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अंतर (4) है इसलिए (a_n=7+(n-1)4=4n+3)। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग लिखें। / The difference is (4), so (a_n=7+(n-1)4=4n+3). In exams, write the first term and common difference first.
(n=8) रखने पर (3(8)2-2(8)+5=181)। ऐसे प्रश्नों में सीधे प्रतिस्थापन करें। / Putting (n=8), (3(8)2-2(8)+5=181). For such questions, substitute directly.
दिए गए पद \(1^2+1,2^2+3\) नहीं बल्कि \(n^2+1\) से मिलते हैं। पहले कुछ पदों से नियम जांचें। / The terms match \(n^2+1\). Always test a rule with the first few terms.
(5k-3=47) से (5k=50), अतः (k=10)। पद संख्या निकालते समय समीकरण बनाएं। / From (5k-3=47), (5k=50), so (k=10). Form an equation when finding the term number.
(5d=25) इसलिए (d=5) और \(a_1=3\), अतः \(a_n=5n-2\)। दो पद दिए हों तो पहले अंतर निकालें। / Here (5d=25), so (d=5) and \(a_1=3\), hence \(a_n=5n-2\). With two terms, find the difference first.
हर बार गुणन (2) हो रहा है इसलिए \(a_n=6\cdot2^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) याद रखें। / Each term is multiplied by (2), so \(a_n=6\cdot2^{n-1}\). In a geometric sequence, remember the exponent (n-1).
\(a_{10}=226\) और \(a_7=115\), इसलिए अंतर (111) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_{10}=226\) and \(a_7=115\), so the difference is (111). Find both terms separately before subtracting.
पद \(2^2,3^2,4^2,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+1)2)। सूचकांक की शुरुआत ध्यान से देखें। / The terms are \(2^2,3^2,4^2,\ldots\), so (a_n=(n+1)2). Watch the starting index carefully.
(9-2n=-31) से (2n=40), इसलिए (n=20)। ऋणात्मक पदों में चिन्हों पर ध्यान दें। / From (9-2n=-31), (2n=40), so (n=20). Be careful with signs in negative terms.
\(a_5=32\) और \(a_6=44\), अतः योग (76) नहीं बल्कि (78) है। गणना के बाद विकल्पों से मिलान करें। / \(a_5=32\) and \(a_6=44\), so the sum is (78), not (76). Check your calculation with the options.
पहला पद (10) और अंतर (-3) है इसलिए (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (10) and the difference is (-3), so (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n). A decreasing sequence has a negative difference.
(n) की जगह (2m) रखने पर (a_{2m}=4(2m)+1=8m+1)। सूचकांक बदलने पर पूरा पद बदलता है। / Replacing (n) by (2m), (a_{2m}=4(2m)+1=8m+1). When the index changes, substitute the whole index.
\(a_{n+1}=7n+2\), इसलिए \(a_{n+1}-a_n=7\)। रैखिक नियम में अंतर गुणांक के बराबर होता है। / \(a_{n+1}=7n+2\), so \(a_{n+1}-a_n=7\). For a linear rule, the difference equals the coefficient of (n).
(n=6) सम है इसलिए ((-1)6=1), अतः \(a_6=15\)। वैकल्पिक चिन्ह में सम और विषम (n) अलग जांचें। / Since (n=6) is even, ((-1)6=1), so \(a_6=15\). For alternating signs, check whether (n) is even or odd.
पद \(n^2+2n\) से मिलते हैं क्योंकि \(1^2+2,2^2+4,\ldots\)। पहले तीन पदों पर विकल्प जांचें। / The terms match \(n^2+2n\). Test options using the first three terms.
\(2^n+1=33\) से \(2^n=32=2^5\), अतः (n=5)। घातीय नियम में समान आधार बनाएं। / From \(2^n+1=33\), \(2^n=32=2^5\), so (n=5). In exponential rules, write powers with the same base.
पद \(4+1,8+1,16+1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+1}+1\)। घात की शुरुआत पहचानना जरूरी है। / The terms are \(4+1,8+1,16+1,\ldots\), so \(a_n=2^{n+1}+1\). Identifying the starting power is important.
\(a_9=108\) और \(a_4=28\), इसलिए अंतर (80) नहीं बल्कि (88) है। गुणन वाले नियम में ब्रैकेट ध्यान से खोलें। / \(a_9=108\) and \(a_4=28\), so the difference is (88), not (80). Open brackets carefully in product rules.
यह वर्गों की श्रेणी है और \(196=14^2\)। वर्ग श्रेणी में पद संख्या वर्गमूल से मिलती है। / This is a square sequence and \(196=14^2\). In a square sequence, the term number matches the square root.
\(a_3=-3\) और \(a_8=-28\), इसलिए योग (-31) है। ऋणात्मक संख्याओं का योग सावधानी से करें। / \(a_3=-3\) and \(a_8=-28\), so the sum is (-31). Add negative numbers carefully.
