यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many reflexive relations are possible on (A)?
#number of reflexive relations
#counting
#mcq
A \(2^{12}\)
B \(2^{16}\)
C \(2^4\)
D \(4^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल युग्म \(4^2=16\) हैं। / Total pairs are \(4^2=16\).
Step 2
Why this answer is correct
स्वसम संबंध में (4) अपने युग्म निश्चित रहेंगे। / A reflexive relation fixes (4) self-pairs.
Step 3
Exam Tip
बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many symmetric relations are possible on (A)?
#number of symmetric relations
#counting formula
#class 12
A \(2^6\)
B \(2^{10}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^{16}\)
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Correct Answer
B. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=4) रखने पर \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / For (n=4), \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी। / Therefore the number is \(2^{10}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?
#reflexive symmetric relations
#counting
#advanced mcq
A \(2^4\)
B \(2^6\)
C \(2^{10}\)
D \(2^{12}\)
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Correct Answer
B. \(2^6\)
Step 1
Concept
स्वसमता के कारण (4) अपने युग्म निश्चित हो जाते हैं। / Reflexivity fixes the (4) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं। / The non-self reverse-pair groups are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
ये (6) समूह स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / These (6) groups can be chosen independently, so the number is \(2^6\).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या है?
If (A) has (n) elements, what is the number of relations that are both reflexive and symmetric?
#counting relations
#reflexive symmetric formula
#relations
A \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
B \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(2^{n^2}\)
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Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
Step 1
Concept
स्वसमता सभी (n) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। / Reflexivity fixes all (n) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए केवल असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह स्वतंत्र रहते हैं। / For symmetry, only non-self reverse-pair groups remain independent.
Step 3
Exam Tip
ऐसे समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
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यदि (R) सममित है और \((1,2),(2,3)\in R\), तो क्या \((1,3)\in R\) अवश्य होगा?
If (R) is symmetric and \((1,2),(2,3)\in R\), must \((1,3)\in R\)?
#symmetry vs transitivity
#concept mcq
#relations
A हाँ, सममितता से / Yes, by symmetry
B नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैं / No, symmetry gives only reverse pairs
C हाँ, स्वसमता से / Yes, by reflexivity
D हाँ, हमेशा / Yes, always
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Correct Answer
B. नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैं / No, symmetry gives only reverse pairs
Step 1
Concept
सममितता केवल ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) देती है। / Symmetry gives only ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) की गारंटी संक्रमणीयता से आती, सममितता से नहीं। / ((1,3)) would be guaranteed by transitivity, not symmetry.
Step 3
Exam Tip
गुणों को मिलाकर न पढ़ें, हर गुण का अलग काम है। / Do not mix properties; each property has a separate role.
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यदि (R) संक्रमणीय है और \((1,2),(2,1)\in R\), तो कौन-से युग्म अवश्य होंगे?
If (R) is transitive and \((1,2),(2,1)\in R\), which pairs must be present?
#transitive relation
#reverse pairs
#self pairs
A ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
D कोई युग्म नहीं / No pair
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Correct Answer
A. ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रमणीयता के अनुसार ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), it requires ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्मों की जोड़ी होने पर संक्रमणीयता अपने युग्मों की मांग कर सकती है। / A pair of reverse pairs can force self-pairs through transitivity.
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यदि (R) स्वसम और सममित है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and symmetric, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#reflexive symmetric
#transitive needed
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
C हाँ, यदि समुच्चय में तीन अवयव हों / Yes, if the set has three elements
D नहीं, क्योंकि सममितता उपयोगी नहीं / No, because symmetry is useless
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Correct Answer
B. नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। / An equivalence relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
स्वसमता और सममितता के साथ संक्रमणीयता भी जरूरी है। / Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also necessary.
Step 3
Exam Tip
दो गुण देखकर तुल्यता संबंध घोषित न करें। / Do not declare equivalence after checking only two properties.
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यदि (R) स्वसम और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and transitive, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#symmetry needed
#relations
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
C हाँ, यदि संबंध रिक्त हो / Yes, if the relation is empty
D नहीं, क्योंकि स्वसमता गलत गुण है / No, because reflexivity is the wrong property
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Correct Answer
B. नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में स्वसमता और संक्रमणीयता के साथ सममितता भी चाहिए। / Equivalence relation needs symmetry along with reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
कई संबंध जैसे \(\le\) स्वसम और संक्रमणीय होते हैं, पर सममित नहीं। / Many relations like \(\le\) are reflexive and transitive but not symmetric.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता के लिए तीनों गुण पूरे होने चाहिए। / All three properties are required for equivalence.
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यदि (R) सममित और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य स्वसम होगा?
If (R) is symmetric and transitive, must (R) be reflexive?
#symmetric transitive
#not necessarily reflexive
#conceptual
A हाँ, हर समुच्चय पर / Yes, on every set
B नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते / No, self-pairs for all elements need not occur
C हाँ, क्योंकि संक्रमणीयता पर्याप्त है / Yes, because transitivity is enough
D हाँ, क्योंकि सममितता पर्याप्त है / Yes, because symmetry is enough
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Correct Answer
B. नहीं, सभी अवयवों के अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते / No, self-pairs for all elements need not occur
Step 1
Concept
सममित और संक्रमणीय होने से कुछ जुड़े अवयवों के अपने युग्म मिल सकते हैं। / Symmetry and transitivity can create self-pairs for connected elements.
Step 2
Why this answer is correct
पर जिन अवयवों का कोई संबंध नहीं है, उनके अपने युग्म जरूरी नहीं मिलते। / But elements not related to anything may still miss their self-pairs.
Step 3
Exam Tip
स्वसमता के लिए हर अवयव का अपना युग्म अलग से जाँचना जरूरी है। / Reflexivity requires checking self-pairs for every element separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\) है। यह सममित और संक्रमणीय है, पर स्वसम क्यों नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\). It is symmetric and transitive, but why is it not reflexive?
#not reflexive
#symmetric transitive
#relations mcq
A ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
B ((1,3)) नहीं है / ((1,3)) is missing
C ((3,1)) नहीं है / ((3,1)) is missing
D ((2,3)) नहीं है / ((2,3)) is missing
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Correct Answer
A. ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
स्वसमता के लिए (1,2,3) तीनों के अपने युग्म चाहिए। / Reflexivity requires self-pairs for (1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) हैं, पर ((3,3)) नहीं है। / The relation has ((1,1)) and ((2,2)), but not ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
किसी भी एक अवयव का अपना युग्म छूटे तो संबंध स्वसम नहीं होता। / If even one element lacks its self-pair, the relation is not reflexive.
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