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एकसमान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव आघूर्ण और क्षेत्र के बीच कोण तीस अंश है। यदि द्विध्रुव आघूर्ण चार कूलॉम मीटर और क्षेत्र छह न्यूटन प्रति कूलॉम है तो बल आघूर्ण कितना होगा?
सममित संबंध में विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र होते हैं। / In a symmetric relation, the (4) diagonal pairs are chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (4) अवयवों से \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) उलटे युग्म-जोड़े बनते हैं। / The off-diagonal pairs form \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) mirror-pair groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए उत्तर \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (10), so the number of relations is \(2^{10}\).
शुद्ध निवेश सकल निवेश और मूल्यह्रास के अंतर से मिलता है। बड़ा सकल निवेश अकेले वास्तविक पूंजी वृद्धि नहीं बताता। / Net investment is obtained from the difference between gross investment and depreciation. High gross investment alone does not show real capital growth.
A. बारह मूल तीन न्यूटन मीटर/Twelve root three newton metre
Step 1
Concept
बल आघूर्ण द्विध्रुव आघूर्ण गुणा क्षेत्र गुणा ज्या कोण है। / Torque is dipole moment times field times sine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
साठ अंश की ज्या मूल तीन बटा दो होती है। / Sine of sixty degrees is root three by two.
Step 3
Exam Tip
आठ गुणा तीन गुणा मूल तीन बटा दो से बारह मूल तीन न्यूटन मीटर मिलता है। / Eight times three times root three by two gives twelve root three newton metre.
सभी (5) विकर्ण युग्म पहले से तय हैं, इसलिए उनमें चुनाव नहीं है। / The (5) diagonal pairs are fixed, so they give no choice.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
हर जोड़ा या तो पूरा लिया जाएगा या नहीं लिया जाएगा, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / Each group is either included fully or excluded, so the number is \(2^{10}\).
C. पूंजी स्टॉक में पचास की शुद्ध वृद्धि होगी/Capital stock will have a net increase of fifty
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध निवेश आठ सौ में से सात सौ पचास घटाकर पचास है। धनात्मक शुद्ध निवेश पूंजी स्टॉक बढ़ाता है। / Net investment is eight hundred minus seven hundred fifty which is fifty. Positive net investment increases capital stock.
A. नई मशीनें पूंजी क्षय की पूरी भरपाई नहीं कर पा रहीं/New machines are not fully covering capital loss
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश धनात्मक हो सकता है फिर भी मूल्यह्रास उससे अधिक होने पर शुद्ध निवेश ऋणात्मक होगा। इसलिए पूंजी घट सकती है। / Gross investment can be positive yet net investment becomes negative if depreciation is higher. Hence capital may fall.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुण की दिशा बदलकर जांचना सबसे तेज तरीका है। / For such questions, reverse the pair and check whether the condition remains true.
B. ( Net Investment \(=\) Gross Investment - Depreciation )
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध निवेश के लिए मूल्यह्रास को सकल निवेश से घटाया जाता है। यही सकल और शुद्ध निवेश का मुख्य संबंध है। / For net investment depreciation is deducted from gross investment. This is the main relation between gross and net investment.
स्थितिज ऊर्जा ऋण द्विध्रुव आघूर्ण गुणा क्षेत्र गुणा कोज्या कोण होती है। / Potential energy is negative dipole moment times field times cosine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
एक सौ बीस अंश का कोज्या ऋण एक बटा दो होता है। / Cosine of one hundred twenty degrees is negative one half.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऊर्जा धन पंद्रह जूल होगी। / Therefore energy is positive fifteen joule.
शुद्ध निवेश शून्य है तो सकल निवेश पूरी तरह मूल्यह्रास की भरपाई कर रहा है। इसलिए मूल्यह्रास दो सौ पचास होगा। / If net investment is zero, gross investment is exactly replacing depreciation. Therefore depreciation is two hundred fifty.
समांतर स्थिति में ऊर्जा ऋण बारह जूल होती है। / In parallel position energy is negative twelve joule.
Step 2
Why this answer is correct
एक सौ बीस अंश पर ऊर्जा धन छह जूल होती है। / At one hundred twenty degrees energy is positive six joule.
