Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (9) और अंतर (7) है इसलिए (a_n=9+(n-1)7=7n+2)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (9) and the difference is (7), so (a_n=9+(n-1)7=7n+2). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
(n=7) रखने पर (4(7)2-3(7)+2=177)। वर्ग वाले पद में पहले \(n^2\) निकालें। / Putting (n=7), (4(7)2-3(7)+2=177). In a squared term, calculate \(n^2\) first.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=4\), इसलिए \(a_n=6n-2\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=4\), so \(a_n=6n-2\). When two terms are given, find the common difference first.
दिए गए पद \(n^2+2n+2\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में पहले कुछ पदों पर विकल्प जांचें। / The given terms match \(n^2+2n+2\). In a quadratic pattern, test the options using the first few terms.
(n=3m) रखने पर (a_{3m}=7(3m)-4=21m-4)। बदले हुए सूचकांक को पूरे सूत्र में रखें। / Putting (n=3m), (a_{3m}=7(3m)-4=21m-4). Substitute the changed index in the whole formula.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_8=3\cdot3^7=3^8=6561\)। घात की गणना में पद संख्या ध्यान से रखें। / This is a geometric sequence and \(a_8=3\cdot3^7=3^8=6561\). Be careful with the term number while using powers.
\(a_3=4\) और \(a_8=34\), इसलिए योग (38) नहीं बल्कि सही गणना (38) है। विकल्पों को देखकर गणना दोबारा जांचें। / \(a_3=4\) and \(a_8=34\), so the correct sum is (38). Recheck calculation if options seem close.
दूसरे अंतर समान (4) हैं और पद \(2n^2+n+1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर से द्विघात नियम का संकेत मिलता है। / The second differences are (4), and the terms match \(2n^2+n+1\). Equal second differences suggest a quadratic rule.
(18-4n=-30) से (4n=48), इसलिए (n=12)। ऋणात्मक पदों में चिन्हों पर ध्यान दें। / From (18-4n=-30), (4n=48), so (n=12). Be careful with signs in negative terms.
पद \(4n^2-2n\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (2) और (n=2) पर (12) नहीं आता। सही विकल्प जांचकर चुनें। / The terms are generated by \(4n^2-2n\) only if checked carefully against the sequence. Always test more than one term.
(n=5) पर ((-1)6=1) और (3(5)-2=13)। वैकल्पिक चिन्ह में घात की सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=5), ((-1)6=1) and (3(5)-2=13). In alternating signs, check whether the exponent is even or odd.
\(a_8=a_1+7d\) से \(a_1=6\), इसलिए (a_n=6+(n-1)5=5n+1)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_8=a_1+7d\), \(a_1=6\), so (a_n=6+(n-1)5=5n+1). Finding the first term from a middle term is useful.
पद \(8-1,16-1,32-1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+2}-1\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(8-1,16-1,32-1,\ldots\), so \(a_n=2^{n+2}-1\). In exponential patterns, identify the starting power.
पद (n(2n-1)) से मिलते हैं क्योंकि (n=3) पर (15) मिलता है। विकल्पों को कई पदों पर जांचें। / The terms match (n(2n-1)), since for (n=3) it gives (15). Test options on several terms.
\(a_{n+1}=5n^2+8n+4\), इसलिए \(a_{n+1}-a_n=10n+3\)। (n+1) का वर्ग सावधानी से खोलें। / \(a_{n+1}=5n^2+8n+4\), so \(a_{n+1}-a_n=10n+3\). Expand ((n+1)2) carefully.
पहला पद (20) और अंतर (-3) है इसलिए (a_n=20+(n-1)(-3)=23-3n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (20) and the difference is (-3), so (a_n=20+(n-1)(-3)=23-3n). Take the difference as negative in a decreasing sequence.
पद \(n^2+5n+4\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (10) और (n=2) पर (18) आता है। विकल्प को पहले दो पदों पर जरूर जांचें। / The terms match \(n^2+5n+4\), giving (10) for (n=1) and (18) for (n=2). Always test the option on the first two terms.
(9n-13=122) से (9n=135), इसलिए (n=15)। पद संख्या निकालने के लिए समीकरण बनाएं। / From (9n-13=122), (9n=135), so (n=15). Form an equation to find the term number.
हर पद में \(\frac{5}{3}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{5n}{3}\)। भिन्नों को समान हर में देखकर पैटर्न पहचानें। / Each term increases by \(\frac{5}{3}\), so \(a_n=\frac{5n}{3}\). Identify the pattern by using a common denominator.
\(a_{10}=134\) और \(a_6=54\), इसलिए अंतर (80) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_{10}=134\) and \(a_6=54\), so the difference is (80). Find both terms separately before subtracting.
पद \(2\cdot1^2,2\cdot2^2,2\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2n^2\)। वर्ग पैटर्न को गुणांक के साथ पहचानें। / The terms are \(2\cdot1^2,2\cdot2^2,2\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=2n^2\). Recognize the square pattern with its coefficient.
\(a_4=-1\) और \(a_9=-16\), इसलिए योग (-17) है। ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय चिन्ह ध्यान से रखें। / \(a_4=-1\) and \(a_9=-16\), so the sum is (-17). Keep signs in mind when adding negative numbers.
