किसी समुच्चय पर रिक्त संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about the empty relation on a set is correct?
#empty relation
#symmetric transitive
#concept
A यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता है / It is always symmetric and transitive
B यह हर अरिक्त समुच्चय पर स्वसम होता है / It is reflexive on every non-empty set
C यह हमेशा सार्वत्रिक होता है / It is always universal
D यह कभी संबंध नहीं होता / It is never a relation
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Correct Answer
A. यह हमेशा सममित और संक्रमणीय होता है / It is always symmetric and transitive
Step 1
Concept
रिक्त संबंध में कोई ऐसा युग्म नहीं होता जो सममितता को तोड़े। / In the empty relation, no pair exists to violate symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं होते। / There are no linked pairs to violate transitivity either.
Step 3
Exam Tip
पर अरिक्त समुच्चय पर यह स्वसम नहीं होता, क्योंकि अपने युग्म नहीं होते। / But on a non-empty set it is not reflexive because self-pairs are missing.
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यदि (A) रिक्त समुच्चय है, तो (A) पर रिक्त संबंध के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If (A) is the empty set, what can be said about the empty relation on (A)?
#empty set
#empty relation
#vacuous truth
A यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता है / It is considered reflexive, symmetric and transitive
B यह संबंध नहीं है / It is not a relation
C यह केवल सार्वत्रिक नहीं हो सकता / It cannot be universal
D यह सममित नहीं है / It is not symmetric
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Correct Answer
A. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय माना जाता है / It is considered reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए स्वसमता की शर्त तोड़ने वाला कोई अवयव नहीं है। / In the empty set, there is no element that can violate reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता और संक्रमणीयता तोड़ने वाले युग्म भी नहीं हैं। / There are no pairs that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में शर्तें रिक्त रूप से सत्य हो सकती हैं। / In empty-set questions, conditions can be vacuously true.
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कौन-सा संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों हो सकता है?
Which relation can be both symmetric and antisymmetric?
#symmetric antisymmetric
#identity relation
#partial order
A तत्समक संबंध / Identity relation
B ({(1,2),(2,1)})
C सार्वत्रिक संबंध दो अवयवों पर / Universal relation on two elements
D समान शेष संबंध जिसमें अलग अवयव जुड़े हों / Same remainder relation with different elements related
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Correct Answer
A. तत्समक संबंध / Identity relation
Step 1
Concept
तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अपने युग्म सममितता भी पूरी करते हैं और विरोधी सममितता भी नहीं तोड़ते। / Self-pairs satisfy symmetry and do not violate antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म साथ हों तो विरोधी सममितता टूट जाती है। / Reverse pairs of unequal elements would break antisymmetry.
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यदि कोई संबंध सममित और विरोधी सममित दोनों है, तो असमान अवयवों के बारे में क्या सही होगा?
If a relation is both symmetric and antisymmetric, what is true about unequal elements?
#symmetric and antisymmetric
#concept
#relations
A असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता / No pair can occur between unequal elements
B हर असमान जोड़ी दोनों दिशाओं में होगी / Every unequal pair occurs both ways
C संबंध सार्वत्रिक होगा / The relation will be universal
D संबंध तुल्यता अवश्य होगा / The relation must be equivalence
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Correct Answer
A. असमान अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता / No pair can occur between unequal elements
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी सममितता असमान (a,b) के लिए दोनों युग्मों को साथ अनुमति नहीं देती। / Antisymmetry does not allow both pairs for unequal (a,b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए असमान अवयवों के बीच युग्म रखना संभव नहीं रहता। / Therefore no pair between unequal elements can remain.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) क्या संक्रमणीय है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) transitive?
#transitive relation
#not transitive
#mcq
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं है / No, because ((1,3)) is missing
C नहीं, क्योंकि ((2,1)) नहीं है / No, because ((2,1)) is missing
D नहीं, क्योंकि ((3,1)) नहीं है / No, because ((3,1)) is missing
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि ((1,3)) नहीं है / No, because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, जो नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
स्वसम युग्म मौजूद होने पर भी संक्रमणीयता अलग से टूट सकती है। / Even with self-pairs present, transitivity can fail separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) क्या आंशिक क्रम संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) a partial order relation?
