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वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-5}{x-2}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<2) या \(x\ge 5\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-5}{x-2}\ge 0\) and \(x\ne 2\). A sign chart gives (x<2) or \(x\ge 5\).
\(y=\frac{7x+4}{2x-3}\) से \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), इसलिए \(y\ne \frac{7}{2}\)। रैखिक भिन्न फलन में असंभव (y) को हटाएं। / From \(y=\frac{7x+4}{2x-3}\), \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), so \(y\ne \frac{7}{2}\). In a linear fractional function, remove the impossible (y).
वर्गमूल के लिए \(12-x-x^2\ge 0\) चाहिए। इसे (-(x+4)(x-3)\ge 0) लिखकर \(-4\le x\le 3\) मिलता है। / The square root needs \(12-x-x^2\ge 0\). Writing it as (-(x+4)(x-3)\ge 0) gives \(-4\le x\le 3\).
(12-x-x-2=\frac{49}{4}-\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2), इसलिए अंदर का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) मिलता है। / Since (12-x-x-2=\frac{49}{4}-\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2), the inside maximum is \(\frac{49}{4}\). Taking square root gives maximum \(\frac{7}{2}\).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-2x-8>0\) चाहिए। ((x-4)(x+2)>0) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-2x-8>0\) is required. From ((x-4)(x+2)>0), the outer open intervals are obtained.
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\)। अधिकतम \(\frac{5}{2}\) है और (1) केवल सीमा मान है। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is only a limiting value.
लघुगणकीय फलन का परिसर सभी वास्तविक संख्याएं होता है जब उसका आर्गुमेंट सभी धनात्मक मान ले सकता है। आधार \(\frac{1}{3}\) केवल दिशा बदलता है, परिसर नहीं। / A logarithmic function has all real numbers as range when its argument can take all positive values. The base \(\frac{1}{3}\) only changes direction, not the range.
\(t=\sqrt{x-1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+4}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=\sqrt{x-1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+4}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
वर्गमूल के लिए \(|x+2|-5\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(|x+2|\ge 5\), जिससे \(x\le -7\) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The square root needs \(|x+2|-5\ge 0\). Hence \(|x+2|\ge 5\), giving \(x\le -7\) or \(x\ge 3\).
C. फलन न तो एक-एक (one-one) है और न ही onto; इसका परिसर \([-6,\infty)\) है
Explanation
Simple Explanation
फलन एक-एक नहीं है, क्योंकि अलग-अलग इनपुट समान मान दे सकते हैं; उदाहरण के लिए \(f(0)=|-?\) नहीं, बल्कि \(f(0)=|2|-6=-4\) और \(f\left(-\frac{4}{3}\right)=|-2|-6=-4\)। साथ ही, \(|3x+2|\ge 0\) होने से \(f(x)\ge -6\), इसलिए \((-\infty,-6)\) के मान प्राप्त नहीं होते और फलन \(\mathbb{R}\) पर onto नहीं है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि फलन एक-एक नहीं है, और विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि फलन onto नहीं है। परीक्षा-युक्ति: absolute value वाले फलन की एक-एकता जाँचने के लिए सममित इनपुट तथा onto जाँचने के लिए उसका परिसर निर्धारित करें। / The function is not one-one because different inputs can produce the same output. For example, \(f(0)=|2|-6=-4\) and \(f\left(-\frac{4}{3}\right)=|-2|-6=-4\). Also, since \(|3x+2|\ge 0\), we have \(f(x)\ge -6\); hence values in \((-\infty,-6)\) are never obtained, so the function is not onto \(\mathbb{R}\). Therefore, option C is correct. Option A is wrong because the function is not one-one, while option B is wrong because it is not onto. Exam tip: For an absolute-value function, test one-one behaviour using symmetric inputs and test onto behaviour by finding its range.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(|x-4|-1\ne0\), अर्थात \(|x-4|\ne1\)। इससे \(x-4=1\) या \(x-4=-1\), अतः \(x=5\) या \(x=3\)। इसलिए वास्तविक संख्याओं में से केवल 3 और 5 को हटाने पर प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{3,5\}\) मिलता है। विकल्प B में 4 को हटाया गया है, जबकि \(x=4\) पर हर \(-1\) होता है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी मानों को डोमेन से हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Thus, \(|x-4|-1\ne0\), or \(|x-4|\ne1\). Hence, \(x-4=1\) or \(x-4=-1\), giving \(x=5\) or \(x=3\). Therefore, the domain is all real numbers except 3 and 5: \(\mathbb{R}\setminus\{3,5\}\). Option B incorrectly excludes 4; at \(x=4\), the denominator is \(-1\), so the function is defined. Exam tip: for a rational function, exclude every input that makes the denominator zero.
