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\(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) सभी \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए सही है। परीक्षा में यह मूल पहचान याद रखें। / The identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) is true for all \(x\in\left[-1,1\right]\). Remember this basic identity for exams.
पहचान \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) लागू होती है क्योंकि \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\)। ऐसे प्रश्नों में सीधे पहचान लगाएं। / The identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) applies because \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\). Use the identity directly in such questions.
याद रखें कि सामान्य पहचान है \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}\) जब \(x\in[-1,1]\)। यहाँ \(x=\tfrac{4}{5}\) है जो इस क्षेत्र में आता है, अतः \(\cos^{-1}\tfrac{4}{5}+\sin^{-1}\tfrac{4}{5}=\dfrac{\pi}{2}\)। निकटभ्रम के लिए: \(\tfrac{\pi}{6}\) इसलिए गलत है क्योंकि वह 30° है जबकि वास्तविक योग 90° है। परीक्षा टिप: कोई भी \(x\) के लिए पहले डोमेन जाँच लें और फिर पहचान लागू करें। / Use the identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}\) valid for \(x\in[-1,1]\). Here \(x=4/5\) lies in the domain, so the sum equals \(\dfrac{\pi}{2}\). Why other options fail: \(\frac{\pi}{6}\) (30°) is not the complement of the corresponding angles here, and \(\frac{3\pi}{2}\) or 0 are clearly inconsistent with principal values of arcsin/arccos. Exam tip: memorize the complementary identity and always check the domain before applying it.
जब (x>0), तब \(tan^{-1}x+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\)। चिन्ह की शर्त हमेशा देखें। / When (x>0), \(tan^{-1}x+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\). Always check the sign condition.
यहाँ (2>0), इसलिए \(tan^{-1}2+\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\)। पहचान में (x) और \(\frac{1}{x}\) पहचानें। / Here (2>0), so \(tan^{-1}2+\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\). Identify (x) and \(\frac{1}{x}\) in the identity.
\(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) सभी वास्तविक (x) के लिए लिया जाता है। यह बहुत उपयोगी प्रारंभिक पहचान है। / The identity \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) is used for all real (x). This is a very useful introductory identity.
\(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। ऋणात्मक (x) में भी \(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(0,\pi\right\)) में लिया जाता है। / The identity \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) holds. For negative (x), the principal value of \(\cot^{-1}x\) is still taken in (\left\(0,\pi\right\)).
\(\sin^{-1}x\) एक विषम फलन है जिसका अर्थ है कि \(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\) हर उस \(x\) के लिए जो \([-1,1]\) में है। इसलिए सही उत्तर \(-\sin^{-1}x\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह समानता केवल तब सही होती अगर फलन सम होता (जो कि यह नहीं है)। विकल्प C और D संबंधित हैं: \(\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\) है, पर यह \(\sin^{-1}(-x)\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी त्रिकोणमितीय व्युत्क्रमानुक्रमी फलन के विषम/सम गुण को याद रखें — अक्सर \(f(-x)=-f(x)\) या \(f(-x)=f(x)\) से उत्तर जल्दी मिल जाता है। / The function \(\sin^{-1}x\) (arcsin) is odd, meaning \(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\) for all \(x\in[-1,1]\). Hence the correct choice is \(-\sin^{-1}x\). Option B is incorrect because that would require the function to be even. Options C and D are related identities (\(\cos^{-1}x=\tfrac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\)) but do not equal \(\sin^{-1}(-x)\). Exam tip: check odd/even properties of inverse trig functions first — they often give the quickest justification.
\(\tan^{-1}x\) एक विषम फलन है और इसका प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(\tan^{-1}(-x)= -\tan^{-1}x\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह चिह्न बदलने की बात नहीं करता; विकल्प C और D सामान्य रूप से समान नहीं होते क्योंकि वे प्रमुख मान के बाहर के रूप हैं। परीक्षा-टिप: किसी भी inverse-trig के लिए पहले उसकी parity (odd/even) और प्रमुख मान सीमा याद रखें। / The arctan function is odd and has principal value range \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence for any real \(x\), \(\tan^{-1}(-x)= -\tan^{-1}x\). Option B is incorrect because it does not change the sign; options C and D do not generally equal \(\tan^{-1}(-x)\) within the principal range. Exam tip: check whether the inverse trig function is odd or even and remember its principal value interval.