Step 3
Exam Tip
बाहरी कार्य ऊर्जा परिवर्तन के बराबर है इसलिए छह घटा ऋण बारह से अठारह जूल मिलता है। / External work equals energy change so six minus negative twelve gives eighteen joule.
पूंजी में शुद्ध वृद्धि शुद्ध निवेश है। मूल्यह्रास एक सौ बीस में से पैंतालीस घटाकर पचहत्तर लाख होगा। / Net increase in capital is net investment. Depreciation is one hundred twenty minus forty five which is seventy five lakh.
C. जब सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर हो/When gross investment equals depreciation
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर हो तो केवल घिसी पूंजी की भरपाई होती है। शुद्ध पूंजी वृद्धि नहीं होती। / When gross investment equals depreciation, only worn out capital is replaced. There is no net capital addition.
संबंध की मैट्रिक्स सममित हो तो मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियां समान होती हैं। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
दी गई मैट्रिक्स में \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{23}=m_{32}=1\), साथ ही \(m_{12}=m_{21}=0\)। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{23}=m_{32}=1\), and \(m_{12}=m_{21}=0\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सममित है। / Hence the relation is symmetric.
A. शुद्ध निवेश घट सकता है/Net investment may decrease
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध निवेश अंतर पर निर्भर करता है। मूल्यह्रास अधिक तेजी से बढ़े तो अंतर घट सकता है। / Net investment depends on the difference. If depreciation rises faster, the difference may fall.
शुद्ध माप में स्थिर पूंजी की घिसावट को घटाया जाता है। इसलिए मूल्यह्रास सकल से शुद्ध में कटौती है। / In net measures, wear and tear of fixed capital is deducted. Hence depreciation is a deduction from gross to net.
C. सकल पूंजी निर्माण से मूल्यह्रास घटाकर/By subtracting depreciation from gross capital formation
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध पूंजी निर्माण सकल पूंजी निर्माण से मूल्यह्रास घटाने पर मिलता है। यह शुद्ध निवेश जैसा संबंध है। / Net capital formation is obtained by deducting depreciation from gross capital formation. It follows the same relation as net investment.
ऊर्जा ऋण गुणनफल गुणा कोज्या कोण होती है। / Energy is negative product times cosine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
तीस अंश पर ऊर्जा ऋण दस मूल तीन और एक सौ पचास अंश पर धन दस मूल तीन होती है। / At thirty degrees energy is negative ten root three and at one hundred fifty degrees it is positive ten root three.
Step 3
Exam Tip
अंतिम घटा आरंभिक से बीस मूल तीन जूल ऊर्जा परिवर्तन मिलता है। / Final minus initial gives twenty root three joule.
A. क्योंकि \(a\equiv b \pmod{2}\) से \(b\equiv a \pmod{2}\) मिलता है/Because \(a\equiv b \pmod{2}\) gives \(b\equiv a \pmod{2}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल वाली संख्याएं क्रम बदलने पर भी समान शेषफल वाली ही रहती हैं। / Numbers with the same remainder still have the same remainder after reversing their order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\equiv b \pmod{2}\) होने पर \(b\equiv a \pmod{2}\) भी सही है। / Thus \(a\equiv b \pmod{2}\) implies \(b\equiv a \pmod{2}\).
Step 3
Exam Tip
सममितता में यही उलटा युग्म जांचना होता है। / Symmetry is exactly about checking this reverse pair.
A. पूंजी स्टॉक में पचास की शुद्ध कमी/Net fall in capital stock by fifty
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध निवेश = सकल निवेश − मूल्यह्रास। अतः शुद्ध निवेश = 600 − 650 = −50। ऋणात्मक शुद्ध निवेश का अर्थ है कि मूल्यह्रास को पूरा करने के लिए सकल निवेश पर्याप्त नहीं था, इसलिए पूंजी स्टॉक में 50 की शुद्ध कमी हुई। विकल्प B में वृद्धि बताई गई है, जबकि वृद्धि तभी होती है जब सकल निवेश मूल्यह्रास से अधिक हो। परीक्षा टिप: शुद्ध निवेश निकालते समय हमेशा मूल्यह्रास को सकल निवेश में से घटाइए। / Net investment = gross investment − depreciation. Therefore, net investment = 600 − 650 = −50. A negative net investment means gross investment was insufficient to replace depreciation, so the capital stock falls by 50. Option B would be correct only if gross investment exceeded depreciation. Exam tip: always subtract depreciation from gross investment to obtain net investment.
