A. (15) तक (3) के गुणज/Multiples of (3) up to (15)
Step 1
Concept
The elements are (3,6,9,12,15).
Step 2
Why this answer is correct
All of them are multiples of (3) and go up to (15).
Step 3
Exam Tip
While choosing a description, carefully separate multiples from factors. चरण 1: दिए गए अवयव (3,6,9,12,15) हैं। चरण 2: ये सभी (3) के गुणज हैं और (15) तक आते हैं। चरण 3: वर्णन चुनते समय गुणज और गुणनखंड में अंतर जरूर देखें।
(|x|<3) means the distance of (x) from (0) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integers satisfying this are (-2,-1,0,1,2), so this is the roster form.
Step 3
Exam Tip
In absolute value questions, check negative numbers and (0) also. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है कि (x) की दूरी (0) से (3) से कम हो। चरण 2: ऐसे पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं, इसलिए यही सूची रूप है। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले प्रश्नों में ऋणात्मक संख्या और (0) दोनों जाँचें।
The symbol \(\leq\) means both endpoints are included.
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers from (8) to (11) are (8,9,10,11).
Step 3
Exam Tip
In such ranges, do not leave out the starting or ending number. चरण 1: \(\leq\) का अर्थ है कि सीमा के दोनों सिरों को शामिल किया जाएगा। चरण 2: (8) से (11) तक प्राकृतिक संख्याएँ (8,9,10,11) हैं। चरण 3: ऐसी सीमा में शुरू और अंत वाली संख्या छोड़ने की गलती न करें।
A two-digit natural number lies from (10) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
Numbers with units digit (5) are \(15,25,35,\dots,95\); (5) is not a two-digit number.
Step 3
Exam Tip
While converting set-builder form to roster form, apply all conditions together. चरण 1: दो अंकों की प्राकृतिक संख्या (10) से (99) तक होती है। चरण 2: जिनका इकाई अंक (5) है वे \(15,25,35,\dots,95\) हैं; (5) दो अंकों की संख्या नहीं है। चरण 3: नियम रूप को सूची रूप में बदलते समय सभी दी गई शर्तों को साथ लागू करें।
A. \((C={x:x\) 3 का गुणज है और \(0\leq x<10})\)/\((C={x:x\) is a multiple of 3 and \(0\leq x<10})\)
Step 1
Concept
(0,3,6,9) are all multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
They lie from (0) up to less than (10), so the first rule fits.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, both the property and the range must be correct. चरण 1: (0,3,6,9) सभी (3) के गुणज हैं। चरण 2: ये (0) से (10) से पहले तक आते हैं, इसलिए पहला नियम ठीक बैठता है। चरण 3: नियम रूप में सीमा और गुण दोनों सही होने चाहिए।
In roster form, the elements of a set are written directly inside braces.
Step 2
Why this answer is correct
Here all elements are listed separately.
Step 3
Exam Tip
A set with directly listed elements is usually in roster form. चरण 1: सूची रूप में समुच्चय के अवयव सीधे घुमावदार कोष्ठक में लिखे जाते हैं। चरण 2: यहाँ सभी अवयव अलग-अलग लिखे गए हैं। चरण 3: सीधे लिखे अवयवों वाला समुच्चय सामान्यतः सूची रूप होता है।
A. (50) से छोटी (5) की गुणज संख्याएँ/Multiples of (5) less than (50)
Step 1
Concept
Membership must be clear for a set.
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (5) less than (50) can be identified definitely.
Step 3
Exam Tip
Words like interesting, easy, and good may depend on personal opinion. चरण 1: समुच्चय के लिए सदस्यता स्पष्ट होनी चाहिए। चरण 2: (50) से छोटी (5) की गुणज संख्याएँ निश्चित रूप से बताई जा सकती हैं। चरण 3: रोचक, आसान और अच्छे जैसे शब्द व्यक्ति की राय पर बदल सकते हैं।
C. स्वादिष्ट पेयों का संग्रह/Collection of tasty drinks
Step 1
Concept
In a set, it must be clear which objects are included.
Step 2
Why this answer is correct
Tasty drinks may differ from person to person, so the collection is not definite.