\(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) मुख्य मानों के कारण सही है। इसे विषम फलन की तरह न मानें। / The relation \(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) is correct because of principal values. Do not treat it as an odd function.
\(cot\frac{3\pi}{4}=-1) और \frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\)। इसलिए मुख्य मान \(\frac{3\pi}{4}\) है। / Since \(cot\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\), the principal value is \(frac{3\pi}{4}\).
\(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\) होता है। \(cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लेना चाहिए। / We have \(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\). The principal value of \(cot^{-1}x\) must be taken in \(\left(0,\pi\right)\).
\(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) और यह \(sec^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Since \(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) and it lies in the principal range of \(sec^{-1}x), the answer is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) और \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) है। इसलिए \(\csc\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-2\) और मुख्य मान (principal value) की परिभाषा के अनुसार \(\csc^{-1}x\) का मान \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) पर लिया जाता है। इस रेंज में सही कोण \(-\tfrac{\pi}{6}\) है। अन्य विकल्पों पर: \(\tfrac{\pi}{6}\) और \(\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए \(\csc=+2\) होगा, जबकि \(-\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए भी \(\csc=-2\) मिलता है पर वह मुख्य रेंज में नहीं आता। परीक्षा-टिप: \(\csc^{-1}x\) को \(\sin^{-1}(1/x)\) की तरह बदलकर और मुख्य रेंज याद रखकर जल्दी हल करें। / Use \(\csc\theta=1/\sin\theta\). Since \(\sin(-\pi/6)=-1/2\), we have \(\csc(-\pi/6)=-2\). The usual principal range for \(\csc^{-1}x\) is \([-\pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}\), so the principal value is \(-\pi/6\). Why others are wrong: \(\pi/6\) and \(5\pi/6\) give \(+2\), not \(-2\); \(-5\pi/6\) also gives \(-2\) but lies outside the principal range. Exam tip: convert to \(\sin^{-1}(1/x)\) and check the principal-range restriction to choose the correct sign and angle.
\(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। हमेशा मुख्य परिसर का कोण चुनें। / Since \(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Always choose the angle in the principal range.
\(\frac{5\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए \(cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\)। / The angle \(\frac{5\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\). Hence \(cos^{-1}\left(cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\).
\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.
\(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। / We have \(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Thus \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\).
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) का अर्थ \(sin\theta=\frac{3}{5}\) है। परिभाषा को सीधे लगाएं। / The statement \(\theta=sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) means \(sin\theta=\frac{3}{5}). Apply the definition directly.
\(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) वह कोण है जिसका \(\cos\) मान \(\frac{4}{5}\) हो। इसलिए \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। / The expression \(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) is the angle whose cosine is \(\frac{4}{5}\). So \(\cos\theta=\frac{4}{5}\).
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) का अर्थ \(\tan\theta=\frac{5}{12}\) है। व्युत्क्रम फलन की परिभाषा याद रखें। / The statement \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) means \(\tan\theta=\frac{5}{12}\). Remember the definition of inverse function.
\(\theta) मुख्य परिसर में है और (\sin\theta=\frac{5}{13}\) है। इसलिए समकोण त्रिभुज से \(\cos\theta=\frac{12}{13}\)। / Here \(\theta\) is in the principal range and \(\sin\theta=\frac{5}{13}\). From a right triangle, \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
\(\cos\theta=\frac{12}{13}\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) है। इस स्थिति में \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) धनात्मक होगा। / Here \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this case, \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) is positive.
\(\tan\theta=\frac{3}{4}\) से लंब (3) और आधार (4) लें। कर्ण (5) होगा, इसलिए \(\sin\theta=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan\theta=\frac{3}{4}\), take opposite side (3) and adjacent side (4). The hypotenuse is (5), so \(\sin\theta=\frac{3}{5}\).
