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दिया है कि \(x=\sqrt{5}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{5})^2=5\), क्योंकि किसी धनात्मक संख्या के मुख्य वर्गमूल का वर्ग वही संख्या होता है। \(25\) तब मिलता यदि \(5\) का वर्ग किया जाता, न कि \(\sqrt{5}\) का। परीक्षा टिप: \((\sqrt{a})^2=a\) को सीधे लागू करें। / Given \(x=\sqrt{5}\), we get \(x^2=(\sqrt{5})^2=5\). Squaring the principal square root of a positive number gives the number itself. \(25\) would result from squaring \(5\), not \(\sqrt{5}\). Exam tip: apply \((\sqrt{a})^2=a\) directly.
\(12=4\times3\) और \(27=9\times3\) होने से \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है। अतः \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। \(3\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{27}\) का सरल रूप है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(12=4\times3\) and \(27=9\times3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Therefore, \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). \(3\sqrt{3}\) is only the simplified form of \(\sqrt{27}\), not of the sum. Exam tip: first take out perfect-square factors from each surd, then add like surds.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(a+b=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(2\sqrt{2}\) केवल \(b\) का सरल रूप है, योग नहीं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को जोड़ने से पहले उन्हें सरल करके समान करणी वाले पद पहचानें। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(a+b=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), so option B is correct. \(2\sqrt{2}\) is only the simplified value of \(b\), not the sum. Exam tip: simplify surds first, then add like surd terms.
\(\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या है और 1 एक परिमेय संख्या है। किसी परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। इसलिए \(1-\sqrt{3}\) अपरिमेय है। पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या होने के लिए संख्या परिमेय होनी चाहिए, इसलिए वे विकल्प सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(\sqrt{n}\), जहाँ \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है, अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{3}\) is irrational, whereas 1 is rational. Adding or subtracting an irrational number and a rational number always gives an irrational result. Therefore, \(1-\sqrt{3}\) is irrational. It cannot be an integer or a natural number, since both of those are rational numbers. Exam tip: \(\sqrt{n}\) is irrational when \(n\) is not a perfect square.
\(45=9\times5\) होने पर \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{45}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। \(3\sqrt{5}\) केवल \(\sqrt{45}\) का सरल रूप है, घटाने के बाद का मान नहीं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को घटाने से पहले उनके अंदर के पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / Since \(45=9\times5\), \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{45}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). \(3\sqrt{5}\) is only the simplified form of \(\sqrt{45}\), not the result after subtraction. Exam tip: before adding or subtracting surds, first extract perfect-square factors from the radicands.
11 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी भी पूर्णांक का वर्ग 11 नहीं होता, इसलिए \(\sqrt{11}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता। अतः x अपरिमेय है। पूर्णांक और पूर्ण संख्याएँ सभी परिमेय होती हैं, इसलिए वे विकल्प सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: यदि किसी पूर्णांक का वर्गमूल पूर्ण वर्ग न हो, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। / 11 is not a perfect square: no integer has square equal to 11. Therefore, \(\sqrt{11}\) cannot be expressed as a ratio of two integers, so x is irrational. Integers and whole numbers are all rational, so those options cannot be correct. Exam tip: the square root of a non-perfect-square integer is irrational.
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं, क्योंकि 3 और 5 पूर्ण वर्ग नहीं हैं। विकल्प A में \(\sqrt{9}=3\) परिमेय है, विकल्प C में \(\frac{2}{3}\) परिमेय है और विकल्प D में \(\sqrt{16}=4\) तथा \(\sqrt{25}=5\) दोनों परिमेय हैं। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक, अर्थात परिमेय, होता है। / \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational because 3 and 5 are not perfect squares. In option A, \(\sqrt{9}=3\) is rational; in option C, \(\frac{2}{3}\) is rational; and in option D, \(\sqrt{16}=4\) and \(\sqrt{25}=5\) are both rational. Exam tip: the square root of a perfect square is an integer and hence rational.
वर्गमूलों के भाग के नियम से \(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। 16 केवल वर्गमूल के भीतर की संख्या है, उसका वर्गमूल नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) का प्रयोग तभी करें जब \(b>0\) हो। / Using the quotient rule for square roots, \(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=4\). Therefore, 4 is correct. The number 16 is only the value inside the square root; its square root must still be evaluated. Exam tip: use \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) when \(b>0\).
