Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला वर्ग (48) और दूसरा वर्ग (18) है। मध्य पद \(2\times4\sqrt{3}\times3\sqrt{2}=24\sqrt{6}\) है। / The first square is (48) and the second square is (18). The middle term is \(2\times4\sqrt{3}\times3\sqrt{2}=24\sqrt{6}\).
C. \(x\) अपरिमेय है और \(x^2\) अपरिमेय है/\(x\) is irrational and \(x^2\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}\)। चूँकि \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है, इसलिए \(5+2\sqrt{6}\) भी अपरिमेय है। अतः \(x^2\) अपरिमेय है। यदि \(x\) परिमेय होता, तो उसका वर्ग \(x^2\) परिमेय होता; यह विरोधाभास है। इसलिए \(x\) भी अपरिमेय है। विकल्प B निकट का भ्रमक है, पर \(x^2\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के परिमेय होने की जाँच के लिए उसके वर्ग के परिमेय होने के गुण का उपयोग करें। / \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6}\). Since \(\sqrt{6}\) is irrational, \(5+2\sqrt{6}\) is also irrational. Hence, \(x^2\) is irrational. If \(x\) were rational, then \(x^2\) would have to be rational, which is a contradiction. Therefore, \(x\) is also irrational. Option B is the closest distractor, but \(x^2\) is not rational. Exam tip: To test whether a number can be rational, use the fact that the square of every rational number is rational.
( \(\sqrt{10}-2\)2=10-4\sqrt{10}+4=14-4\sqrt{10} )। धनात्मक मुख्य वर्गमूल \( \sqrt{10}-2 \) है। / ( \(\sqrt{10}-2\)2=10-4\sqrt{10}+4=14-4\sqrt{10} ). The positive principal square root is \( \sqrt{10}-2 \).
यह \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) के रूप में संयुग्मी पदों का गुणन है। यहाँ \(a=\sqrt{10}\) और \(b=\sqrt{3}\) रखने पर मान \(10-3=7\) प्राप्त होता है। \(2\sqrt{30}\) विस्तार करने पर बनने वाले मध्य पदों का योग है, लेकिन संयुग्मी पदों में ये मध्य पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: \((x+y)(x-y)\) दिखते ही इसे वर्गों के अंतर के सूत्र से हल करें। / This is a product of conjugates in the form \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Here, \(a=\sqrt{10}\) and \(b=\sqrt{3}\), so the value is \(10-3=7\). \(2\sqrt{30}\) relates to the middle terms in expansion, but these terms cancel for conjugates. Exam tip: Whenever you see \((x+y)(x-y)\), apply the difference of squares formula directly.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, क्योंकि मुख्य वर्गमूल सदैव गैर-ऋणात्मक होता है। यहाँ \(x=a-b\) रखने पर \(\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|\) मिलता है। \(a-b\) केवल तब सही होगा जब \(a\ge b\); यदि \(a<b\), तो उसका मान ऋणात्मक होगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल के बाहर किसी वर्ग का परिणाम लिखते समय हमेशा परिमाण चिह्न \(|\ |\) लगाना याद रखें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\) because the principal square root is always non-negative. Taking \(x=a-b\), we get \(\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|\). The expression \(a-b\) is correct only when \(a\ge b\); if \(a<b\), it is negative. Exam tip: whenever a squared expression comes out of a square root, remember to use absolute value signs.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, क्योंकि वर्गमूल का मुख्य मान सदैव ऋणेतर होता है। अतः \(x=-9\) के लिए \(\sqrt{x^2}=|-9|=9\) तथा \(3x=3(-9)=-27\)। इसलिए \(\sqrt{x^2}+3x=9-27=-18\)। \(\sqrt{x^2}\) को सीधे \(x\) मानने पर \(-36\) मिलता, जो गलत है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{x^2}\) को हमेशा \(|x|\) लिखें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), because the principal square root is always non-negative. Thus, for \(x=-9\), \(\sqrt{x^2}=|-9|=9\) and \(3x=3(-9)=-27\). Therefore, \(\sqrt{x^2}+3x=9-27=-18\). Taking \(\sqrt{x^2}\) directly as \(x\) would give \(-36\), which is incorrect. Exam tip: always rewrite \(\sqrt{x^2}\) as \(|x|\).