\(\tan\theta=\dfrac{\text{विपरीत}}{\text{आड़ी}}=\dfrac{8}{15}\) है, अतः विपरीत भुजा 8 और आड़ी भुजा 15 मानकर समकोण त्रिभुज में कर्ण होगा \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\)। इसलिए \(\cos\theta=\dfrac{\text{आड़ी}}{\text{कर्ण}}=\dfrac{15}{17}\)। निकटवर्ती ग़लत विकल्प: \(\dfrac{8}{17}\) दरअसल \(\sin\theta\) होगा; \(\dfrac{17}{15}\) और \(\dfrac{17}{8}\) 1 से बड़े हैं और किसी कोण के कोसाइन के रूप में संभव नहीं जब कोण तृतीय में न हो। परीक्षा सुझाव: 8–15–17 पायथागोरियन ट्रिपल को याद रखें — यह इन प्रकार के प्रश्न तेज़ी से हल करने में मदद करेगा। / Given \(\tan\theta=\dfrac{8}{15}\), take opposite = 8 and adjacent = 15 in a right triangle. The hypotenuse is \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\). Thus \(\cos\theta=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{15}{17}\). Closest distractor \(\dfrac{8}{17}\) is actually \(\sin\theta\); the options \(\dfrac{17}{15}\) and \(\dfrac{17}{8}\) are reciprocals greater than 1 and cannot be cosine values for a real acute angle. Exam tip: Recognize the 8–15–17 Pythagorean triple to compute hypotenuse quickly and avoid arithmetic errors.
यदि \(\theta=\cos^{-1}x\), तो \(\cos\theta=x\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\)। इस परिसर में \(\sin\theta\ge0\), इसलिए मान \(\sqrt{1-x^2}\) है। / If \(\theta=\cos^{-1}x\), then \(\cos\theta=x\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this range \(\sin\theta\ge0\), so the value is \(\sqrt{1-x^2}\).
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\), तो \(sin\theta=x\) और \(\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)। यहाँ \(cos\theta\ge0\), इसलिए \(\sqrt{1-x^2}\) सही है। / If \(\theta=\sin^{-1}x\), then \(\sin\theta=x\) and \(\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Here \(cos\theta\ge0\), so \(\sqrt{1-x^2}\) is correct.
यदि \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\), तो \(\sin\theta=\frac{3}{5}\) और \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{3}{4}\)। / If \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\), then \(\sin\theta=\frac{3}{5}\) and \(\cos\theta=\frac{4}{5}\). Hence \(\tan\theta=\frac{3}{4}\).
यदि \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), तो \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) और \(\sin\theta=\frac{12}{13}\)। इसलिए \(\cot\theta=\frac{5}{12}\)। / If \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), then \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) and \(\sin\theta=\frac{12}{13}\). Hence \(\cot\theta=\frac{5}{12}\).
लेते हैं \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right)\)। तब \(\tan\theta=\frac{7}{24}=\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\)। एक समकोण त्रिभुज में opposite = 7, adjacent = 24 लिया जाए तो पाइथागोरस से hypotenuse = \(\sqrt{7^2+24^2}=25\)। \(\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}=\frac{25}{24}\) इसलिए सही उत्तर \(\frac{25}{24}\) है। निकटतम भ्रमित विकल्प \(\frac{24}{25}\) (विकल्प B) विकर्ण का अनुपात नहीं बल्कि कॉसाइन का मान है (या सही उत्तर का倒数 नहीं)। विकल्प C \(\frac{7}{25}\) वास्तव में \(\sin\theta\) है और विकल्प D \(\frac{25}{7}\) \(\csc\theta\) के बराबर है। परीक्षा‑टिप: arctan के लिए तुरंत 7‑24‑25 त्रिभुज याद रखें और त्रिभुज बनाकर opposite/adjacent/hypotenuse सम्बन्ध लागू करें। / Let \(\theta=\tan^{-1}(7/24)\), so \(\tan\theta=7/24=\) opposite/adjacent. Using a right triangle with opposite = 7 and adjacent = 24 gives hypotenuse = \(\sqrt{7^2+24^2}=25\). Then \(\sec\theta=1/\cos\theta=\) hypotenuse/adjacent = \(25/24\), so option A is correct. Closest distractor \(24/25\) (B) is the reciprocal and corresponds to \(\cos\theta\), not \(\sec\theta\). Option C (\(7/25\)) equals \(\sin\theta\), and D (\(25/7\)) equals \(\csc\theta\). Exam tip: draw the 7‑24‑25 right triangle for arctan problems and read off opposite, adjacent, hypotenuse to compute sin, cos, sec quickly.
यदि \(cos\theta=\frac{8}{17}\), तो \(sin\theta=\frac{15}{17}\)। इसलिए \(cosec\theta=\frac{17}{15}\)। / If \(cos\theta=\frac{8}{17}\), then \(sin\theta=\frac{15}{17}\). Hence \(cosec\theta=\frac{17}{15}\).
