Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (14) और अंतर (8) है इसलिए (a_n=14+(n-1)8=8n+6)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (14) and the difference is (8), so (a_n=14+(n-1)8=8n+6). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
(n=6) रखने पर (5(6)2-4(6)+3=159)। वर्ग वाले पद में पहले \(n^2\) निकालें। / Putting (n=6), (5(6)2-4(6)+3=159). Calculate \(n^2\) first in a squared term.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=3\), इसलिए \(a_n=6n-3\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=3\), so \(a_n=6n-3\). When two terms are given, find the common difference first.
दिए गए पद \(2n^2+5n\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में पहले तीन पदों पर विकल्प जांचें। / The given terms match \(2n^2+5n\). In a quadratic pattern, test the options on the first three terms.
(n=2k+3) रखने पर (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16)। सूचकांक का पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=2k+3), (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16). Substitute the whole expression used as the index.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_7=4\cdot5^6=62500\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) होती है। / This is a geometric sequence and \(a_7=4\cdot5^6=62500\). In a geometric sequence, the exponent is (n-1).
\(a_9=136\) और \(a_4=36\), इसलिए अंतर (100) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_9=136\) and \(a_4=36\), so the difference is (100). Find both terms separately before subtracting.
पद \(2n^2+2n-1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर समान हों तो द्विघात नियम खोजें। / The terms match \(2n^2+2n-1\). If second differences are equal, look for a quadratic rule.
(26-5n=-34) से (5n=60), इसलिए (n=12)। ऋणात्मक पदों में चिन्हों पर ध्यान दें। / From (26-5n=-34), (5n=60), so (n=12). Be careful with signs in negative terms.
पद \(n^2+5n\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (6) और (n=2) पर (14) आता है। विकल्पों को शुरुआती पदों पर जांचें। / The terms match \(n^2+5n\), giving (6) for (n=1) and (14) for (n=2). Test options on the starting terms.
(n=8) पर ((-1)9=-1) और (4(8)+1=33), इसलिए \(a_8=-33\)। वैकल्पिक चिन्ह में घात की सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=8), ((-1)9=-1) and (4(8)+1=33), so \(a_8=-33\). In alternating signs, check whether the exponent is even or odd.
\(a_7=a_1+6d\) से \(a_1=2\), इसलिए (a_n=2+(n-1)6=6n-4)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_7=a_1+6d\), \(a_1=2\), so (a_n=2+(n-1)6=6n-4). Finding the first term from a middle term is useful.
पद \(8+2,16+2,32+2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+2}+2\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(8+2,16+2,32+2,\ldots\), so \(a_n=2^{n+2}+2\). In exponential patterns, identify the starting power.
हर पद में \(\frac{7}{4}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{7n}{4}\)। भिन्नों में समान हर बनाकर पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{7}{4}\), so \(a_n=\frac{7n}{4}\). Use a common denominator to see the pattern in fractions.
दिए गए पद \(3n^2+1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर (6) होने पर \(n^2\) का गुणांक (3) होता है। / The given terms match \(3n^2+1\). When the second difference is (6), the coefficient of \(n^2\) is (3).
\(a_{n+1}=6n^2+7n+3\), इसलिए अंतर (12n+1) है। (n+1) का वर्ग सावधानी से खोलें। / \(a_{n+1}=6n^2+7n+3\), so the difference is (12n+1). Expand ((n+1)2) carefully.
पहला पद (31) और अंतर (-5) है इसलिए (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (31) and the difference is (-5), so (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n). Use a negative difference in a decreasing sequence.
पद \(n^2+9n+5\) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले दो या तीन पदों पर जांचना चाहिए। / The terms match \(n^2+9n+5\). Options should be tested on the first two or three terms.
(11n-17=159) से (11n=176), इसलिए (n=16)। पद संख्या निकालने के लिए समीकरण बनाएं। / From (11n-17=159), (11n=176), so (n=16). Form an equation to find the term number.
हर पद में \(\frac{9}{5}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{9n}{5}\)। समान हर वाले भिन्नों में अंश का पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{9}{5}\), so \(a_n=\frac{9n}{5}\). In fractions with a common denominator, observe the numerator pattern.
\(a_8=148\) और \(a_5=61\), इसलिए अंतर (87) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_8=148\) and \(a_5=61\), so the difference is (87). Find both terms separately before subtracting.
पद \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=3n^2\)। गुणांक वाले वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=3n^2\). Recognize the square pattern with its coefficient.
\(a_5=-3\) और \(a_{11}=-27\), इसलिए योग (-30) है। ऋणात्मक संख्याओं का योग सावधानी से करें। / \(a_5=-3\) and \(a_{11}=-27\), so the sum is (-30). Add negative numbers carefully.