यह घनों की श्रेणी है और \(512=8^3\), इसलिए यह (8)वां पद है। घन श्रेणी में पद संख्या घनमूल से मिलती है। / This is a cube sequence and \(512=8^3\), so it is the (8)th term. In a cube sequence, the term number matches the cube root.
सूचकांक (4) बढ़ा है और सामान्य अंतर (6) है इसलिए अंतर (24) होगा। रैखिक नियम में गुणांक सामान्य अंतर होता है। / The index increases by (4) and the common difference is (6), so the difference is (24). In a linear rule, the coefficient is the common difference.
हर बार गुणन (4) हो रहा है इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
\(a_{n+2}=3n^2+14n+11\), इसलिए अंतर (12n+16) है। (n+2) का वर्ग सही खोलें। / \(a_{n+2}=3n^2+14n+11\), so the difference is (12n+16). Expand ((n+2)2) correctly.
(9d=45) से (d=5), इसलिए \(a_{20}=59+8\cdot5=99\)। दूर के पद को निकट दिए पद से निकालना आसान होता है। / From (9d=45), (d=5), so \(a_{20}=59+8\cdot5=99\). It is easier to find a far term from a nearby given term.
पद \(n^2+3n-4\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (0) और (n=2) पर (6) नहीं बल्कि सावधानी से जांचना होगा। सही नियम के लिए सभी शुरुआती पद मिलाएं। / The terms should be matched carefully with the option. Test all starting terms before finalizing the rule.
(n) की जगह (2n+1) रखने पर (4(2n+1)-7=8n-3)। पूरे सूचकांक को ब्रैकेट में रखकर हल करें। / Replacing (n) by (2n+1), (4(2n+1)-7=8n-3). Put the whole index in brackets while solving.
(14+(n-1)8=126) से (n-1=14), इसलिए (n=15)। पद संख्या निकालते समय (n-1) को न भूलें। / From (14+(n-1)8=126), (n-1=14), so (n=15). Do not forget (n-1) while finding the term number.
(a_9=\frac{9(12)}{2}=54)। गुणा करने के बाद भाग देना गणना आसान बनाता है। / (a_9=\frac{9(12)}{2}=54). Multiplying first and then dividing makes calculation easier.
पद \(2n^2+n\) नहीं बल्कि \(2n^2+n\) से ही मिलते हैं। पहले पद पर (3) और दूसरे पर (10) आने चाहिए। / The terms match \(2n^2+n\). The first term should be (3) and the second should be (10).
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है, इसलिए (a_n=2(-1)^n n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=2(-1)^n n). In alternating signs, test first at (n=1).
\(n^2+6=87\) से \(n^2=81\), इसलिए (n=9)। पद संख्या धन पूर्णांक ही ली जाती है। / From \(n^2+6=87\), \(n^2=81\), so (n=9). The term number is taken as a positive integer.
हर पद आधा हो रहा है इसलिए (a_n=18\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1})। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so (a_n=18\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
\(a_2=4\) और \(a_9=186\), इसलिए अंतर (182) है। दोनों पदों को अलग-अलग निकालकर घटाएं। / \(a_2=4\) and \(a_9=186\), so the difference is (182). Find both terms separately and subtract.
पहला पद (12) और अंतर (13) है, इसलिए \(a_{30}=12+29\cdot13=389\)। (30)वें पद में (29) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (12) and the difference is (13), so \(a_{30}=12+29\cdot13=389\). The (30)th term includes (29) differences.
\(a_6=102\) और \(a_3=33\), इसलिए अंतर (69) है। घटाने से पहले दोनों पद सही निकालें। / \(a_6=102\) and \(a_3=33\), so the difference is (69). Find both terms correctly before subtracting.
पद \(5\cdot1^2,5\cdot2^2,5\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=5n^2\)। गुणांक वाले वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(5\cdot1^2,5\cdot2^2,5\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=5n^2\). Recognize the square pattern with a coefficient.
दूसरे अंतर (4) हैं और \(2n^2+4n+3\) सभी शुरुआती पद देता है। दूसरे अंतर आधे से \(n^2\) का गुणांक मिलता है। / The second differences are (4), and \(2n^2+4n+3\) gives all starting terms. Half of the second difference gives the coefficient of \(n^2\).
(n=5p-1) रखने पर (4(5p-1)+9=20p+5)। सूचकांक में दिया पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=5p-1), (4(5p-1)+9=20p+5). Substitute the whole expression given in the index.
पद \(2+2,4+2,8+2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n+2\)। घातीय पैटर्न में स्थिर जोड़ को पहचानें। / The terms are \(2+2,4+2,8+2,\ldots\), so \(a_n=2^n+2\). In exponential patterns, identify the constant addition.
(n(n-2)=48) में (n=8) रखने पर \(8\cdot6=48\)। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका हो सकता है। / In (n(n-2)=48), putting (n=8) gives \(8\cdot6=48\). Directly testing options can be a quick method.
\(a_n=5n+12\) में (n) का गुणांक (5) है, इसलिए सामान्य अंतर (5) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=5n+12\), the coefficient of (n) is (5), so the common difference is (5). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
हर पद पिछले का आधा है इसलिए (a_n=16\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1})। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is half of the previous one, so (a_n=16\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+4n+4\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (6), and \(3n^2+4n+4\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
