\). Remember similar identities together.
क्योंकि (\operatorname{cosec}\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-2) और \(-\frac{\pi}{6}\) प्रधान सीमा में है। ऋणात्मक मानों में सही प्रधान कोण चुनें। / Because (\operatorname{cosec}\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-2) and \(-\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range. For negative values choose the correct principal angle.
क्योंकि \(\operatorname{cosec}\frac{\pi}{6}=2\) है। \(\operatorname{cosec}^{-1}x\) में (x) का परिमाण (1) से कम नहीं हो सकता। / Because \(\operatorname{cosec}\frac{\pi}{6}=2\). In \(\operatorname{cosec}^{-1}x\), the magnitude of (x) cannot be less than (1).
\(cosec^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(\left|x\right|\ge1\)। यहाँ \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / The function \(cosec^{-1}x\) is defined when \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), so it is defined.
क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\)। इसलिए प्रमुख मान (principal value) के रूप में \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\) होगा। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) और \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\) — ये कोई भी 2 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(cosec\theta=1/\sin\theta\) याद रखें और सर्वमान्य कोणों के sin मानों का उपयोग करें। / Since \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\), the principal value is \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\). The other options are incorrect because \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) and \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\), none of which equals 2. Exam tip: use \(cosec\theta=1/\sin\theta\) and remember standard sine values for common angles.
(\cosec\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1) होता है। इसलिए मान \(-\frac{\pi}{2}\) है। / Since (\cosec\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1), the value is \(-\frac{\pi}{2}\).
यदि \(\csc y=1\) तो \(\sin y=1\) होता है। \(\sin y=1\) का सामान्य हल \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)) है। inverse cosec (arccosec) का प्रधान मान प्रायः \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) में लिया जाता है, और इस श्रेणी का एकमात्र समाहित हल \(\frac{\pi}{2}\) है। अतः \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\)। निकट की ग़लत विकल्पों के बारे में: \(0\) पर \(\csc\) परिभाषित नहीं है; \(-\frac{\pi}{2}\) पर \(\csc=-1\) होता है; और \(\pi\) पर \(\sin\pi=0\) होने से \(\csc\) परिभाषित नहीं। परीक्षा टिप: arccosec के प्रधान मान और \(\csc y\) को \(\sin y\) से जोडकर सामान्य हल याद रखें। / If \(\csc y=1\) then \(\sin y=1\). The general solution of \(\sin y=1\) is \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). The principal value for \(cosec^{-1}x\) is usually taken in \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\), and the only solution in this interval is \(\frac{\pi}{2}\). Therefore \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\). About distractors: \(0\) is not allowed (\(\csc\) undefined), \(-\frac{\pi}{2}\) gives \(\csc=-1\), and at \(\pi\) \(\sin\pi=0\) so \(\csc\) is undefined. Exam tip: convert \(\csc y=\) value to \(\sin y=\) value and then pick the principal value from the defined range.
B. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cosec y\) कभी (\left\(-1,1\right\)) में नहीं आता। इसलिए \(\cosec^{-1}x\) का प्रांत (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) है। / The value of \(\cosec y\) never lies in (\left\(-1,1\right\)). So the domain of \(\cosec^{-1}x\) is (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)).
\(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\) से \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए \(y=\frac{\pi}{3}\) है। \(\csc^{-1}\) को \(\sin^{-1}\) से जोड़कर हल करें। / From \(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\), \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), so \(y=\frac{\pi}{3}\). Solve \(\csc^{-1}\) by relating it to \(\sin^{-1}\).
\(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) और \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) है। इसलिए \(\csc\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-2\) और मुख्य मान (principal value) की परिभाषा के अनुसार \(\csc^{-1}x\) का मान \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) पर लिया जाता है। इस रेंज में सही कोण \(-\tfrac{\pi}{6}\) है। अन्य विकल्पों पर: \(\tfrac{\pi}{6}\) और \(\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए \(\csc=+2\) होगा, जबकि \(-\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए भी \(\csc=-2\) मिलता है पर वह मुख्य रेंज में नहीं आता। परीक्षा-टिप: \(\csc^{-1}x\) को \(\sin^{-1}(1/x)\) की तरह बदलकर और मुख्य रेंज याद रखकर जल्दी हल करें। / Use \(\csc\theta=1/\sin\theta\). Since \(\sin(-\pi/6)=-1/2\), we have \(\csc(-\pi/6)=-2\). The usual principal range for \(\csc^{-1}x\) is \([-\pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}\), so the principal value is \(-\pi/6\). Why others are wrong: \(\pi/6\) and \(5\pi/6\) give \(+2\), not \(-2\); \(-5\pi/6\) also gives \(-2\) but lies outside the principal range. Exam tip: convert to \(\sin^{-1}(1/x)\) and check the principal-range restriction to choose the correct sign and angle.
