Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,3)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
C. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so it is not transitive either.
\(a\equiv 2 \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a) को (5) से भाग देने पर शेषफल (2) हो। / \(a\equiv 2 \pmod{5}\) means (a) leaves remainder (2) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक (5k+2) के रूप में लिखे जाते हैं। / Such integers are written as (5k+2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय समान शेषफल वाले सभी तत्व शामिल करें। / While writing an equivalence class, include all elements with the same remainder.
C. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्तन है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में दोनों दिशाओं की विभाज्यता पहले से शामिल है, इसलिए सममितता है। / The condition already includes divisibility in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक संख्याओं में दोनों दिशाओं की विभाज्यता समानता देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / For positive numbers, mutual divisibility means equality, so transitivity also holds.
परावर्तन के कारण (6) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces the (6) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) अनियोजित जोड़े स्वतंत्र चुनाव देते हैं। / The \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) unordered pairs of distinct elements give independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{15}\) होगी। / Hence the number of such relations is \(2^{15}\).
स्वयुग्मों के लिए (n) स्वतंत्र चुनाव हैं। / There are (n) independent choices for self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े हैं। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