#partial order relation
#reflexive antisymmetric transitive
A हाँ / Yes
B नहीं, क्योंकि स्वसमता नहीं है / No, because reflexivity is absent
C नहीं, क्योंकि संक्रमणीयता नहीं है / No, because transitivity is absent
D नहीं, क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है / No, because antisymmetry is absent
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। / No reverse pair for unequal elements occurs, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)\}\) आंशिक क्रम क्यों नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\) not a partial order?
#not partial order
#antisymmetry violation
#relations
A क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\) / Because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
B क्योंकि ((1,1)) है / Because ((1,1)) is present
C क्योंकि ((1,3)) है / Because ((1,3)) is present
D क्योंकि यह स्वसम है / Because it is reflexive
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\) / Because ((1,2)) and ((2,1)) both exist while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
आंशिक क्रम के लिए विरोधी सममितता जरूरी है। / A partial order requires antisymmetry.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ असमान (1) और (2) के लिए दोनों उल्टे युग्म मौजूद हैं। / Here for unequal (1) and (2), both reverse pairs are present.
Step 3
Exam Tip
विरोधी सममितता टूटते ही संबंध आंशिक क्रम नहीं रह सकता। / Once antisymmetry fails, the relation cannot be a partial order.
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कौन-सा संबंध तुल्यता संबंध नहीं है, पर आंशिक क्रम संबंध है?
Which relation is not an equivalence relation but is a partial order relation?
#partial order not equivalence
#less than equal
#relations
A वास्तविक संख्याओं पर \(\le\) / \(\le\) on real numbers
B समान शेष (3) से भाग देने पर / Same remainder on division by (3)
C समान परम मान / Same absolute value
D तत्समक संबंध / Identity relation
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Correct Answer
A. वास्तविक संख्याओं पर \(\le\) / \(\le\) on real numbers
Step 1
Concept
\(\le\) स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है, इसलिए आंशिक क्रम है। / \(\le\) is reflexive, antisymmetric and transitive, so it is a partial order.
Step 2
Why this answer is correct
यह सममित नहीं है, क्योंकि \(2\le3\) है पर \(3\le2\) नहीं। / It is not symmetric because \(2\le3\) but \(3\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए 3: तुल्यता संबंध के लिए सममितता जरूरी होती है। / Symmetry is required for equivalence relation.
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कौन-सा संबंध आंशिक क्रम नहीं है, पर तुल्यता संबंध है?
Which relation is not a partial order but is an equivalence relation?
#equivalence not partial order
#modulo relation
#concept mcq
A पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने पर / Same remainder on division by (2) over integers
B वास्तविक संख्याओं पर \(\le\) / \(\le\) on real numbers
C धनात्मक पूर्णांकों पर विभाज्यता / Divisibility on positive integers
D समुच्चयों पर उपसमुच्चय / Subset relation on sets
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Correct Answer
A. पूर्णांकों पर समान शेष (2) से भाग देने पर / Same remainder on division by (2) over integers
Step 1
Concept
समान शेष संबंध स्वसम, सममित और संक्रमणीय है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The same-remainder relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यह विरोधी सममित नहीं होता, क्योंकि अलग संख्याएँ भी समान शेष रख सकती हैं। / It is not antisymmetric because different numbers can have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
सममित तुल्यता संबंधों को आंशिक क्रम से अलग पहचानें। / Distinguish symmetric equivalence relations from partial orders.
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संबंधों के प्रकार पहचानते समय सही जाँच क्रम कौन-सा उपयोगी है?
While identifying types of relations, which checking order is useful?
#exam strategy
#types of relations
#concept clarity
A पहले अपने युग्म, फिर उल्टे युग्म, फिर जुड़े युग्म / First self-pairs, then reverse pairs, then linked pairs
B पहले केवल कुल युग्म गिनना / First only count total pairs
C पहले केवल सबसे बड़ा अवयव देखना / First only see the largest element
D पहले केवल नाम देखकर उत्तर देना / First answer only by seeing the name
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Correct Answer
A. पहले अपने युग्म, फिर उल्टे युग्म, फिर जुड़े युग्म / First self-pairs, then reverse pairs, then linked pairs
Step 1
Concept
अपने युग्मों से स्वसमता जल्दी जाँची जाती है। / Self-pairs help check reflexivity quickly.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्मों से सममितता या विरोधी सममितता जाँची जाती है। / Reverse pairs help check symmetry or antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
जुड़े युग्मों से संक्रमणीयता जाँचकर अंतिम प्रकार तय करें। / Linked pairs help check transitivity and then decide the final type.
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