\(a_{12}=\frac{12\cdot13}{2}=78\)। त्रिभुज संख्याओं में पहले गुणा फिर भाग करें। / \(a_{12}=\frac{12\cdot13}{2}=78\). In triangular numbers, multiply first and then divide.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=n(n+1))। लगातार संख्याओं के गुणन को पहचानें। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\), so (a_n=n(n+1)). Recognize products of consecutive numbers.
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है इसलिए (a_n=(-1)^n n)। चिन्ह पैटर्न को अलग से देखें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=(-1)^n n). Check the sign pattern separately.
पहला पद (11) और अंतर (7) है, इसलिए \(a_{25}=11+24\cdot7=179\)। (25)वें पद में (24) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (11) and the difference is (7), so \(a_{25}=11+24\cdot7=179\). The (25)th term includes (24) differences.
पहले पांच पद (1,3,5,7,9) हैं और उनका योग (25) है। पहले पद लिखना छोटे योग में अच्छा तरीका है। / The first five terms are (1,3,5,7,9), and their sum is (25). Listing terms is a good method for small sums.
(n=r+2) रखने पर (a_{r+2}=10(r+2)+4=10r+24)। ब्रैकेट खोलते समय सभी पदों पर गुणा करें। / Putting (n=r+2), (a_{r+2}=10(r+2)+4=10r+24). Multiply all terms inside the bracket carefully.
पद \(2^3,3^3,4^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+1)3)। घन श्रेणी में आरंभिक संख्या पहचानें। / The terms are \(2^3,3^3,4^3,\ldots\), so (a_n=(n+1)3). In cube sequences, identify the starting number.
\(a_2=2\) और \(a_5=11\) नहीं, सही गणना \(a_5=11\) देती है इसलिए योग (13) होगा। विकल्पों में सही मान नहीं है। / \(a_2=2\) and \(a_5=11\), so the sum is (13). The listed options do not contain the correct value.
अंतर (-4) है इसलिए (a_n=13+(n-1)(-4)=17-4n)। पहला पद जांचकर सूत्र पक्का करें। / The difference is (-4), so (a_n=13+(n-1)(-4)=17-4n). Verify the formula with the first term.
दूसरे अंतर समान (2) हैं और पद \(n^2+3n\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर से द्विघात नियम का संकेत मिलता है। / The second differences are (2), and the terms match \(n^2+3n\). Equal second differences suggest a quadratic rule.
(15-2n=0) से \(n=\frac{15}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है। पद संख्या हमेशा धन पूर्णांक होनी चाहिए। / From (15-2n=0), \(n=\frac{15}{2}\), which is not an integer. A term number must be a positive integer.
यह गुणोत्तर श्रेणी है इसलिए \(a_{10}=7\cdot2^9=3584\)। (10)वें पद में घात (9) होती है। / This is a geometric sequence, so \(a_{10}=7\cdot2^9=3584\). The (10)th term has exponent (9).
पद \(1^2+1,2^2+1,3^2+1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=n^2+1\)। वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(1^2+1,2^2+1,3^2+1,\ldots\), so \(a_n=n^2+1\). Recognize the square pattern.
\(a_{n+3}=3n+11\), इसलिए अंतर (9) है। सूचकांक में (3) की वृद्धि हो तो अंतर (3d) होता है। / \(a_{n+3}=3n+11\), so the difference is (9). If the index increases by (3), the difference is (3d).
\(a_6=a_1+5d\) से \(a_1=11\), अतः (a_n=11+(n-1)4=4n+7)। किसी मध्य पद से पहला पद निकालें। / From \(a_6=a_1+5d\), \(a_1=11\), hence (a_n=11+(n-1)4=4n+7). Use a middle term to find the first term.
पद \(2^1-1,2^2-1,2^3-1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n-1\)। दोगुना होकर एक कम पैटर्न पहचानें। / The terms are \(2^1-1,2^2-1,2^3-1,\ldots\), so \(a_n=2^n-1\). Recognize the double-minus-one pattern.
दो पदों की संख्या में अंतर (2) है और सामान्य अंतर (8), इसलिए अंतर (16) है। रैखिक पद में (d) का उपयोग करके समय बचाएं। / The term numbers differ by (2) and the common difference is (8), so the difference is (16). Use (d) in linear terms to save time.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है इसलिए (a_n=12\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1})। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रखें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), so (a_n=12\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}). Keep the first term separate in a geometric sequence.
पद \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=n^2-1\)। शून्य वाले पहले पद को भी जांचें। / The terms are \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,\ldots\), so \(a_n=n^2-1\). Check the zero first term also.
(n=8) रखने पर (3(8)2+8-2=198)। वर्ग वाले पद में पहले \(n^2\) का मान निकालें। / Putting (n=8), (3(8)2+8-2=198). In square-based terms, calculate \(n^2\) first.
पद (12+4(1)+1,22+4(2)+1,\ldots) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचना अच्छा तरीका है। / The terms match (12+4(1)+1,22+4(2)+1,\ldots). Testing options on the first three terms is a good method.
