Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
महत्तम पूर्णांक फलन में एक ही अंतराल के कई मानों की छवि समान होती है। / In the greatest integer function, many values in the same interval have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq1.8\)। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / A step function is not one-one on the whole real domain.
प्राकृतिक संख्याओं में (n) बढ़ने पर \(n^2\) और (n) दोनों बढ़ते हैं। / In natural numbers, as (n) increases, both \(n^2\) and (n) increase.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(n^2+n\) भी बढ़ता है और अलग (n) अलग छवि देते हैं। / Hence \(n^2+n\) also increases and different (n) give different images.
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र पूर्णांकों पर अलग व्यवहार कर सकता है, क्षेत्र ध्यान से पढ़ें। / The same formula may behave differently on integers, so read the domain carefully.
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2) और (x<0) पर (f(x)=-x-2)। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2), and for (x<0), (f(x)=-x-2).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक भाग पर छवि ऋणात्मक और धनात्मक भाग पर छवि धनात्मक है, तथा दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में एकैकी हैं। / The negative part gives negative images and the positive part gives positive images, while each part is one-one on its domain.
Step 3
Exam Tip
खंडों का परास अलग हो तो पूरा फलन एकैकी हो सकता है। / If the ranges of pieces are separated, the whole function can be one-one.
\(x\geq0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो बढ़ता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}), जो भी बढ़ता है और ऋणात्मक छवियाँ देता है। / For (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}), which is also increasing and gives negative images.
Step 3
Exam Tip
दोनों भागों के परास अलग दिशा में हैं और हर भाग एकैकी है, इसलिए फलन एकैकी है। / The two pieces have separated ranges and each piece is one-one, so the function is one-one.
एकैकीता जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To check one-one nature, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\) से ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)) मिलेगा, सरल करने पर (2a=2b), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\), we get ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)); simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को क्षेत्र से बाहर रखना जरूरी है। / In rational functions, remember to exclude the value that makes the denominator zero.
