Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(B\subset A\), इसलिए (B) का हर उपसमुच्चय (A) का भी उपसमुच्चय है। यह ट्रांजिटिव सोच का प्रयोग है। / Because \(B\subset A\), every subset of (B) is also a subset of (A). This uses transitive reasoning.
\(\varnothing\) उपसमुच्चय है लेकिन \({\varnothing}\) में अवयव \(\varnothing\) है जो (A) में नहीं है। यह सामान्य गलती है। / \(\varnothing\) is a subset, but \({\varnothing}\) has \(\varnothing\) as an element, which is not in (A). This is a common mistake.
यदि किसी सेट \(A\) में \(n\) अवयव हों तो उसकी पावर सेट \(P(A)\) में \(2^n\) अवयव होते हैं। यहाँ दिया गया है \(2^n=16\)। क्योंकि \(16=2^4\), इसलिए \(n=4\)। विकल्प (a) और (b) गलत हैं क्योंकि \(2^2=4\) और \(2^3=8\) पावर सेट के अवयवों की संख्या देते हैं, न कि 16। विकल्प (d) गलत है क्योंकि 16 पावर सेट की संख्या है, न कि मूल सेट \(A\) की। परीक्षा टिप: पावर सेट का आकार हमेशा \(2^n\) होता है; देखा हुआ संख्या को द्विघात श्रृंखला \(2^k\) के रूप में तेज़ी से पहचानें। / If set \(A\) has \(n\) elements then the power set \(P(A)\) has \(2^n\) elements. Here \(2^n=16\). Since \(16=2^4\), we get \(n=4\). Options (a) and (b) are incorrect because \(2^2=4\) and \(2^3=8\), not 16. Option (d) is incorrect because 16 is the number of elements of the power set, not of \(A\). Exam tip: remember |P(A)| = \(2^{|A|}\); match the given number to a power of 2 quickly.
पावर समुच्चय \(P(A)\) के अवयव वही उपसमुच्चय होते हैं जिनके सभी सदस्य मूल समुच्चय \(A\) के भी सदस्य हों। विकल्प B, {2,3}, में दिए गए दोनों तत्व 2 और 3, दोनों ही \(A\) के सदस्य हैं, अतः {2,3} एक उपसमुच्चय है और इसलिए \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (2) केवल एक तत्व है न कि उपसमुच्चय — पावर सेट के तत्व हमेशा सेट होते हैं। विकल्प C ({4}) में 4 \(A\) का सदस्य नहीं है, अतः यह उपसमुच्चय नहीं है। विकल्प D ({{1}}) का एकमात्र तत्व {1} है, जबकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं; इसलिए {{1}} भी \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षात्मक टिप: पावर सेट के सदस्य हमेशा ब्रेसेज़ में लिखे गए उपसमुच्चय होते हैं; पहले जाँचें कि विकल्प में ब्रेसेज़ हैं और उसके भीतर के सभी सदस्य \(A\) में मौजूद हैं। / Elements of the power set \(P(A)\) are precisely the subsets of the original set \(A\). Option B, {2,3}, contains only elements 2 and 3 which are in \(A\), so {2,3} is a subset of \(A\) and hence an element of \(P(A)\). Option A (2) is an element of \(A\) but not a subset — elements of a power set must themselves be sets. Option C ({4}) fails because 4 is not in \(A\), so {4} is not a subset. Option D ({{1}}) is a set whose single element is the set {1}, not the number 1, so it is not a subset of \(A\). Exam tip: distinguish between 'element' and 'subset' — look for braces around the correct type of members and verify membership in \(A\).
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18। इनमें से विषम अंक केवल 1, 3 और 9 हैं। इसलिए A = {1,3,9} ही सही है। विकल्प B केवल सम (even) भाजक हैं, विकल्प C में सभी भाजक (सम और विषम) हैं, और विकल्प D में 6 शामिल है जो सम है — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा टिप: पहले सभी भाजक लिखें फिर उनमें से विषम/सम की शर्त लागू करें। / The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18. Of these, the odd ones are 1, 3 and 9, so A = {1,3,9}. Option B lists only even divisors, option C lists all divisors (both even and odd), and option D wrongly includes 6 which is even. Exam tip: enumerate the divisors first, then apply the parity condition.