पद \(3^3,4^3,5^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+2)3)। घन श्रेणी में शुरुआती आधार देखें। / The terms are \(3^3,4^3,5^3,\ldots\), so (a_n=(n+2)3). In cube sequences, observe the starting base.
सूचकांक (5) बढ़ा है और सामान्य अंतर (8) है इसलिए अंतर (40) होगा। रैखिक नियम में (n) का गुणांक सामान्य अंतर देता है। / The index increases by (5) and the common difference is (8), so the difference is (40). In a linear rule, the coefficient of (n) gives the common difference.
हर बार गुणन (3) हो रहा है इसलिए \(a_n=5\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (3), so \(a_n=5\cdot3^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
\(a_{n+2}=4n^2+17n+12\), इसलिए अंतर (16n+18) है। (n+2) का वर्ग सही खोलें। / \(a_{n+2}=4n^2+17n+12\), so the difference is (16n+18). Expand ((n+2)2) correctly.
(9d=63) से (d=7), इसलिए \(a_{23}=95+9\cdot7=158\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=63), (d=7), so \(a_{23}=95+9\cdot7=158\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
दिए गए पद \(2n^2-1\) से मिलते हैं। पहले पद (1) और दूसरे पद (7) से विकल्प जांचें। / The given terms match \(2n^2-1\). Test options using the first term (1) and the second term (7).
(n) की जगह (3n-2) रखने पर (6(3n-2)-8=18n-20)। पूरे सूचकांक को ब्रैकेट में रखकर हल करें। / Replacing (n) by (3n-2), (6(3n-2)-8=18n-20). Put the whole index in brackets while solving.
(19+(n-1)12=151) से (n-1=11), इसलिए (n=12)। पद संख्या निकालते समय (n-1) को न भूलें। / From (19+(n-1)12=151), (n-1=11), so (n=12). Do not forget (n-1) while finding the term number.
(a_{12}=\frac{12(17)}{3}=68)। भिन्न में पहले सरल करना गणना आसान बनाता है। / (a_{12}=\frac{12(17)}{3}=68). Simplifying first makes fraction calculation easier.
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+4n+1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (6), and \(3n^2+4n+1\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
विषम (n) पर पद धनात्मक और सम (n) पर ऋणात्मक है, इसलिए (a_n=3(-1)^{n+1}n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are positive and for even (n), terms are negative, so (a_n=3(-1)^{n+1}n). In alternating signs, test first at (n=1).
\(n^2+10=131\) से \(n^2=121\), इसलिए (n=11)। पद संख्या धन पूर्णांक ही ली जाती है। / From \(n^2+10=131\), \(n^2=121\), so (n=11). A term number is taken as a positive integer.
हर पद आधा हो रहा है इसलिए (a_n=24\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1})। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so (a_n=24\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
\(a_{10}=317\) और \(a_3=16\), इसलिए अंतर (301) है। दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / \(a_{10}=317\) and \(a_3=16\), so the difference is (301). Find both terms separately and subtract.
पहला पद (18) और अंतर (17) है, इसलिए \(a_{25}=18+24\cdot17=426\)। (25)वें पद में (24) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (18) and the difference is (17), so \(a_{25}=18+24\cdot17=426\). The (25)th term includes (24) differences.
\(a_7=175\) और \(a_4=64\), इसलिए अंतर (111) है। घटाने से पहले दोनों पद सही निकालें। / \(a_7=175\) and \(a_4=64\), so the difference is (111). Find both terms correctly before subtracting.
पद \(6\cdot1^2,6\cdot2^2,6\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=6n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(6\cdot1^2,6\cdot2^2,6\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=6n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+7n+2\) शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (6), and \(3n^2+7n+2\) gives the starting terms. In a quadratic rule, half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
(n=4p+2) रखने पर (5(4p+2)+14=20p+24)। सूचकांक में दिया पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=4p+2), (5(4p+2)+14=20p+24). Substitute the whole expression given in the index.
पद \(2+3,4+3,8+3,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n+3\)। घातीय पैटर्न में स्थिर जोड़ को पहचानें। / The terms are \(2+3,4+3,8+3,\ldots\), so \(a_n=2^n+3\). In exponential patterns, identify the constant addition.
(n=7) रखने पर (7(7+4)=77)। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका हो सकता है। / Putting (n=7), (7(7+4)=77). Directly testing the options can be a quick method.
\(a_n=12n-7\) में (n) का गुणांक (12) है, इसलिए सामान्य अंतर (12) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=12n-7\), the coefficient of (n) is (12), so the common difference is (12). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
हर पद \(\frac{1}{3}\) गुना हो रहा है इसलिए (a_n=81\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1})। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so (a_n=81\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