\(\sin^{-1}x\) अपने प्रांत \(\left[-1,1\right]\) में बढ़ता है। ग्राफ संबंधी प्रश्नों में प्रांत और प्रवृत्ति दोनों देखें। / The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its domain \(\left[-1,1\right]\). In graph questions, check both domain and trend.
\(\cos^{-1}x\) \(\left[-1,1\right]\) पर घटता हुआ फलन है। (x) बढ़ने पर मुख्य कोण घटता है। / The function \(\cos^{-1}x\) is decreasing on \(\left[-1,1\right]\). As (x) increases, the principal angle decreases.
A. यह \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है/It is increasing on \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित और बढ़ता हुआ है। इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined and increasing for all real numbers. Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
\(\cot^{-1}x\) \(\mathbb{R}\) पर घटता हुआ फलन है। इसका मुख्य मान परिसर (\left\(0,\pi\right\)) है। / The function \(\cot^{-1}x\) is decreasing on \(\mathbb{R}\). Its principal value range is (\left\(0,\pi\right\)).
\(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) परिभाषित नहीं है। प्रांत पहले जांचें। / Since \(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) is not defined. Check the domain first.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। क्योंकि \(\frac{11}{10}>1\), यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\). Since \(\frac{11}{10}>1\), it is not defined.
\(\sec^{-1}x\) के लिए \(\left|x\right|\ge1\) होना चाहिए। यहाँ \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / For \(\sec^{-1}x\), we need \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), so it is defined.
\(cosec^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(\left|x\right|\ge1\)। यहाँ \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / The function \(cosec^{-1}x\) is defined when \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), so it is defined.
\(\sec^{-1}x\) का प्रांत (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) है। (0) इस प्रांत में नहीं है। / The domain of \(\sec^{-1}x\) is (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)). The number (0) is not in this domain.
कोण \((-\frac{\pi}{4}) (\sin^{-1}x)\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(-\frac{\pi}{4}\) है। / The angle \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\). Hence the value is \(-\frac{\pi}{4}\).
\(\cos0=1\)। \(\cos^{-1}1\) वह कोण है जिसका कोसाइन 1 हो और जो इन्फर्स कोसाइन की प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में आता हो। इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\) और \(-\pi\) प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में नहीं आता। परीक्षा टिप: सामान्य रूप से \(\cos^{-1}(\cos\theta)\) निकालते समय \(\theta\) को प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में समकक्ष कोण पर लाएँ। / Since \(\cos0=1\) and \(\cos^{-1}1\) is the angle in the principal range \([0,\pi]\) whose cosine equals 1, we get \(\cos^{-1}1=0\). The other choices are incorrect: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\cos\pi=-1\), and \(-\pi\) is outside the principal range of arccos. Exam tip: When evaluating \(\cos^{-1}(\cos\theta)\), reduce or map \(\theta\) into the principal range \([0,\pi]\) and use that equivalent angle.
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। पहले अंदर का मान निकालें। / Since \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) and \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). First find the inner value.
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। मानक कोण याद रखें। / Since \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). Remember standard angles.
\(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\)। ऐसे प्रश्न में त्रिकोणमितीय मान पहले निकालें। / Since \(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) and \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). In such questions, find the trigonometric value first.
\(\sin^{-1}0=0\), इसलिए ग्राफ \(\left(0,0\right)\) से गुजरता है। ग्राफ में मूल मान उपयोगी होते हैं। / Since \(sin^{-1}0=0\), the graph passes through \(\left(0,0\right)\). Basic values are useful in graph questions.
जब \(x\to\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\)। \(\frac{\pi}{2}\) सीमा है, पर वास्तविक मान नहीं बनता। / As \(x\to\infty\), \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\). The value \(\frac{\pi}{2}\) is a limit, not an attained value.
\(\cos^{-1}1=0\), इसलिए ग्राफ \(\left(1,0\right)\) से गुजरता है। ग्राफ वाले प्रश्नों में मानक मान याद रखें। / Since \(\cos^{-1}1=0\), the graph passes through \(\left(1,0\right)\). Remember standard values for graph questions.
जब \(x\to-\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\)। यह सीमा है, वास्तविक प्राप्त मान नहीं। / As \(x\to-\infty\), \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\). This is a limiting value, not an attained value.