\(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, क्योंकि 13 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी ऐसी धनात्मक पूर्ण संख्या का वर्गमूल, जो पूर्ण वर्ग न हो, अपरिमेय होता है। इसके विपरीत, \(-2.5=-\frac{5}{2}\), \(\frac{13}{17}\) और \(0=\frac{0}{1}\) सभी परिमेय संख्याएँ हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर की पूर्ण संख्या पूर्ण वर्ग न हो, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{13}\) is irrational because 13 is not a perfect square. The square root of a positive integer that is not a perfect square is irrational. In contrast, \(-2.5=-\frac{5}{2}\), \(\frac{13}{17}\), and \(0=\frac{0}{1}\) are all rational numbers. Exam tip: Check whether the integer inside a square root is a perfect square.
दोनों पद समान करणी हैं: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=1\sqrt{7}+1\sqrt{7}=(1+1)\sqrt{7}=2\sqrt{7}\)। \(\sqrt{14}\) गलत है, क्योंकि \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) को सामान्यतः \(\sqrt{a+b}\) नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा टिप: समान करणी वाले पदों में केवल उनके गुणांक जोड़ें। / Both terms are like surds: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=1\sqrt{7}+1\sqrt{7}=(1+1)\sqrt{7}=2\sqrt{7}\). \(\sqrt{14}\) is incorrect because \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) cannot generally be written as \(\sqrt{a+b}\). Exam tip: add only the coefficients of like surds.
\(48=16\times3\) है, इसलिए \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\)। अतः \(\sqrt{48}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), इसलिए विकल्प A सही है। \(4\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{48}\) का सरल रूप है; उसमें से \(2\sqrt{3}\) घटाना अभी बाकी रहता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले पहचानें। / Since \(48=16\times3\), \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\). Therefore, \(\sqrt{48}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), so option A is correct. \(4\sqrt{3}\) is only the simplified form of \(\sqrt{48}\); the subtraction of \(2\sqrt{3}\) must still be done. Exam tip: first identify the largest perfect-square factor inside a surd.
\(\sqrt{81}=9\) क्योंकि \(9^2=81\), तथा \(\sqrt{1}=1\) क्योंकि \(1^2=1\)। इसलिए \(\sqrt{81}+\sqrt{1}=9+1=10\)। विकल्प 9 केवल \(\sqrt{81}\) का मान है, इसमें \(\sqrt{1}\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल वह धनात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर हो। / \(\sqrt{81}=9\) because \(9^2=81\), and \(\sqrt{1}=1\) because \(1^2=1\). Therefore, \(\sqrt{81}+\sqrt{1}=9+1=10\). Option 9 is only the value of \(\sqrt{81}\); it misses the addition of \(\sqrt{1}\). Exam tip: the square root of a perfect square is the positive number whose square equals the given number.
\(20=4\times5\) होने से \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{20}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), इसलिए विकल्प A सही है। \(2\sqrt{5}\) केवल \(\sqrt{20}\) का सरल रूप है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: मूलों को जोड़ने से पहले उन्हें समान मूल वाले पदों में सरल करें। / Since \(20=4\times5\), \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{20}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), so option A is correct. \(2\sqrt{5}\) is only the simplified form of \(\sqrt{20}\), not of the complete sum. Exam tip: simplify surds first, then combine like surds.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), इसलिए सही विकल्प C है। \(\sqrt{42}\) गलत है, क्योंकि वर्गमूलों का अंतर सामान्यतः \(\sqrt{50-8}\) के बराबर नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक करणी को उसके सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड की सहायता से सरल करें। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), so option C is correct. \(\sqrt{42}\) is incorrect because the difference of square roots is not generally equal to \(\sqrt{50-8}\). Exam tip: simplify each surd by factoring out its greatest perfect-square factor first.
यहाँ \(x\times x=(\sqrt{6})\times(\sqrt{6})=(\sqrt{6})^2=6\) है। किसी धनात्मक संख्या के मुख्य वर्गमूल का वर्ग वही संख्या देता है। \(\sqrt{12}\) गलत है, क्योंकि वर्गमूलों का गुणन \(\sqrt{6}\times\sqrt{6}=\sqrt{36}=6\) होता है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) को सीधे पहचानें। / Here, \(x\times x=(\sqrt{6})\times(\sqrt{6})=(\sqrt{6})^2=6\). Squaring the principal square root of a positive number gives the number itself. \(\sqrt{12}\) is incorrect because \(\sqrt{6}\times\sqrt{6}=\sqrt{36}=6\). Exam tip: recognise directly that \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\).
