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\(\sin x\) का मान केवल ([-1,1]) में आता है इसलिए \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / The value of \(\sin x\) lies only in ([-1,1]) so the domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1]). In exams check the domain first.
\(\cos x\) का मान भी ([-1,1]) में रहता है इसलिए \(\cos^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। मान रखने से पहले (x) की सीमा देखें। / The value of \(\cos x\) also lies in ([-1,1]) so the domain of \(\cos^{-1}x\) is ([-1,1]). Check the range of (x) before substitution.
A. अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))/Interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रधान मान (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में होता है। सिरों \(\pm\frac{\pi}{2}\) को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints \(\pm\frac{\pi}{2}\) are not included.
क्योंकि \(\cos 0=1\) और \(0\in[0,\pi]\) है इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। \(\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Because \(\cos 0=1\) and \(0\in[0,\pi]\) so \(\cos^{-1}1=0\). For \(\cos^{-1}x\) the answer is not negative.
क्योंकि \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) और \(\frac{\pi}{4}\) प्रधान सीमा में है। मान याद रखने से मूल प्रश्न जल्दी हल होता है। / Because \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) and \(\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range. Remembering basic values helps solve quickly.
यदि \(x\in[-1,1]\) हो तो (\sin\(\sin^{-1}x\)=x) होता है। पहले अंदर वाले फलन का डोमेन देखें। / If \(x\in[-1,1]\) then (\sin\(\sin^{-1}x\)=x). First check the domain of the inner function.
\(\cos^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका कोसाइन (x) है। इसलिए (\cos\(\cos^{-1}x\)=x)। / The expression \(\cos^{-1}x\) gives the angle whose cosine is (x). Hence (\cos\(\cos^{-1}x\)=x).
\(\tan^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है और (\tan\(\tan^{-1}x\)=x)। यह सबसे अधिक पूछी जाने वाली पहचान है। / The domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\) and (\tan\(\tan^{-1}x\)=x). This is a very common identity.
A. जब \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/When \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) की प्रधान सीमा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) है इसलिए इसी में (\sin^{-1}\(\sin x\)=x) सीधे सही है। सीमा के बिना यह गलती बन सकती है। / The principal range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) so (\sin^{-1}\(\sin x\)=x) is directly true there. Without range it can be a mistake.
\(\cos^{-1}x\) की प्रधान सीमा \([0,\pi]\) है। इसलिए (\cos^{-1}\(\cos x\)=x) इसी सीमा में सीधे लागू होता है। / The principal range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\). Therefore (\cos^{-1}\(\cos x\)=x) applies directly only in this range.
A. जब (x\in\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))/When (x\in\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) की प्रधान सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। इसलिए वही अंतराल सही चयन है। / The principal range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). Therefore that interval is the correct choice.
हर \(x\in[-1,1]\) के लिए \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। यह पहचान अक्सर सीधे उपयोग होती है। / For every \(x\in[-1,1]\), \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). This identity is often used directly.
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) मिलता है। उल्टे फलन में कोण से मूल मान निकालें। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). In inverse functions convert the angle back to the original value.
दोनों तरफ \(\cos\) लेने पर \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) है। कोण प्रधान सीमा में है इसलिए उत्तर मान्य है। / Taking \(\cos\) on both sides gives \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\). The angle lies in the principal range so the answer is valid.
दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\) है। \(\tan^{-1}\) वाले प्रश्न में मान सीधे टैन से मिलता है। / Taking \(\tan\) on both sides gives \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\). In \(\tan^{-1}\) questions the value comes directly from tangent.
A. समस्त वास्तविक संख्याएं \(\mathbb{R}\)/All real numbers \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cot x\) सभी वास्तविक मान ले सकता है इसलिए \(\cot^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है। इसे \(\sin^{-1}\) के डोमेन से न मिलाएं। / Since \(\cot x\) can take all real values the domain of \(\cot^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\). Do not mix it with the domain of \(\sin^{-1}x\).
\(\cot^{-1}x\) का प्रधान मान प्रायः (\(0,\pi\)) में लिया जाता है। इस कारण \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\) होता है। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is usually taken in (\(0,\pi\)). Hence \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\).
\(\sin^{-1}x\) केवल \(x\in[-1,1]\) के लिए परिभाषित है और \(2\notin[-1,1]\)। डोमेन आधारित प्रश्नों में विकल्प तुरंत जांचें। / The expression \(\sin^{-1}x\) is defined only for \(x\in[-1,1]\), and \(2\notin[-1,1]\). In domain questions check each option quickly.