मूल हर (x-4) है, इसलिए (x=4) स्वीकार्य नहीं है। सरलीकरण के बाद भी हटे बिंदु को प्रांत में न जोड़ें। / The original denominator is (x-4), so (x=4) is not allowed. Even after simplification, do not add the removed point to the domain.
\(x\ne 4\) पर फलन (x+4) के बराबर है। (x=4) से आने वाला मान (8) परिसर में नहीं आएगा। / For \(x\ne 4\), the function equals (x+4). The value (8), which would come from (x=4), will not be in the range.
\(\sqrt{x+b}\) के लिए \(x+b\ge 0\), यानी \(x\ge -b\)। दिए गए प्रांत से (-b=-6), इसलिए (b=6)। / For \(\sqrt{x+b}\), \(x+b\ge 0\), so \(x\ge -b\). Comparing with the given domain, (-b=-6), hence (b=6).
वर्ग पूरा करने पर \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\) मिलता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(3\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। इसलिए इसका परिसर \([3,\infty)\) है। विकल्प C में 7 को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जबकि स्थिर पद 7 होने के बावजूद \(-4x\) पद के कारण शीर्ष का मान बदल जाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए पहले वर्ग पूरा करें। / Completing the square gives \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), the function has a minimum value of \(3\), attained at \(x=2\). Therefore, its range is \([3,\infty)\). Option C incorrectly treats the constant term 7 as the minimum value, ignoring the effect of the linear term. Exam tip: Complete the square to determine the vertex and range of a quadratic function.
(f(x)=-(x-3)2+4), इसलिए अधिकतम (4) है। \(नीचे खुलने वाले परवलय का परिसर ((-\infty\),अधिकतम]) होता है। \(/ Here (f(x)=-(x-3)^2+4), so the maximum is (4). A downward-opening parabola has range ((-\infty\),maximum]).
हर ((x+2)2+4\ge 4) है, इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator ((x+2)2+4\ge 4), so the maximum value is \(\frac{1}{4}\). As the denominator grows, the value approaches (0).
\(y=\frac{x^2}{x^2+4x+8}\) से ((y-1)x-2+4yx+8y=0) में वास्तविक (x) चाहिए। विविक्तकर (16y-2-32y(y-1)=16y(2-y)) से \(0\le y\le 2\), पर (y=1) भी संभव है, इसलिए विस्तृत जांच से ([0,2]) मिलता है। / From \(y=\frac{x^2}{x^2+4x+8}\), real (x) is needed in ((y-1)x-2+4yx+8y=0). The discriminant gives \(0\le y\le 2\), and (y=1) is also possible, so the range is ([0,2]).
\(y=\frac{x^2+4x+8}{x^2+4}\) से ((y-1)x-2-4x+4y-8=0) में वास्तविक (x) चाहिए। विविक्तकर (16-4(y-1)(4y-8)\ge 0) से \(0\le y\le 2\) मिलता है। / From \(y=\frac{x^2+4x+8}{x^2+4}\), real (x) is required in ((y-1)x-2-4x+4y-8=0). The discriminant condition (16-4(y-1)(4y-8)\ge 0) gives \(0\le y\le 2\).
सिरों पर मान \(\sqrt{5}\) और मध्य \(x=\frac{9}{2}\) पर अधिकतम \(\sqrt{10}\) है। सममिति वाले प्रश्नों में मध्य बिंदु जरूर जांचें। / At the endpoints the value is \(\sqrt{5}\), and at the midpoint \(x=\frac{9}{2}\), the maximum is \(\sqrt{10}\). In symmetric questions, always check the midpoint.
