Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
उदाहरण लें \(1\ne 2\) और \(2\ne 1\)। / Take the example \(1\ne 2\) and \(2\ne 1\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए \(1\ne 1\) चाहिए, जो गलत है। इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Transitivity would require \(1\ne 1\), which is false. So the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
असमान होने का संबंध देखने में सरल है, पर संक्रामक नहीं होता। / The not-equal relation looks simple but is not transitive.
यदि पहले छात्र की आयु दूसरे के बराबर है और दूसरे की आयु तीसरे के बराबर है, तो पहले और तीसरे की आयु भी बराबर होगी। / If the first student has the same age as the second, and the second has the same age as the third, then the first and third have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध संक्रामक है। / So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
समान विशेषता वाले संबंधों में संक्रामकता जाँचने के लिए समानता की कड़ी बनाइए। / For same-property relations, connect equality through the middle object.
यदि (a), (b) का भाई है और (b), (c) का भाई है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भाई ही हो। / If (a) is brother of (b), and (b) is brother of (c), it does not always force (a) to be brother of (c).
Step 2
Why this answer is correct
पारिवारिक संबंधों में लिंग और व्यक्ति की स्थिति बदल सकती है, इसलिए संक्रामकता निश्चित नहीं है। / Family relations depend on roles and gender, so transitivity is not guaranteed.
Step 3
Exam Tip
जीवन से जुड़े उदाहरणों में एक प्रतिवाद सोचकर जाँचें। / For real-life relations, test with a counterexample.
यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो एक ही समतल में \(l\parallel n\) होगा। / If \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) in the same plane, then \(l\parallel n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समानांतरता संबंध संक्रामक है। / So the parallel relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर कड़ी को समझना आसान होता है। / For geometry relations, a small diagram helps you see the chain.
पहले ((p,q)) और ((q,r)) को जोड़ें। / First connect ((p,q)) and ((q,r)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता से ((p,r)) निश्चित रूप से मिलेगा। आगे ((q,s)) और ((p,s)) भी बन सकते हैं, पर विकल्पों में ((p,r)) स्पष्ट है। / By transitivity, ((p,r)) must be in (R). Further pairs like ((q,s)) and ((p,s)) may also follow, but ((p,r)) is listed.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में नजदीकी दो युग्मों से शुरुआत करें। / In a long chain, begin with two adjacent pairs.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) के कारण ((1,2)) और ((2,3)) फिर से जरूरी बनते हैं, वे भी मौजूद हैं। ((3,1)) की मांग नहीं बनती। / The pair ((2,2)) only re-requires ((1,2)) and ((2,3)), which are already present. ((3,1)) is not forced.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में उलटी दिशा अपने आप नहीं आती। / Transitivity does not automatically create reverse direction.
A. जब कोई एक कड़ी ((a,b)), ((b,c)) हो पर ((a,c)) न हो/When one chain ((a,b)), ((b,c)) exists but ((a,c)) does not
Step 1
Concept
असंक्रामकता दिखाने के लिए एक प्रतिवाद काफी होता है। / To prove non-transitivity, one counterexample is enough.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) और ((b,c)) मिल जाएँ, लेकिन ((a,c)) न मिले, तो संक्रामकता टूट जाती है। / If ((a,b)) and ((b,c)) are present but ((a,c)) is absent, transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पूरा संबंध नहीं, एक सही टूटी कड़ी भी काफी है। / In proof questions, one valid broken chain is sufficient.
A. क्योंकि कोई ऐसी दूसरी कड़ी नहीं है जो नई शर्त बनाए/Because there is no second linked pair to create a new requirement
Step 1
Concept
संक्रामकता की शर्त के लिए दो जुड़े हुए युग्म चाहिए। / The transitivity condition needs two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
केवल ((2,3)) होने पर ((3,c)) जैसा कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त नहीं टूटती। / With only ((2,3)), there is no pair of the form ((3,c)), so no condition is violated.
Step 3
Exam Tip
एक युग्म वाले संबंधों में पहले देखें कि कोई कड़ी बन भी रही है या नहीं। / For one-pair relations, first check whether any chain exists at all.