दिया है कि \(18<\sqrt{n}<19\)। क्योंकि 18 और 19 दोनों धनात्मक हैं, इसलिए असमानता के तीनों भागों का वर्ग करने पर क्रम नहीं बदलता: \(18^2<n<19^2\)। अतः \(324<n<361\) होगा। विकल्प \(289<n<324\) में \(\sqrt{n}\), 17 और 18 के बीच होता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाली असमानता में वर्ग करने से पहले जाँच लें कि सीमाएँ धनात्मक हैं। / We are given \(18<\sqrt{n}<19\). Since 18 and 19 are positive, squaring all parts preserves the inequality: \(18^2<n<19^2\). Hence, \(324<n<361\). In \(289<n<324\), \(\sqrt{n}\) would lie between 17 and 18, not between 18 and 19. Exam tip: Before squaring an inequality involving square roots, check that the bounds are positive.
चूँकि \(\sqrt{m}\) धनात्मक है, दोनों तरफों का वर्ग लेने पर असमानता की दिशा अपरिवर्तित रहती है: \(21^2<m<22^2\)। अतः \(441<m<484\) सही है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में, \(21<m<22\) (विकल्प B) \(\sqrt{m}\) की सीमा है न कि \(m\) की; \(400<m<441\) (विकल्प C) और \(484<m<529\) (विकल्प D) क्रमशः \(20^2\)–\(21^2\) और \(22^2\)–\(23^2\) के अंतराल हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जब सीमाएँ धनात्मक हों तो पक्षों का वर्ग लेते समय असमानता की दिशा नहीं बदलती — हमेशा वर्ग करके सीमा पर पहुँचें और सीमाएँ कड़ी/मुलायम (strict/non-strict) बनी रहती हैं। / Since \(\sqrt{m}\) is positive, squaring all parts preserves the inequality: \(21^2<m<22^2\). Thus \(441<m<484\) is correct. Closest distractors: option B (\(21<m<22\)) gives the range of \(\sqrt{m}\), not of \(m\); option C (\(400<m<441\)) equals \(20^2\)–\(21^2\) and option D (\(484<m<529\)) equals \(22^2\)–\(23^2\), so both are outside the required range. Exam tip: when squaring an inequality ensure the expressions are nonnegative — then you can square termwise without flipping the inequality sign; square the exact endpoints to get the correct interval.
\( \sqrt{13} \) और (2+3=5) बराबर नहीं हैं। इसलिए वर्गमूल को जोड़ के अंदर सीधे नहीं बाँटते। / \( \sqrt{13} \) and (2+3=5) are not equal. Therefore square root cannot be distributed directly over addition.
किसी गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए मान (ab) है। / Multiplying the square root of a non-negative number by itself gives the same number. Therefore the value is (ab).
\(\sqrt{36}=6\) और \(\sqrt{49}=7\), इसलिए \(\sqrt{36}+\sqrt{49}=13\)। दूसरी ओर, \(85<169=13^2\), अतः \(\sqrt{85}<13\)। इसलिए \(\sqrt{36}+\sqrt{49}>\sqrt{85}\) सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{36}+\sqrt{49}\), \(\sqrt{85}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना के लिए धनात्मक संख्याओं के वर्गों की तुलना करें। / Since \(\sqrt{36}=6\) and \(\sqrt{49}=7\), we get \(\sqrt{36}+\sqrt{49}=13\). Also, \(85<169=13^2\), so \(\sqrt{85}<13\). Therefore, \(\sqrt{36}+\sqrt{49}>\sqrt{85}\) is correct. Option B is incorrect because the two expressions are not equal. Exam tip: To compare positive square roots, compare the corresponding squared values.