A. सकल निवेश में मूल्यह्रास शामिल है जबकि शुद्ध निवेश में मूल्यह्रास घट चुका है/Gross investment includes depreciation while net investment has depreciation deducted
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश कुल निवेश है और शुद्ध निवेश मूल्यह्रास घटाने के बाद का निवेश है। यही मुख्य अंतर है। / Gross investment is total investment and net investment is investment after deducting depreciation. This is the main difference.
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े (\frac{n(n-1)}{2}) हैं। / The off-diagonal mirror groups are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), giving \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
शुद्ध निवेश तीन सौ पचास में से एक सौ दस घटाकर दो सौ चालीस होगा। यह पूंजी में शुद्ध जोड़ है। / Net investment will be three hundred fifty minus one hundred ten which is two hundred forty. It is the net addition to capital.
B. विचलन को बढ़ाने वाला/Increasing the displacement
Step 1
Concept
अस्थायी संतुलन अधिकतम ऊर्जा की स्थिति है। / Unstable equilibrium is maximum energy position.
Step 2
Why this answer is correct
थोड़ा हटाने पर प्रणाली कम ऊर्जा की ओर जाती है। / After slight displacement the system moves toward lower energy.
Step 3
Exam Tip
इसलिए बल आघूर्ण पुराने विचलन को बढ़ाकर समांतर स्थिति की ओर ले जाता है। / Therefore torque increases the displacement away from the old position toward parallel alignment.
(3) अवयवों के लिए कुल स्वतंत्र समूह \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) हैं। / For (3) elements, there are \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) independent groups.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी तय हो जाता है, यानी एक समूह निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), fixing one group.
Step 3
Exam Tip
बचे (5) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है। / The remaining (5) groups are free, so the count is \(2^5\).
मूल्यह्रास सकल निवेश से शुद्ध निवेश घटाने पर मिलता है। दो सौ में से पचहत्तर घटाने पर एक सौ पच्चीस होगा। / Depreciation is found by subtracting net investment from gross investment. Two hundred minus seventy five gives one hundred twenty five.
कुल स्वतंत्र समूह (6) हैं। / There are (6) independent groups in total.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाला समूह लेना तय है और ((1,1)) वाला विकर्ण समूह न लेना तय है। / The group containing ((1,2)) is fixed as included, and the diagonal pair ((1,1)) is fixed as excluded.
Step 3
Exam Tip
दो समूह तय होने के बाद (4) समूह स्वतंत्र बचे, इसलिए संख्या \(2^4\) है। / So (4) groups remain free, giving \(2^4\).
A. पूंजी स्टॉक बढ़ने की प्रवृत्ति है/Capital stock tends to increase
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक शुद्ध निवेश वास्तविक पूंजी जोड़ दिखाता है। इससे राष्ट्रीय पूंजी स्टॉक बढ़ने की संभावना होती है। / Positive net investment shows real capital addition. It is likely to increase national capital stock.
स्थितिज ऊर्जा का परिमाण द्विध्रुव आघूर्ण और क्षेत्र के गुणनफल पर निर्भर है। / Magnitude of potential energy depends on product of dipole moment and field.
Step 2
Why this answer is correct
आधा और चार गुना का संयुक्त प्रभाव दो गुना है। / Half and four times together give a factor of two.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऊर्जा का परिमाण दोगुना होगा। / Therefore magnitude of energy doubles.
A. पूंजी वृद्धि बढ़ाकर दिखाई जा सकती है/Capital growth may be overstated
Explanation
Simple Explanation
मूल्यह्रास पूंजी क्षय को दिखाता है। इसे घटाए बिना वास्तविक पूंजी वृद्धि अधिक दिख सकती है। / Depreciation shows capital loss. Without deducting it, real capital growth may appear higher.
