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Subjects
Class 12 Mathematics Inverse Trigonometric Functions Domain and range Easy Level 33

निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक परिभाषित है?

Which of the following expressions is defined?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\frac{\cos^{-1}(-1)}{\cos^{-1}(-1)}\)

Explanation

Simple Explanation

आर्ककोस \(\(\cos^{-1}\)\) का डोमेन \([-1,1]\) है। इसलिए \(\cos^{-1}(-1)\) परिभाषित है और मान \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) मिलता है; अतः व्यंजक \(\pi/\pi=1\) परिभाषित है। दूसरी विकल्पों में \(\cos^{-1}(3)\) और \(\sin^{-1}(5/4)\) के मूलांक डोमेन \([-1,1]\) के बाहर हैं, इसलिए वे परिभाषित नहीं हैं। \(\sec^{-1}(x)\) का डोमेन \(|x|\ge 1\) होता है, इसलिए \(\sec^{-1}(1/2)\) भी परिभाषित नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा आर्क-ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन का डोमेन जाँचें; डोमेन के बाहर का कोई भी मूलांक तुरंत अमान्य है। / The domain of arccos, \(\cos^{-1}\), is \([-1,1]\). Thus \(\cos^{-1}(-1)\) is defined and equals \(\pi\), so the expression equals \(\pi/\pi=1\). \(\cos^{-1}(3)\) and \(\sin^{-1}(5/4)\) are undefined because 3 and 5/4 lie outside the domain \([-1,1]\). Arcsec has domain \(|x|\ge 1\), so \(\sec^{-1}(1/2)\) is also undefined. Exam tip: always check the allowed domain of the inverse trig function before simplifying; values outside the domain make the expression invalid regardless of algebraic form.

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निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक परिभाषित है? / Which of the following expressions is defined?

Correct Answer: A. \(\frac{\cos^{-1}(-1)}{\cos^{-1}(-1)}\). Explanation: आर्ककोस \(\(\cos^{-1}\)\) का डोमेन \([-1,1]\) है। इसलिए \(\cos^{-1}(-1)\) परिभाषित है और मान \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) मिलता है; अतः व्यंजक \(\pi/\pi=1\) परिभाषित है। दूसरी विकल्पों में \(\cos^{-1}(3)\) और \(\sin^{-1}(5/4)\) के मूलांक डोमेन \([-1,1]\) के बाहर हैं, इसलिए वे परिभाषित नहीं हैं। \(\sec^{-1}(x)\) का डोमेन \(|x|\ge 1\) होता है, इसलिए \(\sec^{-1}(1/2)\) भी परिभाषित नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा आर्क-ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन का डोमेन जाँचें; डोमेन के बाहर का कोई भी मूलांक तुरंत अमान्य है। / The domain of arccos, \(\cos^{-1}\), is \([-1,1]\). Thus \(\cos^{-1}(-1)\) is defined and equals \(\pi\), so the expression equals \(\pi/\pi=1\). \(\cos^{-1}(3)\) and \(\sin^{-1}(5/4)\) are undefined because 3 and 5/4 lie outside the domain \([-1,1]\). Arcsec has domain \(|x|\ge 1\), so \(\sec^{-1}(1/2)\) is also undefined. Exam tip: always check the allowed domain of the inverse trig function before simplifying; values outside the domain make the expression invalid regardless of algebraic form.