सेट \(A\) के अवयव हैं: \(1,\ \{2\},\ 3\). विकल्प \(\{\{2\},3\}\) के अवयव \(\{2\}\) और \(3\) दोनों \(A\) में अवयव के रूप में मौजूद हैं, इसलिए यह उपसमुच्चय है। दूसरे विकल्पों का विश्लेषण: \(\{1,2\}\) और \(\{2,3\}\) में तत्व \(2\) है जबकि \(A\) में \(2\) नहीं है (केवल \(\{2\}\) है), अतः वे उपसमुच्चय नहीं हैं। \(\{\{1,2\}\}\) में एकल अवयव \(\{1,2\}\) है जो \(A\) का अवयव नहीं है, इसलिए वह भी नहीं है। परीक्षा टिप: सदैव ध्यान दें कि क्या दिया गया प्रतीक एक संख्या (जैसे \(2\)) है या एक सेट (जैसे \(\{2\}\)) — यह तय करता है कि वह \(A\) का अवयव है या नहीं। / The elements of \(A\) are \(1,\ \{2\},\ 3\). The set \(\{\{2\},3\}\) contains \(\{2\}\) and \(3\), both of which are elements of \(A\); thus it is a subset. For the other options: \(\{1,2\}\) and \(\{2,3\}\) contain the element \(2\), but \(2\) is not an element of \(A\) (only \(\{2\}\) is), so they are not subsets. \(\{\{1,2\}\}\) has the single element \(\{1,2\}\), which is not present in \(A\). Exam tip: Always check whether an item is the number \(2\) or the set \(\{2\}\); confusing these is a common error in subset questions.
A के ठीक दो अवयव चुनने की संख्या संयोजन द्वारा दी जाती है: \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\)। उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए हम संयोजनों का उपयोग करते हैं। विकल्प C (20) गलत है क्योंकि यह \({}_5P_2=5\times4=20\) है, जो क्रमगणना (ordered pairs) को गिनता है। विकल्प A (5) और D (25) भी गलत हैं — 25 बराबर है \(5^2\) जिसका अर्थ है क्रम तथा रिप्लेसमेंट के साथ जोड़े; 5 किसी भी उपसमुच्चयों की सही गिनती नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: सीधे सूत्र \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) याद रखें। / The number of ways to choose exactly two elements from A is given by the combination \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\). Subsets are unordered, so combinations are used. Option C (20) is wrong because \({}_5P_2=5\times4=20\) counts ordered pairs (permutations). Options A (5) and D (25) are also incorrect — 25 equals \(5^2\) (ordered selections with replacement), while 5 is not the correct count for two-element subsets. Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) for quick answers.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और शून्य या एक अवयव वाले (1+4=5) हैं। इसलिए उत्तर (16-5=11) है। / There are (16) total subsets and (1+4=5) subsets with zero or one element. So the answer is (16-5=11).
दस से छोटे एक-अंक (0–9) में अभाज्य पूर्णांक केवल 2, 3, 5 और 7 हैं। इसलिए B = {2,3,5,7} जो कि A के समान ही सेट है। 1 या 0 को अभाज्य नहीं माना जाता, इसलिए B में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(A \subset B\) गलत है क्योंकि B में A के अलावा कोई तत्व नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जब सेट किसी गुण के आधार पर दिया हो, तो पहले गुण से स्पष्ट तत्वों की सूची लिखकर तुलना करें। / The prime digits less than 10 are 2, 3, 5 and 7, so B = {2,3,5,7} which is exactly A. Neither 0 nor 1 is prime, so B has no extra element and thus A = B is true. The closest distractor \(A \subset B\) but \(A \ne B\) is false because B contains no element outside A. Exam tip: when a set is defined descriptively, list its elements explicitly before comparing sets.