दिया है कि \(a=\sqrt{3}\)। अतः \(2a+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। इसलिए सही उत्तर \(3\sqrt{3}\) है। \(2\sqrt{3}\) केवल \(2a\) का मान है; उसमें अंतिम \(\sqrt{3}\) अभी जोड़ा जाना बाकी है। परीक्षा टिप: समान मूल वाले पदों में केवल उनके गुणांकों को जोड़ें। / Given \(a=\sqrt{3}\), we get \(2a+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). Hence, \(3\sqrt{3}\) is correct. \(2\sqrt{3}\) is only the value of \(2a\); the remaining \(\sqrt{3}\) must still be added. Exam tip: for like surds, add their coefficients.
\(24=4\times6\) और \(54=9\times6\) हैं। इसलिए \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) तथा \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\)। अतः \(\sqrt{24}+\sqrt{54}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}\)। \(7\sqrt{6}\) जैसी संख्या गुणांकों को गलत जोड़ने पर मिल सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें, फिर समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़ें। / Since \(24=4\times6\) and \(54=9\times6\), \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) and \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\). Therefore, \(\sqrt{24}+\sqrt{54}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}\). A result such as \(7\sqrt{6}\) can arise from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: first take out perfect-square factors from each surd, then add the coefficients of like surds.
\(72=36\times2\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। अतः \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। \(4\sqrt{2}\) गलत है, क्योंकि उसका वर्ग \(32\) होता है, \(72\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(72=36\times2\) and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). \(4\sqrt{2}\) is incorrect because its square is \(32\), not \(72\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(125=25\times5\) होने से \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{125}-\sqrt{5}=5\sqrt{5}-\sqrt{5}=4\sqrt{5}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(\sqrt{120}\) को \(\sqrt{125}-\sqrt{5}\) के बराबर नहीं माना जा सकता, क्योंकि वर्गमूलों में घटाव को एक ही वर्गमूल में नहीं लिखा जाता। परीक्षा टिप: पहले संख्या में पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानकर वर्गमूल सरल करें। / Since \(125=25\times5\), \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{125}-\sqrt{5}=5\sqrt{5}-\sqrt{5}=4\sqrt{5}\), so option B is correct. \(\sqrt{120}\) is not equal to \(\sqrt{125}-\sqrt{5}\), because subtraction of square roots cannot be combined into one square root. Exam tip: simplify each surd by identifying its largest perfect-square factor first.
दिया है कि \(x=\sqrt{14}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{14})^2=14\)। इसलिए \(x^2-10=14-10=4\), इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प 14 केवल \(x^2\) का मान है; उसमें से 10 घटाना शेष है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। / Given \(x=\sqrt{14}\), we get \(x^2=(\sqrt{14})^2=14\). Therefore, \(x^2-10=14-10=4\), so option D is correct. The value 14 is only \(x^2\); 10 still has to be subtracted. Exam tip: squaring a square root gives the original non-negative number.
\(18=9\times2\) और \(8=4\times2\) होने से \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। इसलिए \(\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। \(3\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{18}\) का सरल रूप है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें, फिर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(18=9\times2\) and \(8=4\times2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). \(3\sqrt{2}\) is only the simplified form of \(\sqrt{18}\), not of the sum. Exam tip: simplify each surd by taking out perfect-square factors before adding like surds.
\(\sqrt{81}=9\) और \(\sqrt{9}=3\) होता है। इसलिए \(\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3\)। अतः सही विकल्प B है। विकल्प 9 केवल अंश का वर्गमूल है; उसमें हर से भाग देना बाकी रहता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक वर्गमूल का मान निकालें, फिर भिन्न को सरल करें। / \(\sqrt{81}=9\) and \(\sqrt{9}=3\). Therefore, \(\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3\). Hence, option B is correct. The value 9 is only the square root of the numerator; division by the denominator is still required. Exam tip: evaluate each square root first, then simplify the fraction.
\(27=9\times3\) और \(12=4\times3\) हैं। इसलिए \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अतः \(x=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)। \(2\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{12}\) का सरल रूप है, अंतर का मान नहीं। परीक्षा में घटाने से पहले दोनों वर्गमूलों को समान करणी \(\sqrt{3}\) के रूप में सरल करें। / Since \(27=9\times3\) and \(12=4\times3\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(x=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\). \(2\sqrt{3}\) is only the simplified value of \(\sqrt{12}\), not the value of the difference. Exam tip: simplify both surds to like radicals before subtracting.