\(-1\in[-1,1]\) इसलिए (\cos^{-1}(-1)) परिभाषित है। अन्य विकल्प अपने डोमेन से बाहर हैं। / Since \(-1\in[-1,1]\), (\cos^{-1}(-1)) is defined. The other options are outside their domains.
\(\sin^{-1}x\) वास्तविक तभी है जब \(x\in[-1,1]\)। इसे असमानता के रूप में \(-1\le x\le1\) लिखते हैं। / The value \(\sin^{-1}x\) is real only when \(x\in[-1,1]\). This is written as \(-1\le x\le1\).
यदि \(\cos^{-1}x=0\) है तो \(x=\cos0=1\)। उल्टे त्रिकोणमितीय समीकरण में दोनों ओर संबंधित त्रिकोणमितीय फलन लगाएं। / If \(\cos^{-1}x=0\), then \(x=\cos0=1\). In an inverse trigonometric equation apply the corresponding trigonometric function on both sides.
दोनों तरफ \(\sin\) लेने पर \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\) मिलता है। यह \(\sin^{-1}x\) का अधिकतम प्रधान मान है। / Taking \(\sin\) on both sides gives \(x=\sin\frac{\pi}{2}=1\). This is the maximum principal value of \(\sin^{-1}x\).
दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan0=0\) है। (x) और कोण को अलग-अलग पहचानें। / Taking \(\tan\) on both sides gives \(x=\tan0=0\). Identify the variable (x) and the angle separately.
A. \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है/The domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1])
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) के लिए (x) का मान ([-1,1]) में होना चाहिए। बाकी कथन डोमेन या सीमा में गलत हैं। / For \(\sin^{-1}x\), the value of (x) must lie in ([-1,1]). The other statements are wrong in domain or range.
(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x) इसलिए \(\sin^{-1}x\) विषम है। \(\tan^{-1}x\) भी विषम होता है पर विकल्प में नहीं है। / Since (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x), \(\sin^{-1}x\) is odd. The function \(\tan^{-1}x\) is also odd but is not in the options.
पहचान (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x) होती है। इसे \(\cos^{-1}x\) को विषम फलन मानकर हल न करें। / The identity is (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x). Do not solve it by treating \(\cos^{-1}x\) as an odd function.
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। चिन्ह बदलने वाले प्रश्नों में यह पहचान उपयोगी है। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). This identity is useful in sign-change questions.
\(\tan^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x)। उत्तर हमेशा प्रधान सीमा में रखें। / The function \(\tan^{-1}x\) is odd, so (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x). Keep the answer in the principal range.
\(-\frac{\pi}{6}\) प्रधान सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में है इसलिए मान वही है। \(\tan^{-1}\) में सीमा खुली होती है। / The angle \(-\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), so the value is the same. For \(\tan^{-1}\), the interval is open.
A. \(\sin y=x\) और \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/\(\sin y=x\) and \(y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ है \(\sin y=x\) और (y) प्रधान सीमा में है। उल्टे फलन को परिभाषा से समझना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The statement \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\) and (y) lies in the principal range. Understanding inverse functions by definition is the safest method.
A. \(\tan y=x\) और (y\in\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))/\(\tan y=x\) and (y\in\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(y=\tan^{-1}x\) का मतलब \(\tan y=x\) होता है। यहां (y) प्रधान सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में रहता है। / The expression \(y=\tan^{-1}x\) means \(\tan y=x\). Here (y) stays in the principal range (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
क्योंकि \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) है और \(\frac{\pi}{3}\) प्रधान सीमा में है। \(\tan^{-1}\) में कोण (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में लें। / Because \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range. For \(\tan^{-1}\), take the angle in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
क्योंकि \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। मूल त्रिकोणमितीय मानों से उल्टे मान जल्दी मिलते हैं। / Because \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Inverse values are found quickly from basic trigonometric values.
\(\frac{\pi}{4}\in[0,\pi]\) है इसलिए (\cos^{-1}\left\(\cos\frac{\pi}{4}\right\)=\frac{\pi}{4})। प्रधान सीमा में कोण हो तो वही उत्तर आता है। / Since \(\frac{\pi}{4}\in[0,\pi]\), (\cos^{-1}\left\(\cos\frac{\pi}{4}\right\)=\frac{\pi}{4}). If the angle lies in the principal range, it remains unchanged.