हर वाले वर्गमूल के लिए (x+2>0) और दूसरे वर्गमूल के लिए \(6-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(-2<x\le 6\)। / The denominator square root needs (x+2>0), and the second square root needs \(6-x\ge 0\). Therefore \(-2<x\le 6\).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(25-x^2\ge 0\), जिससे \(-5\le x\le 5\) प्राप्त होता है। अतः \([-5,5]\) प्रारंभिक प्रांत है। साथ ही हर \(x-3\) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=3\) को हटाना होगा। इस प्रकार प्रांत \([-5,5]\setminus\{3\}\) है। विकल्प B में सिरों \(-5\) और \(5\) को अनावश्यक रूप से हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल के लिए अंदर का भाग \(\ge 0\) और हर के लिए \(\ne 0\) शर्त लगाएँ। / The expression under the square root must be non-negative, so \(25-x^2\ge 0\), which gives \(-5\le x\le 5\). Thus the initial domain is \([-5,5]\). Also, the denominator \(x-3\) cannot be zero, so \(x=3\) must be excluded. Therefore, the domain is \([-5,5]\setminus\{3\}\). Option B is incorrect because the endpoints \(-5\) and \(5\) are allowed. Exam tip: impose \(\text{radicand}\ge 0\) and denominator \(\ne 0\).
दिए गए अंतराल में \(\sin x\) का अधिकतम (1) और न्यूनतम (-1) दोनों आते हैं। त्रिकोणमितीय परिसर के लिए प्रमुख कोणों की जांच करें। / In the given interval, \(\sin x\) attains both maximum (1) and minimum (-1). For trigonometric ranges, check key angles.
A. \( \mathbb{R}\setminus\left{\frac{3\pi}{2}+2n\pi:n\in\mathbb{Z}\right} \)
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(1+\sin x\ne 0\)। \(\sin x=-1\) पर \(x=\frac{3\pi}{2}+2n\pi\) हटेगा। / The denominator must not be zero, so \(1+\sin x\ne 0\). When \(\sin x=-1\), \(x=\frac{3\pi}{2}+2n\pi\) is excluded.
\(\sin x\in[-1,1]\), इसलिए \(2+\sin x\in[1,3]\)। ऊर्ध्व स्थानांतरण में परिसर भी उतना ही खिसकता है। / Since \(\sin x\in[-1,1]\), \(2+\sin x\in[1,3]\). Under vertical shift, the range shifts by the same amount.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। अतः \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) का हल चिन्ह-विधि से \(x<-2\) या \(x\ge1\) मिलता है। \(x=-2\) पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए उसे शामिल नहीं किया जा सकता। अतः वास्तविक परिभाषा-क्षेत्र \((- infty,-2)\cup[1,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में अंश के शून्य और हर के शून्य को संख्या रेखा पर रखकर प्रत्येक अंतराल में चिन्ह जाँचें। / The expression under a square root must be non-negative, and the denominator cannot be zero. Thus, solve \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\). A sign analysis gives \(x<-2\) or \(x\ge1\). The point \(x=-2\) is excluded because it makes the denominator zero, so the real domain is \((- infty,-2)\cup[1,\infty)\). Exam tip: mark the zero of the numerator and the zero of the denominator on a number line, then test the sign in each interval.
A. \( \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right] \)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल के लिए \(\cos x\ge 0\) चाहिए। \([0,2\pi]\) में यह पहले और चौथे चतुर्थांश में सत्य है। / The square root needs \(\cos x\ge 0\). In \([0,2\pi]\), this is true in the first and fourth quadrants.
\(x+2\in[1,5\)), इसलिए महत्तम पूर्णांक मान (1,2,3,4) होंगे। (5) नहीं आता क्योंकि ऊपरी सिरा खुला है। / Here \(x+2\in[1,5\)), so the greatest integer values are (1,2,3,4). The value (5) does not occur because the upper endpoint is open.
किसी भी वास्तविक संख्या का भिन्नांश भाग (0) से बड़ा या बराबर और (1) से छोटा होता है। (2x) पूर्णांक होने पर मान (0) मिलता है। / The fractional part of any real number is at least (0) and less than (1). When (2x) is an integer, the value is (0).
(3x\in(0,3]), इसलिए छत फलन के मान (1,2,3) होंगे। (0) नहीं आता क्योंकि (x>0) है। / Since (3x\in(0,3]), the ceiling function values are (1,2,3). The value (0) does not occur because (x>0).
\(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), इसलिए हर कम से कम (3) है। अधिकतम \(\frac{1}{3}\) है और मान (0) के पास जाता है। / Since \(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), the denominator is at least (3). The maximum is \(\frac{1}{3}\), and the value approaches (0).