Step 3
Exam Tip
Do not treat opinion-based collections as proper sets. चरण 1: समुच्चय में यह तय होना चाहिए कि कौन-सी वस्तु शामिल है। चरण 2: स्वादिष्ट पेय अलग-अलग लोगों के लिए अलग हो सकते हैं, इसलिए संग्रह स्पष्ट नहीं है। चरण 3: पसंद पर आधारित शब्दों वाले संग्रहों को समुच्चय न मानें।
Keep the difference between digits and natural numbers in mind. चरण 1: अंक (0) से (9) तक होते हैं। चरण 2: (4) से छोटे अंक (0,1,2,3) हैं। चरण 3: अंक और प्राकृतिक संख्या के अंतर को ध्यान में रखें।
The odd digits greater than (2) are (3,5,7,9), so there are (4) elements.
Step 3
Exam Tip
Before counting, list the elements according to the condition. चरण 1: विषम अंक (1,3,5,7,9) होते हैं। चरण 2: (2) से बड़े विषम अंक (3,5,7,9) हैं, इसलिए कुल (4) अवयव हैं। चरण 3: गिनने से पहले शर्त के अनुसार सूची बना लें।
A. (70) से छोटे प्राकृतिक संख्याओं के घन/Cubes of natural numbers less than (70)
Step 1
Concept
(1,8,27,64) are \(1^3,2^3,3^3,4^3\).
Step 2
Why this answer is correct
They are all cubes less than (70).
Step 3
Exam Tip
To identify cubes, check the form \(n^3\). चरण 1: (1,8,27,64) क्रमशः \(1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: ये सभी (70) से छोटे घन हैं। चरण 3: घन पहचानते समय \(n^3\) के रूप को देखें।
A set having exactly one element is a singleton set.
Step 2
Why this answer is correct
(H) contains only (12).
Step 3
Exam Tip
A set with one element is not empty. चरण 1: जिस समुच्चय में ठीक एक अवयव होता है, वह एकल समुच्चय होता है। चरण 2: (H) में केवल (12) है। चरण 3: एक अवयव वाला समुच्चय रिक्त नहीं होता।
In strict inequalities, endpoints are not taken. चरण 1: (12<x<16) में (12) और (16) शामिल नहीं होते। चरण 2: बीच की प्राकृतिक संख्याएँ (13,14,15) हैं। चरण 3: कड़े असमानता चिह्नों में सिरों को नहीं लेते।
Because of \(x\leq 7\), (7) is included, so the elements are (5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Read both inequality symbols separately. चरण 1: (4<x) के कारण (4) शामिल नहीं है। चरण 2: \(x\leq 7\) के कारण (7) शामिल है, इसलिए अवयव (5,6,7) हैं। चरण 3: दोनों असमानता चिह्नों को अलग-अलग पढ़ें।
A. \((K={x:x\) 4 का गुणज है और \(4\leq x\leq 20})\)/\((K={x:x\) is a multiple of 4 and \(4\leq x\leq 20})\)
Step 1
Concept
The list contains multiples of (4).
Step 2
Why this answer is correct
These multiples run from (4) to (20), so the first rule is correct.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, the final boundary must also be correct. चरण 1: सूची में (4) के गुणज दिए गए हैं। चरण 2: ये गुणज (4) से (20) तक हैं, इसलिए पहला नियम सही है। चरण 3: नियम रूप में अंतिम सीमा भी सही रखनी चाहिए।
The positive numbers that divide (6) exactly are (1,2,3,6).
Step 2
Why this answer is correct
Hence these are positive factors of (6).
Step 3
Exam Tip
Factors divide a number, while multiples are formed from the number. चरण 1: (6) को पूरा विभाजित करने वाली धनात्मक संख्याएँ (1,2,3,6) हैं। चरण 2: इसलिए ये (6) के धनात्मक गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंड किसी संख्या को भाग देते हैं, जबकि गुणज उस संख्या से आगे बनते हैं।
Use the membership symbol correctly between an element and a set. चरण 1: (r) समुच्चय (M) में लिखा हुआ अवयव है। चरण 2: इसलिए \(r \in M\) सत्य है। चरण 3: सदस्यता चिह्न का प्रयोग अवयव और समुच्चय के बीच सही दिशा में करें।
(20) is not in this list, so \(20 \in N\) is false.
