Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f'(x)=1+\cos x) है जो कभी ऋणात्मक नहीं होता। / (f'(x)=1+\cos x), which is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
फलन घटता नहीं है और (x) वाला भाग आगे बढ़ते हुए मानों को अलग रखता है। / The function does not decrease, and the (x) term keeps values separated as inputs move forward.
Step 3
Exam Tip
अवकलज शून्य हो सकता है पर ऋणात्मक न होना एकैकीता की जाँच में सहायक है। / A derivative may become zero at points, but being non-negative can help in checking one-one nature.
(f'(x)=1-\cos x) है जो हमेशा (0) या धनात्मक रहता है। / (f'(x)=1-\cos x), which is always zero or positive.
Step 2
Why this answer is correct
फलन पीछे नहीं लौटता, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। / The function does not turn back, so two different inputs do not give the same image.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय मिश्रित फलनों में अवकलज की दिशा देखकर निर्णय लें। / For mixed trigonometric functions, decide by checking the direction through the derivative.
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(x^2\) के कारण सममित प्रभाव आता है। / On the whole real domain, \(x^2\) introduces a symmetric growth effect.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0), पर ऋणात्मक क्षेत्र में फलन घट-बढ़ कर फिर समान मान ले सकता है। / The function changes direction because (f'(x)=\cos x+2x) is negative for some negative (x) and positive for large positive (x).
Step 3
Exam Tip
जब फलन पूरे क्षेत्र में एक दिशा में नहीं चलता, तो एकैकीता संदिग्ध होती है; यहाँ यह एकैकी नहीं है। / Since the function is not strictly in one direction on all of \(\mathbb{R}\), it is not one-one.
\(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In \(x^2\), (x) and (-x) give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(1)=e) और (f(-1)=e), जबकि \(1\neq -1\)। / Therefore (f(1)=e) and (f(-1)=e), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
बाहरी फलन एकैकी हो फिर भी अंदर का भाग एकैकी न हो तो पूरा फलन एकैकी नहीं हो सकता। / Even if the outer function is one-one, the whole function may fail if the inner part is not one-one.
(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) से (f\(a_1\)=f\(a_2\)), क्योंकि (g) एकैकी है। फिर \(a_1=a_2\), क्योंकि (f) एकैकी है। / From (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), we get (f\(a_1\)=f\(a_2\)) because (g) is one-one. Then \(a_1=a_2\) because (f) is one-one.
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
