मान लें कि फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=|3x+2|-6\) द्वारा परिभाषित किया गया है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
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C. फलन न तो एक-एक (one-one) है और न ही onto; इसका परिसर \([-6,\infty)\) है
Simple Explanation
फलन एक-एक नहीं है, क्योंकि अलग-अलग इनपुट समान मान दे सकते हैं; उदाहरण के लिए \(f(0)=|-?\) नहीं, बल्कि \(f(0)=|2|-6=-4\) और \(f\left(-\frac{4}{3}\right)=|-2|-6=-4\)। साथ ही, \(|3x+2|\ge 0\) होने से \(f(x)\ge -6\), इसलिए \((-\infty,-6)\) के मान प्राप्त नहीं होते और फलन \(\mathbb{R}\) पर onto नहीं है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि फलन एक-एक नहीं है, और विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि फलन onto नहीं है। परीक्षा-युक्ति: absolute value वाले फलन की एक-एकता जाँचने के लिए सममित इनपुट तथा onto जाँचने के लिए उसका परिसर निर्धारित करें। / The function is not one-one because different inputs can produce the same output. For example, \(f(0)=|2|-6=-4\) and \(f\left(-\frac{4}{3}\right)=|-2|-6=-4\). Also, since \(|3x+2|\ge 0\), we have \(f(x)\ge -6\); hence values in \((-\infty,-6)\) are never obtained, so the function is not onto \(\mathbb{R}\). Therefore, option C is correct. Option A is wrong because the function is not one-one, while option B is wrong because it is not onto. Exam tip: For an absolute-value function, test one-one behaviour using symmetric inputs and test onto behaviour by finding its range.
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