Step 3
Exam Tip
In membership options, match every number with the original list. चरण 1: (N) में केवल (5,10,15) हैं। चरण 2: (20) इस सूची में नहीं है, इसलिए \(20 \in N\) असत्य है। चरण 3: सदस्यता वाले विकल्पों में हर संख्या को मूल सूची से मिलाएँ।
Repeated elements are not treated as separate in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements are only (7,8,9).
Step 3
Exam Tip
In roster form, writing each element once is enough. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयव अलग नहीं माने जाते। चरण 2: अलग अवयव केवल (7,8,9) हैं। चरण 3: सूची रूप में प्रत्येक अवयव को एक बार लिखना पर्याप्त है।
While checking equality, ignore the order. चरण 1: समुच्चय में क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। चरण 2: दोनों समुच्चयों में वही अवयव (2,4,6) हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय क्रम को नजरअंदाज करें।
Understand the difference between \(\varnothing\) and ({0}). चरण 1: ({0}) में (0) नाम का एक अवयव है। चरण 2: इसलिए यह रिक्त समुच्चय नहीं है। चरण 3: \(\varnothing\) और ({0}) को अलग-अलग समझें।
(0) is not taken as a natural number here, so no element remains.
Step 3
Exam Tip
After solving an equation, always check the given number category. चरण 1: (x+1=1) हल करने पर (x=0) मिलता है। चरण 2: (0) प्राकृतिक संख्या नहीं माना गया है, इसलिए कोई अवयव नहीं बचेगा। चरण 3: समीकरण हल करने के बाद दी गई संख्या-श्रेणी जरूर जाँचें।
An empty set has no element, so the number is (0).
Step 3
Exam Tip
Always write the cardinality of the empty set as (0). चरण 1: (n(S)) समुच्चय (S) के अवयवों की संख्या बताता है। चरण 2: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए संख्या (0) है। चरण 3: रिक्त समुच्चय की अवयव संख्या हमेशा (0) लिखें।
The distinct letters in the word lotus are represented by the three letters.
Step 2
Why this answer is correct
Repetition is not written in a set, so the set has three distinct letters.
Step 3
Exam Tip
In a set of letters, write only distinct letters. चरण 1: शब्द कमल में अलग अक्षर क, म और ल हैं। \(चरण 2: समुच्चय में दोहराव नहीं लिखा जाता, इसलिए (T={\)क,म,ल}) होगा। चरण 3: अक्षरों के समुच्चय में केवल अलग अक्षर लिखें।
Because (x<1), (1) is not included, so the integers are (-3,-2,-1,0).
Step 3
Exam Tip
In mixed intervals, read each symbol separately. चरण 1: \(-3\leq x\) के कारण (-3) शामिल है। चरण 2: (x<1) के कारण (1) शामिल नहीं है, इसलिए पूर्णांक (-3,-2,-1,0) हैं। चरण 3: मिश्रित सीमा में हर चिह्न को अलग पढ़ें।
Since (x) must be a natural number, only (5) is included.
Step 3
Exam Tip
In square equations, solve first and then filter by the number type. चरण 1: \(x^2=25\) के हल (5) और (-5) हो सकते हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्या की शर्त से केवल (5) लिया जाएगा। चरण 3: वर्ग समीकरण में हल निकालकर संख्या-प्रकार से छाँटें।
The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both are in the set.
Step 3
Exam Tip
Under an integer condition, do not forget the negative solution. चरण 1: \(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में होंगे। चरण 3: पूर्णांक शर्त में ऋणात्मक हल को न भूलें।
(5) is a natural number, so it is an element of the set.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, solve the equation directly. चरण 1: (2x=10) को हल करने पर (x=5) मिलता है। चरण 2: (5) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए यह समुच्चय का अवयव है। चरण 3: नियम रूप में समीकरण को सीधे हल करें।
For (n(Y)), count the elements and do not add them. चरण 1: (n(Y)) अवयवों की संख्या बताता है। चरण 2: (Y) में पाँच अलग अवयव (2,4,6,8,10) हैं। चरण 3: (n(Y)) में अवयव गिनें, उनका योग नहीं करें।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements are (1,2,3), so (n(Z)=3).