\(\frac{\pi}{3}\) प्रधान सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में आता है। इसलिए व्यंजक का मान \(\frac{\pi}{3}\) है। / The angle \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). Therefore the value of the expression is \(\frac{\pi}{3}\).
क्योंकि \(\operatorname{cosec}\frac{\pi}{6}=2\) है। \(\operatorname{cosec}^{-1}x\) में (x) का परिमाण (1) से कम नहीं हो सकता। / Because \(\operatorname{cosec}\frac{\pi}{6}=2\). In \(\operatorname{cosec}^{-1}x\), the magnitude of (x) cannot be less than (1).
क्योंकि \(\cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\) है और (\frac{\pi}{6}\in\(0,\pi\)) है। \(\cot^{-1}\) के प्रधान मान के लिए (\(0,\pi\)) याद रखें। / Because \(\cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\) and (\frac{\pi}{6}\in\(0,\pi\)). Remember (\(0,\pi\)) for the principal value of \(\cot^{-1}\).
\(\cos^{-1}x\) केवल \(x\in[-1,1]\) पर वास्तविक है और \(\frac{7}{6}>1\) है। इसलिए यह वास्तविक मान नहीं देगा। / The expression \(\cos^{-1}x\) is real only for \(x\in[-1,1]\), and \(\frac{7}{6}>1\). Hence it will not give a real value.
\(\sin^{-1}x\) की सीमा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) है। \(\frac{2\pi}{3}\) इस सीमा के बाहर है। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). The value \(\frac{2\pi}{3}\) lies outside this range.
\(\cos^{-1}x\) की सीमा \([0,\pi]\) है इसलिए ऋणात्मक मान संभव नहीं है। ऐसे प्रश्नों में केवल आउटपुट रेंज देखें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), so a negative value is not possible. In such questions check only the output range.
\(\tan^{-1}x\) की सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जिसमें \(\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं है। खुले अंतराल पर ध्यान दें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), which does not include \(\frac{\pi}{2}\). Pay attention to open intervals.
मान लें \(\theta=\cos^{-1}\frac{3}{5}\), तब \(\cos\theta=\frac{3}{5}\) और \(\theta\in[0,\pi]\)। यहां \(\sin\theta=\frac{4}{5}\) होगा। / Let \(\theta=\cos^{-1}\frac{3}{5}\), then \(\cos\theta=\frac{3}{5}\) and \(\theta\in[0,\pi]\). Here \(\sin\theta=\frac{4}{5}\).
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) है। मानक कोणों के मान परीक्षा में बहुत उपयोगी होते हैं। / Because \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Standard angle values are very useful in exams.
क्योंकि \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\) है। \(\cos^{-1}\) में प्रधान मान ऋणात्मक नहीं लेते। / Because \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) and \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\). For \(\cos^{-1}\), do not take a negative principal value.
मान लें \(\theta=\sin^{-1}\frac{5}{13}\), तब \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) और \(\theta\) प्रधान सीमा में है। इसलिए \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) होगा। / Let \(\theta=\sin^{-1}\frac{5}{13}\), then \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) and \(\theta\) is in the principal range. Therefore \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
मान लें \(\theta=\cos^{-1}\frac{4}{5}\), तब \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) और \(\sin\theta=\frac{3}{5}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{3}{4}\) होगा। / Let \(\theta=\cos^{-1}\frac{4}{5}\), then \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) and \(\sin\theta=\frac{3}{5}\). Hence \(\tan\theta=\frac{3}{4}\).
(\sin^{-1}(2x)) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\) मिलता है। / For (\sin^{-1}(2x)), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\).
(\cos^{-1}\left\(\frac{x}{3}\right\)) के लिए \(-1\le\frac{x}{3}\le1\) होना चाहिए। इसलिए \(-3\le x\le3\) है। / For (\cos^{-1}\left\(\frac{x}{3}\right\)), we need \(-1\le\frac{x}{3}\le1\). Therefore \(-3\le x\le3\).
जब (x>0) हो तो \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। \(\cot^{-1}x\) की प्रधान सीमा का ध्यान रखें। / When (x>0), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Keep the principal range of \(\cot^{-1}x\) in mind.
क्योंकि (\operatorname{cosec}\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-2) और \(-\frac{\pi}{6}\) प्रधान सीमा में है। ऋणात्मक मानों में सही प्रधान कोण चुनें। / Because (\operatorname{cosec}\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-2) and \(-\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range. For negative values choose the correct principal angle.
