Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी समुच्चय A का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^{n(A)}\) होती है क्योंकि प्रत्येक तत्व को या तो चुना जा सकता है या छोड़ा जा सकता है। यहाँ \(n(A)=2\) है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{2}=4\)। विकल्प 2, 3 और 5 गलत हैं क्योंकि वे \(2^{n(A)}\) के नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि यदि समुच्चय में \(n\) तत्व हों तो उसका पावर सेट हमेशा \(2^n\) तत्वों का होगा। / The cardinality of the power set \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{n(A)}\) because each element may either be included or excluded when forming a subset. With \(n(A)=2\), we get \(n(\mathcal{P}(A))=2^{2}=4\). Options 2, 3 and 5 are incorrect as they do not follow the \(2^{n(A)}\) rule. Exam tip: for any set with \(n\) elements, its power set has \(2^n\) subsets—memorize this formula.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय (subsets) अपने-अपने तत्व के रूप में होते हैं। चूँकि \(\{p,q\}\) A का उपसमुच्चय है (\(\{p,q\}\subseteq A\)), इसलिए \(\{p,q\}\) पावर सेट का एक तत्व है यानी \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होगा कि हर एक तत्व p और q भी \(\mathcal{P}(A)\) में है — पर \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व उपसमुच्चय हैं, न कि p और q जैसे मूल तत्व। विकल्प C तभी सही होता अगर A स्वयं \(\{p,q\}\) होता (यहाँ A में r भी है)। विकल्प D गलत है क्योंकि A के तत्व p और q सेट नहीं, बल्कि मूल तत्त्व हैं, अतः \(\{p,q\}\in A\) व्यर्थ कथन है। परीक्षा-सुझाव: ∈ (element of) और ⊂/⊆ (subset) का अंतर स्पष्ट रखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of A as its elements. Since \(\{p,q\}\) is a subset of A (\(\{p,q\}\subseteq A\)), it is an element of the power set, so \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\). Option B is incorrect because \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) would mean p and q themselves are elements of \(\mathcal{P}(A)\); but elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of A, not the individual atoms p and q. Option C is wrong because A contains r as well, and option D is false since p and q are members of A, not the set \(\{p,q\}\) being a member of A. Exam tip: clearly distinguish between “∈” (is an element of) and “⊂/⊆” (is a subset of).
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। परीक्षा में \(\emptyset'=U\) याद रखें। / The empty set has no elements so its complement is the whole (U). Remember \(\emptyset'=U\) for exams.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। इनमें \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल होते हैं। / A two element set has four subsets. These include \(\emptyset\) and the whole set itself.
किसी समुच्चय के हर मूल तत्व से एक-एक एकल (singleton) उपसमुच्चय बनता है। चूँकि \(A\) में 5 तत्व हैं, इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में 5 एक-तत्व उपसमुच्चय होंगे। विकल्प D (10) अक्सर भ्रम पैदा करता है — यह संख्या वास्तव में 2-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) के बराबर है, न कि एक-तत्व उपसमुच्चयों की। परीक्षा सुझाव: एक-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है (यदि \(|A|=n\) तो singletons = \(n\)). / Each element of a set produces exactly one singleton subset. Since \(A\) has 5 elements, there are 5 one-element subsets in \(\mathcal{P}(A)\). Option D (10) is a common distractor — 10 equals the number of 2-element subsets, \(\binom{5}{2}=10\), not singletons. Exam tip: For k-element subsets use \(\binom{n}{k}\); for singletons set \(k=1\) so the count is \(n\).
A. हां क्योंकि \(A\subseteq A\)/Yes because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(\mathcal{P}(A)\) वह समुच्चय है जिसमें A के सभी उपसमुच्चय आते हैं। हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, अर्थात् \(A\subseteq A\)। इसलिए A एक उपसमुच्चय है और इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\) में A के तत्व नहीं बल्कि A के उपसमुच्चय होते हैं; विकल्प C गलत है क्योंकि किसी समुच्चय के तत्वों की संख्या उसे उपसमुच्चय या सदस्य बनने से रोकती नहीं है; विकल्प D अप्रासंगिक है — सार्वत्रिक समुच्चय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट X के लिये हमेशा जाँचें कि क्या X ⊆ X — यदि हाँ तो X ∈ P(X)। / By definition \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of A. Every set is a subset of itself, so \(A\subseteq A\), which means A is one of the subsets and therefore \(A\in\mathcal{P}(A)\). Option B is a common mistake — elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of A, not the individual elements of A. Option C is irrelevant: the number of elements does not prevent a set from being a subset. Option D is also irrelevant: A need not be the universal set to belong to its power set. Exam tip: remember P(X) contains every subset of X, including X itself and the empty set.
B. विद्यालय के वे विद्यार्थी जो कक्षा (11) में नहीं हैं/school students not in class (11)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) के अंदर (A) से बाहर के तत्वों को दिखाता है। यहां यह कक्षा (11) में न पढ़ने वाले विद्यालय के विद्यार्थी हैं। / The complement shows elements inside (U) but outside (A). Here it means school students who are not in class (11).
पावर सेट के लिए सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\)। दिया गया है \(2^{\,n(A)}=8\)। क्योंकि \(8=2^3\), इसलिए \(n(A)=3\)। निकटतम विकर्षक (उदा. विकल्प A: 2) गलत है क्योंकि \(2^2=4\) न कि 8; विकल्प C:4 भी गलत है क्योंकि \(2^4=16\)। परीक्षा-सूत्र: पावर सेट का आकार \(2^n\) का रूप लेता है — दिए गए संख्या को 2 के घात के रूप में पहचानें या \(\log_2\) लें। / The cardinality of a power set satisfies \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\). Here \(2^{\,n(A)}=8\), and since \(8=2^3\) we get \(n(A)=3\). The nearest distractor (option A: 2) is wrong because \(2^2=4\), not 8; option C:4 is wrong because \(2^4=16\). Exam tip: write the power-set size as \(2^n\) and match it to a power of 2 (or use \(\log_2\)) to find \(n\).
केंद्रित विचार: यदि \(A=\{\emptyset\}\), तो सेट \(A\) में एक ही तत्व है — वह तत्व खुद खाली सेट \(\emptyset\) है, न कि \(A\) खाली है। पावर सेट की परिभाषा के अनुसार \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। यहाँ \(n(A)=1\), अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\), यही सही उत्तर है। नजदीकी ग़लत विकल्प का स्पष्टीकरण: विकल्प B (1) भ्रामक है — यह तब सही होता अगर पावर सेट की गणना गलत तरीके से केवल एक (खाली उपसेट) मान ली जाए; पर वास्तविकता में \(A\) के दो उपसेट हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। परीक्षा टिप: \(\emptyset\) (खाली सेट) और \(\{\emptyset\}\) (खाली सेट को तत्व मानने वाला सेट) को अलग-अलग समझें और पहले हमेशा \(n(A)\) गिनें, फिर \(2^{n(A)}\) लगाएँ। / Core idea: For \(A=\{\emptyset\}\), the set \(A\) has exactly one element — that element is the empty set \(\emptyset\). By definition \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Here \(n(A)=1\), so \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\), which is correct. Why the closest distractor is wrong: option B (1) confuses the empty set with a set containing the empty set; it ignores the full subset \(\{\emptyset\}\) and counts only the empty subset. Exam tip: always count elements of the original set first (distinguish \(\emptyset\) from \(\{\emptyset\}\)), then apply \(2^{n(A)}\) to get the power-set size.
(A) के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\emptyset,{\emptyset}}\) है। / The subsets of (A) are \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). So its power set is \({\emptyset,{\emptyset}}\).