Step 3
Exam Tip
Remove repetitions before finding the number of elements. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयवों को अलग नहीं गिना जाता। चरण 2: अलग अवयव (1,2,3) हैं, इसलिए (n(Z)=3)। चरण 3: अवयव संख्या निकालने से पहले दोहराव हटा दें।
Positive factors of (16) are numbers that divide (16) exactly.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,4,8,16) are all such factors.
Step 3
Exam Tip
While listing factors, do not miss any divisor. चरण 1: (16) के धनात्मक गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो (16) को पूरा विभाजित करें। चरण 2: (1,2,4,8,16) सभी ऐसे गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंड की सूची बनाते समय कोई विभाजक न छोड़ें।
Because (x<8), (8) is not included, so the elements are (3,4,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Before counting elements, write the roster form. चरण 1: \(3\leq x\) के कारण (3) शामिल है। चरण 2: (x<8) के कारण (8) शामिल नहीं है, इसलिए अवयव (3,4,5,6,7) हैं। चरण 3: अवयव गिनने से पहले सूची रूप बना लें।
A. \((C={x:x\) एक पूर्ण वर्ग है और \(x<10})\)/\((C={x:x\) is a perfect square and \(x<10})\)
Step 1
Concept
(0,1,4,9) are \(0^2,1^2,2^2,3^2\).
Step 2
Why this answer is correct
These are perfect squares less than (10).
Step 3
Exam Tip
To identify perfect squares, look for square form. चरण 1: (0,1,4,9) क्रमशः \(0^2,1^2,2^2,3^2\) हैं। चरण 2: ये (10) से छोटे पूर्ण वर्ग हैं। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानते समय वर्ग रूप को देखें।
Negative integers greater than (-5) are (-4,-3,-2,-1).
Step 3
Exam Tip
In (x>-5), (-5) is not included and (0) is not negative. चरण 1: ऋणात्मक पूर्णांक (0) से छोटे पूर्णांक होते हैं। चरण 2: (-5) से बड़े ऋणात्मक पूर्णांक (-4,-3,-2,-1) हैं। चरण 3: (x>-5) में (-5) शामिल नहीं होता और (0) ऋणात्मक नहीं है।
A set with one element is called a singleton set. चरण 1: सामान्य वर्ष में (28) दिनों वाला महीना केवल फरवरी है। चरण 2: इसलिए समुच्चय में केवल एक अवयव होगा। चरण 3: एक अवयव वाला समुच्चय एकल समुच्चय कहलाता है।
Among digits, (4,6,8,9) are composite, while (1) is not composite.
Step 3
Exam Tip
Remember the lists of prime and composite digits separately. चरण 1: संयुक्त संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: अंकों में (4,6,8,9) संयुक्त हैं, जबकि (1) संयुक्त नहीं होता। चरण 3: अभाज्य और संयुक्त अंकों की सूची अलग याद रखें।
In the given Hindi word, four distinct written letter-units are identified.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the number of distinct elements is taken as (4).
Step 3
Exam Tip
In letter sets, check distinct written units carefully. चरण 1: शब्द गणित में अलग अक्षर ग, ण, ि, त के रूप में पहचाने जाते हैं। चरण 2: इसलिए अलग अवयवों की संख्या (4) मानी जाएगी। चरण 3: अक्षर-समुच्चय में दोहराव और अलग चिह्नों को सावधानी से देखें।
For a subset, every element of the first set must be in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
Both (3) and (6) are present in (I).
Step 3
Exam Tip
While checking a subset, even one outside element makes the statement false. चरण 1: उपसमुच्चय में पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे में होना चाहिए। चरण 2: (3) और (6) दोनों (I) में मौजूद हैं। चरण 3: उपसमुच्चय जाँचते समय एक भी बाहर अवयव मिले तो कथन गलत हो जाता है।
Every element of a subset must be in the original set.
Step 2
Why this answer is correct
Both elements of ({3,7}) are in (J).