हर हमेशा (|x|) से बड़ा है, इसलिए \(\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right|<1\)। बड़े (|x|) पर मान \(\pm 1\) के पास जाता है पर बराबर नहीं होता। / The denominator is always greater than (|x|), so \(\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right|<1\). For large (|x|), the value approaches \(\pm 1\) but never equals them.
हर (\sqrt{(x-2)2+4}) है, जो (|x-2|) से बड़ा है। इसलिए अनुपात का मान (-1) और (1) के बीच ही रहता है। / The denominator is (\sqrt{(x-2)2+4}), which is greater than (|x-2|). Hence the ratio stays strictly between (-1) and (1).
(f(x)=x+\frac{1}{x}) है। (x>0) पर मान \([2,\infty\)) और (x<0) पर (\(-\infty,-2]\) मिलते हैं। / Here (f(x)=x+\frac{1}{x}). For (x>0), values are \([2,\infty\)), and for (x<0), values are (\(-\infty,-2]\).
(f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}) है। धनात्मक (x) पर न्यूनतम (2) और ऋणात्मक (x) पर अधिकतम (-2) मिलता है। / Here (f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}). For positive (x), the minimum is (2), and for negative (x), the maximum is (-2).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{9-x^2}{x^2-4}\ge 0\) और \(x\ne\pm2\) चाहिए। संकेत जांच से ([-3,-2)\cup(2,3]) मिलता है। / The square root needs \(\frac{9-x^2}{x^2-4}\ge 0\) and \(x\ne\pm2\). A sign check gives ([-3,-2)\cup(2,3]).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x^2-1}{4-x^2}\ge 0\) और \(x\ne\pm2\) चाहिए। संकेत जांच से (\(-2,-1]\cup[1,2\)) मिलता है। / The square root needs \(\frac{x^2-1}{4-x^2}\ge 0\) and \(x\ne\pm2\). A sign check gives (\(-2,-1]\cup[1,2\)).
अंश के वर्गमूल के लिए \(x+3\ge 0\) और हर के वर्गमूल के लिए (2-x>0) चाहिए। इसलिए \(-3\le x<2\)। / The numerator square root needs \(x+3\ge 0\), and the denominator square root needs (2-x>0). Hence \(-3\le x<2\).
फलन \(\sqrt{\frac{x+3}{2-x}}\) है, जहां भिन्न \([0,\infty\)) के सभी मान लेता है। इसलिए वर्गमूल का परिसर भी \([0,\infty\)) है। / The function is \(\sqrt{\frac{x+3}{2-x}}\), where the fraction takes all values in \([0,\infty\)). Hence the square root range is also \([0,\infty\)).
वर्गमूल के लिए \(1-\frac{1}{x^2}\ge 0\) और \(x\ne 0\) चाहिए। इससे \(x^2\ge 1\), यानी \(|x|\ge 1\) मिलता है। / The square root needs \(1-\frac{1}{x^2}\ge 0\) and \(x\ne 0\). This gives \(x^2\ge 1\), so \(|x|\ge 1\).
प्रांत में \(\frac{1}{x^2}\in(0,1]), इसलिए अंदर का मान ([0,1)\) में है। वर्गमूल के बाद भी परिसर ([0,1)) रहता है। / On the domain, \(\frac{1}{x^2}\in(0,1]), so the inside value lies in ([0,1)\). After square root, the range remains ([0,1)).
वर्गमूल के लिए (\log_{\frac{1}{4}}(9-x)\ge 0) और (9-x>0) चाहिए। आधार \(\frac{1}{4}<1\) होने से \(0<9-x\le 1\), इसलिए प्रांत ([8,9)) है। / The square root needs (\log_{\frac{1}{4}}(9-x)\ge 0) and (9-x>0). Since the base \(\frac{1}{4}<1\), \(0<9-x\le 1\), so the domain is ([8,9)).
\(\sqrt{x^2+4}\ge 2\), इसलिए हर कम से कम (5) है और अधिकतम मान \(\frac{2}{5}\) है। \(|x|\to\infty\) पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / Since \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\), the denominator is at least (5), so the maximum value is \(\frac{2}{5}\). As \(|x|\to\infty\), the value approaches (0) but never becomes (0).