Step 3
Exam Tip
If an option has an outside element, do not treat it as a subset. चरण 1: उपसमुच्चय के सभी अवयव मूल समुच्चय में होने चाहिए। चरण 2: ({3,7}) के दोनों अवयव (J) में हैं। चरण 3: विकल्प में बाहर का अवयव मिलते ही उसे उपसमुच्चय न मानें।
Apply the even and prime conditions together. चरण 1: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 2: (2), (20) से छोटी भी है, इसलिए समुच्चय \(K=\{2\}\) होगा। चरण 3: सम और अभाज्य शर्तों को साथ लागू करें।
Do not mix up the list of factors with multiples. चरण 1: (25) को पूरा विभाजित करने वाली प्राकृतिक संख्याएँ देखें। चरण 2: (1,5,25) ही (25) के प्राकृतिक गुणनखंड हैं। चरण 3: गुणनखंड और गुणज की सूची को मिलाएँ नहीं।
\(0^2,1^2,2^2,3^2\) are all less than or equal to (9), but \(4^2=16\).
Step 3
Exam Tip
Whole numbers do not include negative numbers. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,\dots\) होती हैं। चरण 2: \(0^2,1^2,2^2,3^2\) सभी (9) से छोटे या बराबर हैं, पर \(4^2=16\) है। चरण 3: पूर्ण संख्या में ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं होतीं।
In \(15\leq x\leq 17\), both endpoints are included.
Step 2
Why this answer is correct
The natural numbers in this range are (15,16,17).
Step 3
Exam Tip
Put both \(\leq\) endpoints in the list. चरण 1: \(15\leq x\leq 17\) में दोनों सीमाएँ शामिल होती हैं। चरण 2: इस सीमा की प्राकृतिक संख्याएँ (15,16,17) हैं। चरण 3: \(\leq\) वाले दोनों सिरों को सूची में रखें।
The even whole numbers less than (7) are (0,2,4,6).
Step 3
Exam Tip
Remember to include (0) among even whole numbers. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। चरण 2: (7) से छोटी सम पूर्ण संख्याएँ (0,2,4,6) हैं। चरण 3: सम पूर्ण संख्या में (0) को शामिल करना याद रखें।
Since \(\leq 28\) is used, include (28). चरण 1: (7) के गुणज \(7,14,21,28,\dots\) होते हैं। चरण 2: (28) तक के गुणज (7,14,21,28) हैं। चरण 3: \(\leq 28\) होने पर (28) को शामिल करें।
A. (10) से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ/Positive even numbers less than (10)
Step 1
Concept
(2,4,6,8) are all positive even numbers.
Step 2
Why this answer is correct
They are all less than (10).
Step 3
Exam Tip
Choose a property that applies to every given element. चरण 1: (2,4,6,8) सभी धनात्मक सम संख्याएँ हैं। चरण 2: ये सभी (10) से छोटी हैं। चरण 3: वर्णन में ऐसा गुण चुनें जो हर दिए गए अवयव पर लागू हो।
Because \(x\leq -1\), (-1) is included, so the elements are (-3,-2,-1).
Step 3
Exam Tip
Read inequality signs carefully even with negative limits. चरण 1: (-4<x) के कारण (-4) शामिल नहीं है। चरण 2: \(x\leq -1\) के कारण (-1) शामिल है, इसलिए अवयव (-3,-2,-1) हैं। चरण 3: ऋणात्मक सीमाओं में भी असमानता चिह्नों को ध्यान से पढ़ें।
While finding cardinality, count the distinct listed names. चरण 1: (S) में चार अलग नाम दिए गए हैं। चरण 2: इसलिए (n(S)=4) होगा। चरण 3: अवयव संख्या निकालते समय अलग-अलग लिखे नामों को गिनें।
The only natural number less than or equal to (1) is (1).
Step 3
Exam Tip
Here, do not treat (0) as a natural number. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (1) से छोटी या बराबर प्राकृतिक संख्या केवल (1) है। चरण 3: यहाँ (0) को प्राकृतिक संख्या न मानें।
A. दो अवयवों वाला परिमित समुच्चय/Finite set with two elements
Step 1
Concept
(11) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
Its natural factors are (1) and (11), so the set has two elements.
Step 3
Exam Tip
The factors of a prime number are always (1) and the number itself. चरण 1: (11) एक अभाज्य संख्या है। चरण 2: इसके प्राकृतिक गुणनखंड (1) और (11) हैं, इसलिए समुच्चय में दो अवयव हैं। चरण 3: अभाज्य संख्या के गुणनखंड हमेशा (1) और वह संख्या होते हैं।
